深圳市高中数学竞赛试题及答案 6页

2015年深圳市高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合A{0,4,a}，B{1,a4}，若AB{0,1,2,4,16}，则a的值为A．0B．1C．2D．42．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能3是①长方形；②正方形；③圆；④菱形.其中正确的是2A．①②B．②③C．③④D．①④3．设a0.50.5,blog0.30.4,ccos2正视图，则（第A．cbaB．cab3C．abcD．bca4.平面上三条直线x2y10,x10,xky0，如果这三条直线将平面划分为六部分，值为22侧视图2题图）则实数k的A.1B.2C.0或2D.0，1或25．函数f(x)Asin(x)（其中A0,||）的图象如图所2示，为了得到g(x)cos2x的图像，则只要将f(x)的图像A．向右平移6个单位长度B．向右平移个单位长度（第5题图）12C．向左平移6个单位长度D．向左平移个单位长度126.在棱长为1的正四面体A1A2A3A4中，记aijA1A2AiAj(i,j1,2,3,4,ij)，则aij不同取值的个数为A．6B．5C．3D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）7．已知a(m,1)，b(1,2)，若(ab)(ab)，则m=.8．如图，执行右图的程序框图，输出的T=.9.已知奇函数f(x)在(,0)上单调递减，且f(2)0，则不等式(x1)f(x)0的解集为．（第8题图）11．10.求值：cos703sin25011．对任意实数x,y，函数f(x)都满足等式f(xy2)f(x)2f2(y)，且f(1)0，则f(2011).1/8\n12.在坐标平面内，对任意非零实数m，不在抛物线ymx22m1x3m2上但在直线yx1上的点的坐标为.答题卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号123456答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．8．9．10．11．12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）为预防H1N1病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：b5E2RGbCAPA组B组C组疫苗有效673xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组的概率是0.375.（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C组中抽取多少个？（3）已知y465,z25,求该疫苗不能通过测试的概率.14．（本题满分12分）已知函数f(x)2cos2(x)sin2x．12（1）求f(x)的最小正周期及单调增区间；（2）若f()1,(0,)，求的值．15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA12，ACB90，E,F,G分别是AC,AA1,AB的中点．B1A1C1F2/8GAB\nE\n（1）求：B1C1//平面EFG；（2）求：FGAC1；（3）求三棱B1EFG的体.16．（本分13分）已知函数f(x)x22xt23t.当x[t,)，f(x)的最小q(t).(1)求q(t)的表达式；(2)是否存在t0，使得q(t)q(1)？若存在，求出t；若不存在，明理由.t17．（本分14分）已知M:2x22y28x8y10和直l:xy90，点C在M上，直l上一点A作MAC.（1）当点A的横坐4且MAC45，求直AC的方程；（2）求存在点C使得MAC45成立的点A的横坐的取范.18．（本分14分）在区D上，若函数yg(x)增函数，而函数y1g(x)减函数，称函数yg(x)区Dx上的“弱增”函数．已知函数f(x)11．1x（1）判断函数f(x)在区(0,1]上是否“弱增”函数，并明理由；（2）x,x0,,xx，明f(x2)f(x1)1x2x1；12122（3）当x1恒成立，求数a的取范．0,1，不等式1ax1x2014年深圳市高中数学决参考答案一、：CBADDC二、填空：7.28．299.(,2)(0,1)(2,)10.4311．201112.(3,1),(1,0),(3,4)3222三、解答：13.（本分12分）解：（1）因在全体本中随机抽取1个，抽到B的概率0.375，所以x900.375，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2000p1EanqFDPw3/8\n即x660.⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分DXDiTa9E3d（2）C本个数y＋z＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分RTCrpUDGiT用分抽的方法在全部果中抽取360个，在C中抽取个数36050090个.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分20005PCzVD7HxA（3）事件“疫苗不能通”事件M.由（2）知yz500，且y,zN,所以C的果中疫苗有效与无效的可能的情况有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、⋯⋯（475，25）共11个.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分jLBHrnAILg由于疫苗有效的概率小于90%没有通，所以疫苗不能通，必有673660y⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分20000.9，xHAQX74J0X即673660y1800，解得y467，所以事件M包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分所以P(M)2，11故疫苗不能通的概率2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分.11LDAYtRyKfE14.（本小分12分）解：f(x)1cos(2x)sin2x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分61cos2xcos6sin2xsinsin2x613cos2x1sin2x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分22sin(2x)1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分3Zzz6ZB2Ltk（1）f(x)的最小正周期2；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分T2dvzfvkwMI1又由2x[2k,2k]，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分322得x[k5,k](kZ)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分12124/8\n从而f(x)的增区[k5,k](kZ)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分1212（2）由f()sin(2)11得sin(2)0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分33所以2k(kZ)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分3k，62又因(0,)，所以3或5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分615.（本分13分）解：（1）因G、E分是AB、AC的中点，所以GE//BC；⋯⋯1分B1A1又B1C1//BC，所以B1C1//GE；⋯⋯⋯⋯2分又GE平面EFG，B1C1平面EFG，C1F所以B1C1//平面EFG．⋯⋯⋯⋯3分BGA（2）直三棱柱ABCA1B1C1中，因ACB90，EC所以BC平面AA1C1C；⋯⋯⋯⋯⋯4分rqyn14ZNXI又GE//BC，所以GE平面AA1C1C，即GEAC1；⋯⋯⋯⋯⋯5分又因ACAA12，所以四形ACC1A1是正方形，即A1CAC1；⋯⋯⋯⋯⋯6分又E,F分是AC,AA1的中点，所以EF//A1C，从而有EFAC1，⋯⋯⋯⋯⋯7分由EFGEE，所以AC1平面EFG，即FGAC1．⋯⋯⋯⋯⋯8分（3）因B1C1//平面EFG，所以VB1EFGVCEFGVGEFC．⋯⋯⋯⋯⋯10分11由于GE平面AA1C1C，所以VGEFC11SEFC1GE，且GE1BC1．⋯⋯⋯⋯11分32又由于SEFC1S正方形ACC1A1SAEFSA1FC1SECC141113，⋯⋯⋯⋯⋯12分22所以VGEFC11SEFC1GE1311，即VB1EFG1．⋯⋯⋯⋯⋯13分3322216.（本分13分）解：（1）f(x)x22xt23tf(x)(x1)2t2．⋯⋯⋯⋯⋯1分3t1①当t1，f(x)在x[t,)增函数，所以O1xf(x)在x[t,)的最小q(t)f(t)t；⋯⋯⋯⋯⋯3分5/8