2017福建省高中数学竞赛预赛试题 12页

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．已知集合，，若，则实数的取值范围为。【答案】【解答】由，得，，。由，得，，。若，则或，或。∴时，的取值范围为。2．已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则。【答案】【解答】由函数为偶函数，知。又为奇函数，∴，。∴。3．已知为等比数列，且，若，则。【答案】【解答】由知，。∵为等比数列，且，∴。∴。∴12\n。∴。4．将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为。【答案】【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同分配方案有种。（用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。）其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有种。（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。）所以，所求的概率为。5．三棱锥中，是边长为的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为。【答案】【解答】如图，取中点，连，。由是边长为的等边三角形，知，，，。∴为二面角的平面角，，，。作于，则。∴，，为的外心，三棱锥为正三棱锥。设三棱锥外接球的球心为，半径为。则在直线上，且。∴，，三棱锥的外接球的表面积为。6．已知为双曲线：上一点，、为双曲线的左、右焦点，、分别为的重心、内心，若轴，则内切圆的半径为。【答案】12\n【解答】如图，不妨设点在第一象限，、、分别为与三边相切的切点。则由切线长定理以及双曲线定义，得∴，。设，由为重心，知，。∴，。设内切圆半径为，则。另一方面，。∴，。7．在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，，则的面积为。【答案】【解答】由，知。∴，。∴，。∴，即。又，。∴，即，解得或。∴，或。12\n∴的面积。8．若关于的方程（，）在区间上有实根，则的最小值为。【答案】【解答】由知，。∴。∵，∴，当，，时，等号成立。∴的最小值为2。9．函数的最大值为。【答案】【解答】由柯西不等式知，。当且仅当，即，时等号成立。∴的最大值为11。10.、、为圆上不同的三点，且，点在劣弧内（点与、不重合），若（，），则的取值范围为。【答案】【解答】如图，连结交于点。设，则由，得。∵、、三点共线，∴，。不妨设圆的半径为1，作于，由，知。12\n∵，且点在劣弧内（点与、不重合），∴。于是，。∴的取值范围为。另解：如图，以为原点，线段的垂直平分线所在直线为轴建立直角坐标系。不妨设圆半径为2，则由，知，。设。则由，得。∴。∵点在劣弧内（点与、不重合），∴。∴，。∴的取值范围为。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11．若数列中的相邻两项、是关于的方程（12\n1，2，3，…）的两个实根，且。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的通项公式及的前项的和。（必要时，可以利用：）【解答】（1）依题意，由韦达定理，得，。∴，即。………………5分∴，，，…；和，，，…，都是公差为1的等差数列。又，。∴对，，。即。………………………10分（2）由（1）知，。………………………………15分∴。………………………………20分12．已知椭圆：（）过点，且离心率为。过点12\n作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点（、与点不重合）。求证：直线过定点，并求该定点的坐标。【解答】依题意，有，且。解得，。∴椭圆的方程为。……………………………5分易知直线斜率存在，设方程为。由，得………①设，，则，。……………………………10分由知，。∴，即。∴。∴。……………………………15分∴。由直线不过点，知。∴，，直线方程化为。∴直线过定点。……………………………20分13．如图，、分别是圆的切线和割线，其中为切点，为切线的中点，弦、相交于点，弦延长线上的点，满足。12\n求证：、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。【解答一】由为圆的切线知，。又，∴。∴。…………………5分（1）若、、三点共线。（第13题）设直线，交于点。则由塞瓦定理知，。……………………………10分∵，∴，。又点、均在直线上，因此、重合。∴、、三点共线。………………………………15分（2）若、、三点共线。设直线、相交于点。则由塞瓦定理知，。∵，，∴，，为的中点、重合。∴、、三点共线。由（1）、（2）可得，、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。…………………………………………………20分【解答二】由知，、、、四点共圆。12\n∴。由为圆的切线知，。∴。∴。…………………5分（1）若、、三点共线。连结、、。由为切线的中点知，，即。…………………10分∴。∴。又由、、、四点共圆以及知，。∴。∴、、三点共线。…………………15分（2）若、、三点共线。设直线、相交于点，则。又，∴。∴。又，∴，。因此，为的中点，、重合。∴、、三点共线。由（1）、（2）可得，、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。…………………………………20分14．已知，。（1）当时，求的最大值；12\n（2）判断函数零点的个数，并说明理由。【解答】（1）当时，，。∵时，，∴在上为减函数。又，∴时，；时，。∴在区间上为增函数，在上为减函数。∴时，的最大值为。………………………………5分（2），当，且时，。∴在上为减函数。∵时，；时，。∴存在唯一实根，设此根为。则时，；时，。∴在区间上为增函数，在上为减函数。有最大值。………………………………………10分①当时，由（1）知，有唯一零点。②当时，由知，。∴。又时，；时，。∴在区间，内各有一个零点。12\n∴当时，有两个零点。……………………15分③当时，由，知。由，知。∴，（）。设。∵时，，∴在区间上为增函数。∴时，。于是，。∴时，不存在零点。综合得，当时，有两个零点；当时，只有1个零点；当时，不存在零点。……………………………20分15．设，，，，12\n是5个正实数（可以相等）。证明：一定存在4个互不相同的下标，，，，使得。【解答】不妨设，考虑以下5个分数：，，，，，………………………①它们都属于区间。……………………………………5分把区间分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为，，）。…………………………………………10分将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的）。即，，中至少有两个数是相邻的。…………………………………………15分假设与相邻，则。另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同。于是，、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求。因此，结论成立。…………………………………20分12