2021年历年高中数学竞赛加试题 20页

优秀学习资料欢迎下载加试1.（此题满分40分）实数a使得对于任意实数x1,x2,x3,x4,x5，不等式优秀学习资料欢迎下载x2x2x2x2x2a〔xxxxxxxx〕优秀学习资料欢迎下载1234512233445都成立，求a的最大值．优秀学习资料欢迎下载1.（此题满分40分）在直角三角形ABC中，B90，它的内切圆分别优秀学习资料欢迎下载与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知PCPF，求证：PE∥BC．APEFBDC优秀学习资料欢迎下载3．（此题满分50分）对正整数n，记码和．f〔n〕为数3n2n1的十进制表示的数优秀学习资料欢迎下载(1)求f〔n〕的最小值；优秀学习资料欢迎下载(2)是否存在一个正整数n，使得f〔n〕=100？优秀学习资料欢迎下载4．（此题满分50分）求满意如下条件的最小正整数n，在圆O的圆周上任优秀学习资料欢迎下载取n个点A,A,,A，就在C2个角AOA〔1ijn〕中，至少有2021个不优秀学习资料欢迎下载12n超过120．加试1.a的最大值为233nij．优秀学习资料欢迎下载由于当x1,x3,x2,x3,x1时，得a2．123453\n优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载又当a2时，不等式恒成立．事实上3优秀学习资料欢迎下载x2x2x2x2x212345x22x2x2x22x2x2x2223344x2153322332222优秀学习资料欢迎下载x1x2x2x3x3x4x，4x5优秀学习资料欢迎下载3333所以，a的最大值为23．3优秀学习资料欢迎下载1.连接DE，DF，就△BDF是等腰直角三角形．于是FPDFDB45，优秀学习资料欢迎下载故DPC45．又PDCPFD，所以△PFD∽△PDC，所以PFPD．①FDDC又由AFPADF，AEPADE，所以，△AFP∽△ADF，△AEP∽EPAPAPFPDEAEAFDF△ADE，于是，故由①得EPPD．②DEDC由于EPDEDC，结合②得，△EPD∽△EDC，所以，△EPD也是等腰三角形，于是PEDEPDEDC，所以，PE∥BC．APEFBDC优秀学习资料欢迎下载3．（1）由于3n2n1是大于3的奇数，故f〔n〕1．优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载如f〔n〕2，就3n2n1只能为首位和末位为1，其余数码为0的一个数，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载即3n2n1=10k1，k是大于1的整数．于是n〔3n1〕2k5k，由于n,3n11，\n优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载n2k,所以3n15k,于是3n14n42k5k，冲突！故f〔n〕2．优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载2又当n=8时，3nn1=201，所以f〔8〕3．优秀学习资料欢迎下载综上所述，f〔n〕的最小值为3.优秀学习资料欢迎下载（2）事实上，令n10k1，就优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载3n2n13102k510k329999500003，优秀学习资料欢迎下载他的数码和为29〔k111〕539k1．k1k1优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载由于100=9×11+1，所以，取n101，就f〔n〕=100.优秀学习资料欢迎下载4．第一，当n＝90时，如图，设AB是圆O的直径，在点A和B的附近分别取45个点，此时，只有2AB2C4545441980个角不超过120，所以，n＝90不满意O题意．当n＝91时，下面证明至少有2021个角不超过120．优秀学习资料欢迎下载把圆周上的91个点A1,A2,,A91看作一个图的91个顶点，v1,v2,,v91，如优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载AiOAj120，就在它们对应的顶点vi,vj之间连一条边，这样就得到一个图G．优秀学习资料欢迎下载设图G中有e条边，易知，图中没有三角形．2如e＝0，就有C9140952021个角不超过120，命题得证．如e1，不妨设顶点v1,v2之间有边相连，由于图中没有三角形，所以，对优秀学习资料欢迎下载于顶点vi〔i3,4,,91〕，它至多与v1,v2中的一个有边相连，所以优秀学习资料欢迎下载d〔v1〕d〔v2〕89291，其中d〔v〕表示顶点v的度，即顶点v处引出的边数．优秀学习资料欢迎下载由于d〔v1〕d〔v2〕d〔v91〕2e，而对于图G中的每一条边的两个顶点优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载vi,vj，都有d〔vi〕d〔vj〕91，于是，上式对每一条边求和可得优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载〔d〔v〕〕2〔d〔v〕〕2〔d〔v〕〕291e，优秀学习资料欢迎下载由柯西不等式1291\n优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载91[〔d〔v〕〕2〔d〔v〕〕2〔d〔v〕〕2][d〔v〕d〔v〕d〔v〕]24e2，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载129112914e2所以〔d〔v〕2〕d〔v〔2〕〕dv〔〔2〕e〕，91优秀学习资料欢迎下载129191优秀学习资料欢迎下载912故e42071，所以，91个顶点中，至少有C2207120242021个点对，优秀学习资料欢迎下载91它们之间没有边相连，从而，它们对应的顶点所对应的角不超过120．综上所述，n但最小值为91．\n优秀学习资料欢迎下载20XX年全国高中数学联赛模拟题3加试（二试）9：40~12：10共150分钟满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（此题40分）在△ABC中，AB＞BC，K、M分别是边AB和AC的中点，O是△ABC的内心；设P点是直线KM和CO的交点，而Q点使得QP⊥KM且QM∥BO，证明：QO⊥AC；优秀学习资料欢迎下载2、（此题40分）已知无穷数列an满意a0x,a1y,an1ananan11nan11,2,.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（1）对于怎样的实数x，y，总存在正整数n0,使当nn0时，an恒为常数？