高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类竞赛试题选讲 9页

高中数学竞赛专题讲座之五：《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）已知曲线：与直线有两个交点，则的取值范围是(C)A．B．C．D．2．（05全国）方程表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有（C）条.A．1B．2C．3D．4解:由分别以A，B为圆心，，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C.4．（06安徽）过原点O引抛物线的切线，当a变化时，两个切点分别在抛物线（）上A．B．C．D．5．若在抛物线的上方可作一个半径为的圆与抛物线相切于原点，且该圆与抛物线没有别的公共点，则的最大值是(A)A．B．C．D．6．（06江苏）已知抛物线y2=2px，o是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有(B)A．0个B．2个C．4个D．6个7．（06全国）如图3，从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T．延长FT交双曲线右支于P点.若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则与的大小关系为（　　）A．B．C．D．不确定8．（05四川）双曲线的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段\n为直径的两圆一定（）A．相交　　　B．内切　　　　C．外切　　　D．相离解：设双曲线的另一个焦点为，线段的中点为，在△中，为的中点，为的中点，从而，从而以线段为直径的两圆一定内切.9．点是直线上一点，且在第一象限，点的坐标为（3，2），直线交轴正半轴于点，那么三角形面积的最小值是（A）1,3,510．（02湖南）已知A（-7，0），B（7，0），C（2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C，且过A、B两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（）（奥析263）A．双曲线B．椭圆C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分11．（03全国）过抛物线的焦点F作倾斜角为60O的直线。若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与轴交于点P，则线段PF的长等于（）（奥析263）A．B．C．D．1,3,51,3,5二、填空题1．若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c=0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为2．（04湖南）设是椭圆上异于长轴端点的任意一点，、分别是其左、右焦点，为中心，则___25________.3．（05湖南）一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则_______________;解：可解得对称轴方程为，由得，所以4．在正△中，、分别是、的中点，则以、为焦点且过点、的双曲线的离心率是．5．（03全国）设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|：|PF2|=2：1.则三角形PF1F2的面积为.（奥析264）6．（04全国）给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动.当取最大时，点P的坐标为.（奥析265）7．（03山东）设曲线上与原点距离最大和最小的点分别为M、N，则|MN|=.（奥析266）8．（04全国）已知若对于所有的，均有，则b的取值范围是（奥析267）9．（00全国）平面上的整点到直线25x－15y+12=0的距离中的最小值是.10．(99全国)满足不等式（|x|－1）2+(|y|－1)2<2的整点的个数有16.\n11．（00河北）在圆x2+y2－5x=0内，过点有三条弦的长度成等比数列.则其公比的取值范围为.12．设P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆（x－5）2+y2=1上的点，则|PQ|的最小值为2.1,3,5三、解答题1．已知抛物线y2=4ax（00,(1).试将d表示为n的函数关系式.(2).若,是否存在满足条件的.若存在,求出n可取的所有值,若不存在,说明理由.解(1)∵d>0,故为递增数列∴最小,最大.由方程知是它的右焦点,L:是它的右准线,∴于是∴…………………………-5分（2）∵∴设又∵∴取最大值14,取最小值8.∴可取8、9、10、11、12、、13、14这七个值.--------------9分5．（03山东）椭圆C：与直线：x+2y=7相交于P、Q两点，点R的坐标为（2，5）.若是等腰三角形，，求A、B的值。（奥析265）6．（04全国）在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为圆S：......5分（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：①与双曲线T：②因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点.的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上.直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为③（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为.代入方程②得\n，解得.表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......15分情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是④或⑤.解方程④得，解方程⑤得.综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集.7．（04湖南）在周长为定值的中，已知，且当顶点位于定点时，有最小值为.(1)建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.(2)过点作直线与(1)中的曲线交于、两点，求的最小值的集合.解：(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=|AB|=6.因为又，所以，由题意得.此时，|PA|=|PB|，P点坐标为P(0，±4).所以C点的轨迹方程为（2）不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简，得显然有△≥0，所以而由椭圆第二定义可得\n只要考虑的最小值，即考虑取最小值，显然.当k=0时，取最小值16.当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得但，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集.8．（04四川）已知椭圆ε：（a>b>0），动圆：，其中b