2015年高中数学竞赛决赛试题及答案 15页

2015年高中数学竞赛复赛试题及答案—、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确•请把正确选择支号填在答题卡的相应位置.)1.从集合｛1,3,6,8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是5211A・一B.C.—D.—6232.若Q是第四象限角，且sin--cos-=Jl-2sin-cos-，则仝是22222A.第一彖限角B.第二象限角C.第三象限角D・第四象限角3.已知点0、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP=2OA+BA,则A.点P不在直线AB上B.点P在线段AB上C.点P在线段A3的延长线上D.点P在线段A3的反向延长线上4.设ww/?+，若直线(加+l)x+(n+l)y—4=0与圆(兀一2)2+(y-2)2=4相切，则m+n的取值范围是A.(0,1+V3]B.[1+V3?+oo)C.[2+2a/2,+oo)D.(0,2+2^2]5.已知正方体Ci的棱长为18>/2,以Ci的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C2，以C2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C3,则凸多面体C3的棱长为A.18B.9^2C.9D.65/236.已知定义在上的奇函数f(x),满足/(x+3)=-/(%)，且在区间[0,-]±是增函数，若方程/(x)=m(m<0)在区间[一6,6]上有四个不同的根x1?x2,x3,x4,则%)+x2++x4=A.-6B.6C.-8D.8二、填空题(本大题共6小题，每小题6分，共36分.请把答案填在答题卡相应题的横线上.)In—,x>07.已知/⑴=]*,则不等式/(%)>-1的解集为▲.—，兀v08.随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至52现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.乂知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0Z间的学生有▲人.\n3.在\ABC中，角A,B,C所对应的边长分别为a,b,c,若a2+h2=2c\贝iJcosC的最小值为▲.4.给出下列四个命题：(1)如果平面。与平面0相交，那么平面Q内所有的直线都与平面0相交；(2)如果平面G丄平面0,那么平面Q内所有直线都垂直于平面0;(3)如果平面。丄平面0,那么平面Q内与它们的交线不垂直的直线与平面0也不垂直；(4)如果平面G不垂直于平面0,那么平面Q内一定不存在直线垂直于平面0・其中真命题的序号是_▲.(写出所有真命题的序号)•••5.若动点M(x0,j0)在直线x-y-2=0上运动,且满足(如-2尸+(%+2)2W8,则x02+y02的取值范围是(\y112.设函数/(x)=x丄+丄，心为坐标原点，令为函数y=/(x)图象上横坐标为(A7eN*)的点，向(2丿x+\量石二乞兀瓦，向量卜(1,0)，设氏为向量◎与向量：的夹角，满足5>1吆/3sin2—4-a/3.22（1）求函数于（尤）的单调减区间；（2）该函数的图象可由y=sinx（xeR）的图象经过怎样的变换得至U?(3)已知QW671求的值.56\n14.(本小题满分12分)菱形ABCD中，A(l,2),AB=(6,0),点M是线段AB的中点，线段CM与交于点P.(1)若向量AD=(3,7),求点C的坐标;(2)当点D运动时，求点P的轨迹.\nDC15・（本题满分13分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，AABE为等腰三角形，AE=BE,平面ABCD丄平面ABE,点F在CE上，且BF丄平面ACE.（1）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；（2）求点D到平面ACE的距离.\n16.（本题满分13分）如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万n?,每天流过甲厂的河水流量是500万n?（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m3每天流过乙厂的河水流量是700万n?（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可白然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合,且甲厂上游及支流均无污水排放.根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%,为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.（1）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万n?,试根据环保部门的要求写出x、y所满足的所有条件；（2）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万nA乙厂处理污水的成本是1000元/万m3,在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m?,才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元?\n17.(本题满分14分)已知/(x)=cix10.(3)(4)11.[2,8]三、解答题(本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)13.