优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（2）求数列an的通项公式.优秀学习资料欢迎下载3、（此题50分）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.（1953年美国普特南数学竞赛题）由此，证明有17位科学家,其中每一个人和其他全部人的人通信,他们的通信中只争论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间争论同一个题目.〔第6届国际数学奥林匹克试题〕\n优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载4、（此题50分）设a13,an1nan1,nN*，证明：优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载a2（1）对全部n,an3〔mod4〕；（2）当mm时，〔am,an〕1（即am,an互质）优秀学习资料欢迎下载二试1、证：作OR⊥AC于R，过P作MK的垂线，交直线OR于Q点（如图）；这样只需证Q’M∥O，由于这时Q和Q’重合；由于K，M分别为AB和AC的中点，所以1优秀学习资料欢迎下载KM∥BC，于是∠MPC＝∠BCP＝∠ACB＝2优秀学习资料欢迎下载∠MCP；因此MP＝MC＝MA，这样一来，P点在以AC为直径的圆周上，且∠APC＝90°；在四边形APOR中，∠APO＝∠ARO＝90°，1优秀学习资料欢迎下载所以APOR内接于圆，∠RPO＝∠RAO＝×∠BAC；2优秀学习资料欢迎下载在四形边MPQ’R中，∠MPQ’＝∠MRQ’＝90°，所以MPQ’R内接于圆，于是∠Q’MR＝优秀学习资料欢迎下载∠Q’PR＝∠Q’PO＋∠OPR＝（90°－∠OPM）＋1∠BAC＝（90°－211∠ACB）＋21∠BAC；21优秀学习资料欢迎下载设BO交AC于D，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠ACB－－1∠ACB＝∠Q’MR，因此MQ’∥BO，于是此题得证；2∠ABC＝90°＋2∠BAC2优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载2、解：由递归方程fxx212xx，得不动点x1.由不动点方法优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载an11an11anan111anan1anan111anan1anan11ananan11anan1an1an1an1an11an11an1an1an11.an11优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载令bnan1，就an1bn1bnbn1nN.易知b0x1y1，b1.x1y1优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载留意到bbbbbbb2bb3b2bFn1bFn，优秀学习资料欢迎下载2nn1n2n2n3n2n2n3n3n410优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载其中，Fn1FnFn1，F0F11，Fn为斐波那契数列.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载an1bFn1bFn2y1x1an110y1x1于是，bnFn1Fn2.\n优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载an1y1x1an1y1x1Fn1故Fn2n2.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（1）要使总存在正整数n0，当nn0时，an恒为常数，仍需分情形争论.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（i）如n01，当nn0时，an恒为常数.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载由ay，aa0a11xy13y，ay21y，⋯⋯优秀学习资料欢迎下载12a0a1xy2y优秀学习资料欢迎下载有y1，且yx.此时，an恒为常数1或1.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（ii）如n02，当nn0时，an恒为常数.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载首先，当an1nn0时，如果n03，由an01，an011及优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载an01anan10000anan1，有an011.1优秀学习资料欢迎下载0留意到an11.优秀学习资料欢迎下载又由an0an1an20000an1an1，有an021.2优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载00于是，由an01an2an31，有an011，冲突.优秀学习资料欢迎下载00an2an3优秀学习资料欢迎下载此时，只能是n02，即an1n2，所以，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载aa0a112a0a1xy11，xy优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载aa1a213a1a2a2a11a2a11y11y1，⋯⋯优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载于是，xy1xy1，且y1xyxy10，且yx，y1x1优秀学习资料欢迎下载或y1，且yx，y1.优秀学习资料欢迎下载因此，当x1或y1，且yx时，取n02.当n2时，an恒为常数1.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载其次，当an在nn0n02时不恒为1，但当nn0时，使an恒为常数，\n优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载an1y1x1an1y1x1Fn1故an1nn0,n02.就数.x1y1Fn2在nn0时恒为常优秀学习资料欢迎下载明显，1，1.优秀学习资料欢迎下载x如x1x111且yyy111，就x1y0，有a2a0a1a01的分母为0，冲突.a1优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载所以，只能x1x10或y1y10，即x1或y1，且yx时，当nn0n02优秀学习资料欢迎下载时，an恒为常数1.