2004年全国高中数学联合竞赛试题 2页

2004年全国高中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角θ使关于x的方程x2+4xcosθ+cotθ=0有重根，则θ的弧度数为（）A.π/6B.π/12或5π/12C.π/6或5π/12D.π/122、已知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}。若对所有m∈R均有M∩N不是空集，则b的取值范围是（）A.[-√6/6,√6/6]B.(-√6/6,√6/6)C.(-2√3/3,2√3/3]D.[-2√3/3,2√3/3]3、不等式√(log2x-1)+(1/2)(log1/2x3+2)＞0的解集为（）A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.(2,4]4、设O点在三角形ABC内部，且有(0→A)+2(0→B)+3(O→C)=(0→0)，则三角形ABC和三角形A0C的面积与的面积的比为（）[注释：(0→X)表示从O到X的向量，特别地(0→0)表示零向量]A.2B.3/2C.3D.5/35、设三位数n的百位、十位、个位数字依次为a、b、c，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）A.45个B.81个C.165个D.216个6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB垂直于OB，垂足为B，OH垂直于PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（）A.√5/3B.2√5/3C.√6/3D.2√6/3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy中，函数f(x)=a×sinax+cosax(a＞0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=√(a2+1)的图像所围成的封闭图形的面积是_____。8、设函数f：R→R，满足f(0)=1且对任意实数x,y都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(y)=_____。9、正方体中ABCD-A1B1C1D1，二面角A-BD1-A1的度数是_____。10、设p是给定的奇质数，正整数k使得√(k2-pk)也是一个正整数，则k=_____。11、已知数列a0,a1,a2,…,an满足关系式(3-an-1)(6+an)=18，且a0=3。设Xi=1/ai则X0+X1+X2+…+Xn的值是_____。12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M(-1，2)和N(1，4)，点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为_____。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。问：（Ⅰ\n）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0,3/4),B(-1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。15、已知α,β是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=(2x-t)/(x2+1)的定义域为[α,β]。（Ⅰ）求g(t)=maxf(x)-minf(x)；（Ⅱ）证明：对于ui∈(0,π/2)(i=1,2,3)，G(x)=1/g(tanx)。若sinu1+sin