2019-2020年高中数学竞赛决赛试题 6页

2019-2020年高中数学竞赛决赛试题一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题表的相应位置．）1．若集合中的元素是的三边长，则一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．设，则=（）A．B．C．D．3．如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的体积为（）正视图左视图俯视图A．B．C．D．14．若、两点分别在圆上运动，则的最大值为（）A．13B．19C．32D．385．设是函数定义域内的两个变量，且，若，那么，下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．6．已知函数，则（）A．1B．0C．-1D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）否结束（第7题图）输出是输入7．右图的发生器对于任意函数，可制造出一系列的数据，其工作原理如下：①若输入数据，则发生器结束工作；②若输入数据时，则发生器输出，其中，并将反馈回输入端.现定义,.若输入,那么,当发生器结束工作时,输出数据的总个数为．8．若点（1,1）到直线的距离为，则的最大值是．\n9.从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是_______．10．函数（，其中为正整数）的值域中共有xx个整数，则正整数.11.把1，2，3，…，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取出来，所得10个数的和记为.若的最大值为，最小值为，则.12．设集合，，其中符号表示不大于x的最大整数，则.三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13．（本小题满分12分）已知向量，．（1）求证：为直角；（2）若，求的边的长度的取值范围．14．（本小题满分12分）已知函数.若为整数，且函数在内恰有一个零点，求的值.15．（本小题满分12分）设、是函数图象上两点,其横坐标分别为和,直线与函数的图象交于点,与直线交于点.(1)求点的坐标；(2)当的面积大于1时,求实数的取值范围.\nABCDA1B1C1D1EF16．（本小题满分14分）如图，在正方体中，、分别为棱、的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面⊥平面；（3）如果，一个动点从点出发在正方体的表面上依次经过棱、、、、上的点，最终又回到点，指出整个路线长度的最小值并说明理由.\n17．（本小题满分14分）已知以点为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于、两点，其中为坐标原点.（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程.18．（本小题满分14分）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.（1）求证：；（2）若，且，求实数的取值范围；（3）若是上的单调递增函数，是函数的稳定点，问是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.xx年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题DBACDC二、填空题7．58．9．10．100311．150512．三、解答题13．（1）证明：因为0，…………4分所以，即．…………5分所以是直角三角形．…………6分\n（2）解：，因为是直角三角形，且，所以…………9分又因为，，所以．所以，长度的取值范围是．…………12分14．解：（1）时，令得，所以在内没有零点；…………2分（2）时，由恒成立，知必有两个零点．…………5分若，解得；若，解得，所以．…………7分又因为函数在内恰有一个零点，所以即．…………10分解得由综上所述，所求整数的值为．…………12分15．解：（1）易知D为线段AB的中点,因，，所以由中点公式得．　　…………2分（2）连接AB，AB与直线交于点D，D点的纵坐标为．…………4分所以=log2…………8分由S△ABC=log2>1,得，…………10分因此,实数a的取值范围是.　…………12分16．（1）证明:连结.在正方体中，对角线.又E、F为棱AD、AB的中点，..…………2分\n又B1D1平面，平面，EF∥平面CB1D1.…………4分（2）证明:在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，AA1⊥B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，B1D1⊥平面CAA1C1.…………6分又B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…………8分（3）最小值为.…………10分如图，将正方体六个面展开成平面图形，…………12分从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为.…………14分17．解：（1），．设圆的方程是令，得；令，得.…………2分，即：的面积为定值.……4分（2）垂直平分线段.，直线的方程是.…………6分，解得：.…………8分当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离，圆与直线相交于两点．…………10分当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意舍去．…………13分圆的方程为.…………14分18．解：（1）若，则显然成立；若，设，则，，故.…………4分（2）有实根，.又，所以，即的左边有因式，从而有.…………6分，要么没有实根，要么实根是方程的根.若没有实根，则；若有实根且实根是方程的根，则由方程，得，代入，有.由此解得，再代入得，由此，故a的取值范围是.…………10分（3）由题意：是函数的稳定点则，设，是上的单调增函数，则，所以，矛盾.若，是上的单调增函数，则，所以，矛盾，故，所以是函数的不动点.…………14分