优秀学习资料欢迎下载综上，当x1且yx或y1且xy时，总存在正整数n0，使当nn0优秀学习资料欢迎下载时an恒为常数1或1.优秀学习资料欢迎下载an1y1x1an1y1x1（2）留意到Fn1Fn2n2.优秀学习资料欢迎下载就a2nFF12y1Fn1xFF0Fn2FF1.优秀学习资料欢迎下载x11y1y1n1n2x1y1n1x1n2y1n1x1n2优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载故any1Fn1xF1Fn2Fy1Fn1xF1Fn2Fn2，优秀学习资料欢迎下载y1n1x1n2y1n1x1n2优秀学习资料欢迎下载a0x，a1y.3、证明设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原就这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，就同色三角形已显现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，就它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情形下,都存在同色三角形.证明用平面上无三点共线的17个点A1,A2,⋯，A17分别表示17位科学家.设他们争论的题目为x,y,z,两位科学家争论x连红线,争论y连蓝线,争论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.\n优秀学习资料欢迎下载考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,⋯，A1A17，由抽屉原就这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，⋯，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，⋯，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，就同色（红色）三角形已显现；如没有红色线段，就这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知肯定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.（属图论中的接姆赛问题.）优秀学习资料欢迎下载4、证明：（1）由递推关系得an11an〔an1〕优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载当n1时，a133〔mod4〕，an33〔mod4〕即an4k3，那么优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载an1an〔an1〕14〔4k3〕〔k1〕13〔mod4〕优秀学习资料欢迎下载∴对全部n，an3〔mod4〕优秀学习资料欢迎下载（2）由递推关系得an114anan1an2a1优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载不妨设mn，得am|an1，令an1qam,qN优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载就〔am,an〕〔am,qam1)〔am,am1〕1优秀学习资料欢迎下载加试1.（40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是A边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：如OK⊥MN，就A，B，D，C四点共圆．OBCEKDQP优秀学习资料欢迎下载1.（40分）设k是给定的正整数，NMrk1．记2优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载f〔1〕〔r〕f〔r〕rr，f〔l〕〔r〕f〔f〔l1〕〔r〕〕,l2．证明：存在正整数m，使得f〔m〕〔r〕\n优秀学习资料欢迎下载为一个整数．这里，x表示不小于实数x的最小整数，例如：11，11．2优秀学习资料欢迎下载1.（50分）给定整数n2，设正实数a1,a2,,an满意ak1,k1,2,,n，记优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载求证：nnakAka1a2Akkn1．ak,k1,2,,n．优秀学习资料欢迎下载k1k12优秀学习资料欢迎下载2.（50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形A1A2An的每个顶点处赋值0和1两优秀学习资料欢迎下载个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解答1.用反证法．如A，B，D，C不四点共圆，设三角形AABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ．优秀学习资料欢迎下载由于PK2OP的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载PO2r2同理KO2BCr2，EKDQP优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载QK2所以QO2PO2r2PK2KO2QO2r2，NM2QK，优秀学习资料欢迎下载故OK⊥PQ．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是AQAP．①QNPM优秀学习资料欢迎下载由梅内劳斯（Menelaus）定理，得NBDEAQBDEAQNMCDEAPCDEAPM1，②1．③优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载由①，②，③可得NBMCBDCDNDMD，所以BDDC，故△DMN∽△DCB，于是优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载DMNDCB，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K为BC的中点，冲突！从而A,B,D,C\n优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载四点共圆.