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- 2022-07-26 发布
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2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分)1.已知,则可化简为()A.B.C.D.2.如果复数的模为4,则实数a的值为()A.2B.C.D.3.设A,B为两个互不相同的集合,命题P:,命题q:或,则p是q的()A.充分且必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件4.过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB,则为()A.B.C.D.5.函数,则该函数为()A.单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数C.单调增加函数、偶函数D.单调递减函数、奇函数6.设有一立体的三视图如下,则该立体体积为(A)223122122正视图侧视图俯视图(圆和正方形)A.4+B.4+C.4+D.4+7.某程序框图如右图所示,现将输出(值依次记为:若程序运行中输出的一个数组是则数组中的()6\nA.64B.32C.16D.88.在平面区域上恒有,则动点所形成平面区域的面积为()A.4B.8C.16D.329.已知函数在上有两个零点,则m的取值范围为()A.BC.D.10.已知,则的解为()A.或B.或C.或D.二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分)11.函数的最小正周期为__________。12.已知等差数列前15项的和=30,则=__________.13.向量,,,则的取值范围为。14.直三棱柱,底面是正三角形,P,E分别为,上的动点(含端点),D为BC边上的中点,且。则直线的夹角为__。15.设为实数,则____________。16.马路上有编号为1,2,3,…,2011的2011只路灯,为节约用电要求关闭其中的300只灯,但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有_________种。(用组合数符号表示)17.设为整数,且,则__。三、解答题(本大题共3小题,每小题17分,共计51分)18.设,求在上的最大值和最小值。6\n19.给定两个数列,满足,,。证明对于任意的自然数n,都存在自然数,使得。20.已知椭圆,过其左焦点作一条直线交椭圆于A,B两点,D为右侧一点,连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过,求a的值。6\n2011年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准1.解答:因为,所以=。正确答案为D。2.解答:由题意得。正确答案为C。3.解答:P是q的充分非必要条件。正确答案为B。4.解答:椭圆的右焦点为(1,0),则弦AB为代入椭圆方程得。正确答案为C。5.解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。6.解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分(),所以该几何体的体积为。正确答案为A。7.答案经计算。正确答案为B。8.解答:平面区域的四个边界点(—1,—1),(—1,1),(1,—1),(1,1)满足,即有,由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为A。9.解答:问题等价于函数与直线在上有两个交点,所以m的取值范围为。正确答案为C。10.解答:不等式的左端看成的一次函数,由或。正确答案为C。11.解答:最小正周期为4。12.解答:由,而。13.解答:=,其最大值为3,最小值为1,取值范围为[1,3]。6\n14.解答:因为平面ABC⊥平面,AD⊥BC,所以AD⊥平面,所以AD⊥PE,又PE⊥PD,PE⊥平面APD,所以PE⊥PD。即夹角为。15.解答:16.解答:问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯,所以共有种关灯方法。17.解答:将代入得到,因为都是整数,所以前两个方程组无解;后两个方程组解得。所以3或57。18.解答:当当由此可知。当;当;当。19.解答:由已知得到:为等比数列,首项为2,公比为2,所以。又由已知,由,所以取即可。20.解答:。6\n设,由得设。由M、A、D共线。又,得=整理得。6