(本小题满分12分)兀(7C解：(1)v/(x)=sinx+V3(1-2sin2—)=sinx+V3cos%=2sinx+—.2分2\3>令-+2^~;43(2)b=4,c=-时,对于给定的负数a<-8,记使不等式|/⑴$5成立的兀的最大值为M(a).4问G为何值时，M@)最大，并求出这个最大的M@),证明你的结论.2014年高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分.)题号123456答案ABDCDB二、填空题(本大题共6小题，每小题6分，共36分.)\n12.37.(-oo-l)U(O,^)8.78\n再把其纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，就得至Uy=+(兀^/?)的图k3丿象.7分(3)由f(a)=-得：2sin(6Z+-)=-,即抽©+兰)二2,因为ae|,互]，所以(a+—)E(―,>r).(63丿3210分12分从而cos(a4—)=_J1—sin厶(aH—)=—J1—(―)22=3(兀一1,y—2)—(6,0)=(3无一9,3y—6)7分菱形ABCD的对角线互相垂直，所以丽丄疋，即(兀_7,y_2)・(3x_9,3y_6)=0,亦即(x-7)-(3x-9)+(y-2)(3y-6)=0,整理得：(x-5)2+(y-2)2=4(〉，h2),11分故P点的轨迹是以(5,2)为圆心，2为半径的圆，除去与y=2的交点.12分15.(本题满分13分)解：(1)平面ADE与平面BCE垂直.1分证明如下:=—3355兀兀1T兀兀兀7T于是/(cif—)—2sin[(GH—)—]—2[sin(6ZH—)cos―—cos(6ZH—)sin—]63636362[冬返+匕丄]=归.14.(本小题满分12分)解：(1)菱形ABCD中,AC=AP+AB=(3,7)+(6,0)=(9,7)，且A(l,2),所以C(10,9).・・・4分(2)设P(x9y),则莎=乔一乔=(兀_1,y_2)_(6,0)=(兀_7,y_2).5分又因为点M是线段AB的中点，线段CM与交于点P,即点P是\ABC的重心，从而有MC=3MP，所以AC=AM-}-MC=-AB+3MP=-AB+3(AP--AB)=3AP-AB52525\nBF=BCxBE_2近_2观CE一爲一〒因为BF丄平面ACE,所以BF1AE.3分因为平面ABCD丄平面ABE,且ABCD是正方形，BC1AB,平面ABCDQ平面ABE=AB,所以BC丄平面ABE,从而BC丄AE.6分于是AE丄平面BCE,故平面ADE丄平面BCE.7分（2）连结BD交AC与点则点M是BD的中点，所以点D与点B到平面ACE的距离相等.8分因为BF丄平面ACE,所以BF为点B到平面ACE的距离.・・・9分因为AE丄平面BCE,所以AE丄BE.又AE=BE,所以AAEB是等腰直角三角形.10分因为AB=2,所以BE=2sin45°=>/2.11分在RtACBE中，故点D到平面ACE的距离是学13分16.（本题满分13分）2-兀v0.20.8(2-x)+(1.4-300.2解：(1)据题意，x、y所满足的所有条件是——I——<——70010008BPJl丄+b(1)3分4由d2+(2b—l)x+4c=0无解，得：A=(2b—l)2—16acv0,整理得：4ac-b2>--b(2)5分4由(1),(2)得：4皿一戸>丄・6分43一,(2)由Z?=4,c=—,所以f(x)=ax1+8兀+37分4316416因为/(一一)=3一一,由6/<-8得，/(一一)=3-—<59分aaaa所以/(x)<5恒成立，故不等式|f(x)|55成立的兀的最大值也就是不等式/(X)>-5成立的兀的最大值，10分因此M(g)为方程俶彳+8%+3二-5的较大根,11分18.(本题满分14分)\n解：(1)由条件可得£=3",儿=4+5,根据题意知，c”=3".\n由q为数列｛儿｝屮的第加项，则有3^=4加+5,2分那么c如=32(k+l)=9x32k=9x(4m+5)=36m+45=4(9m+10)+5,4分因9m+10GN\所以是数列｛儿｝中的第9m+10项.5分d+1(2)设在区间［1,2］上存在实数b使得数列｛£｝和｛几｝有公共项，即存在正整数s,r使宀(a+l)r+b,因自然数a22,s,/为正整数，:・才一b能被a+1整除.①当s=l时，t=-d+1q+1若b=1,d+1ci+11—(—g)②当s=2n(weN")吋,=-[1+(-a)+(—a)?+…+(_d)2z]=(a—1)[1+/+屮・・・+/”-2]€n",即as-b能被d+1整除,此时数列犹｝和｛儿｝有公共项组成的数列｛z”｝,通项公式为z“=⑺wNJ:若b=2,£2fX2ft显然，£上纟=竺三=纟2二1一_gn”，即a5-b不能被a+1整除.9分d+1d+1a+\g+1cbd(宀—)③当5=2n+l(/?gN*)时，t==,10分Q+ld+1bd(宀2)若a>2,则—一n*,又a与a+1互质，故此时/=GNl11分aq+1若a=2,要^2m--gN\则要b=2,此时a2n--=a2H-\,12分aaa(a2n--)由②知，a2n-1能被d+1整除，故gN\即as-b能被d+1整除.q+1当且仅当b=a=2时，as-b能被a+1整除.此时数列代｝和｛儿｝有公共项组成的数列｛z“｝,通项公式为zn=22w+,(kgN*).\n14分综上所述，存在｛1,2｝，使得数列｛兀｝和｛儿｝有公共项组成的数列｛zj,且当b=1时，数列z”=aln(neN*)；当b=a=2时,数列z”=22n+,(neNJ.18.(本题满分14分)己知数列｛兀“｝和｛儿｝的通项公式分别为兀“和儿=(d+l)/i+b,“EN+.(1)当a=3,h=5时，记cn=xn2,若_是｛儿｝中的第加项(kjnwN*),试问：c«+［是数列｛yn｝中\n的第几项？请说明理由.(2)对给定自然数«>2，试问是否存在旗｛1,2｝,使得数列｛暫｝和｛儿｝有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列｛z”｝,若不存在，请说明理由.