注1：“PK2P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载得就P，E，F，A四点共圆，故PKKFAKKE，④PFEPAEBCE，优秀学习资料欢迎下载从而E，C，F，K四点共圆，于是PKPFPEPC，⑤⑤-④，得优秀学习资料欢迎下载PK2PEPCAKKEP的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）．注2：如点E在线段AD的延长线上，完全类似．A优秀学习资料欢迎下载OFBCEKDQPNM优秀学习资料欢迎下载1.记v2〔n〕表示正整数n所含的2的幂次．就当mv2〔k〕1时，f〔m〕〔r〕为整数．优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载下面我们对v2〔k〕v用数学归纳法．优秀学习资料欢迎下载当v0时，k为奇数，k1为偶数，此时优秀学习资料欢迎下载f〔r〕k1k1k1k1优秀学习资料欢迎下载222优秀学习资料欢迎下载为整数．假设命题对v1〔v1〕成立．优秀学习资料欢迎下载对于v1，设k的二进制表示具有形式优秀学习资料欢迎下载k2vv12v1v22v2，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载这里，i0或者1，iv1,v2,．优秀学习资料欢迎下载于是f〔r〕k1k1k1k1222\n优秀学习资料欢迎下载1kk2k优秀学习资料欢迎下载2212v1v1〔1〕2vv1v2〔〕2v122v优秀学习资料欢迎下载2k1，①22v这里优秀学习资料欢迎下载k2v1〔v11〕2v〔v1〕2v122v.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载明显k中所含的2的幂次为v1.故由归纳假设知，rk1经过f的v次迭代得到2优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载整数，由①知，f〔v1〕〔r〕是一个整数，这就完成了归纳证明．优秀学习资料欢迎下载kn优秀学习资料欢迎下载3.由0ak1知，对1kn1，有0aii1k,0aiik1nk．优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载留意到当x,y0时，有xymaxx,y，于是对1kn1，有优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载AnAk11k1naiai优秀学习资料欢迎下载nki1nik1优秀学习资料欢迎下载1n11kaiai优秀学习资料欢迎下载nik1kni1优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载max1nai,11kai优秀学习资料欢迎下载nik1kni1max1〔nk〕,11knkn1k，nnnn优秀学习资料欢迎下载故akAkk1k1nAnAkk1优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载n1AnAkk1n1AnAkk1优秀学习资料欢迎下载n1kn11．k1n24.对于该种密码锁的一种密码设置，假如相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，假如颜色不同，就标上b，假如数字和颜色都相同，就标上c．于是对于优秀学习资料欢迎下载给定的点A1上的设置（共有4种），根据边上的字母可以依次确定点A2,A3,,An上的设\n优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载置．为了使得最终回到A1时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种优秀学习资料欢迎下载密码锁的全部不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍．优秀学习资料欢迎下载设标有a的边有2i条，0in，标有b的边有2j条，0j2n2i2．选取2i优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载n条边标记a的有C2i种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有2jCn2i种方法，其余的边优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载标记c．由乘法原理，此时共有2i2jCCnn2i种标记方法．对i，j求和，密码锁的全部不同的密优秀学习资料欢迎下载码设置方法数为nn2i22CC42i2jnn2i．①i0j0优秀学习资料欢迎下载0这里我们商定C01．优秀学习资料欢迎下载当n为奇数时，n2i0，此时优秀学习资料欢迎下载n2i2C2j2n2i1．②优秀学习资料欢迎下载代入①式中，得n2ij0优秀学习资料欢迎下载nn2inn22224C2iC2j4C2i2n2i12C2i2n2inn2inni0j0i0i0优秀学习资料欢迎下载nnCk2nkCk2nk〔1〕k〔21〕n〔21〕n优秀学习资料欢迎下载nnk0k03n1．nn当n为偶数时，如i，就②式仍旧成立；如i，就正n边形的全部边都标记a，22此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，全部不同的密码设置的方法数为nn2in1优秀学习资料欢迎下载224C2iC2j241C2i2n2i1优秀学习资料欢迎下载nn2ini0j0i0优秀学习资料欢迎下载n2n24C2i2ni02i13n3．优秀学习资料欢迎下载n综上所述，这种密码锁的全部不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有31种；\n优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载当n为偶数时有3n2种．优秀学习资料欢迎下载加试优秀学习资料欢迎下载一、（此题满分40分）设A、B、C、D、E为直线l上顺次排列的五点，ACBCCECD，F在直线l外的一点，连结优秀学习资料欢迎下载FC并延长至点G，恰使FACAGD，FECEGB同时成立.求证：FACFEC；二、（此题满分40分）\n优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载已知：a,b,c0，abc2，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载求证：1bccaab1abcab1abcbc1abcca；优秀学习资料欢迎下载三、（此题满分50分）设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，⋯，dk，满意1=d1