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- 2022-07-26 发布
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2011年全国高中数学联赛模拟题1一试考试时间上午8：00-9：20,共80分钟,满分120分一、填空题(共8题，每题8分，64分)2”+hx+c1、己知函数卩=——(bvO)的值域为[1,3],贝ijb+c=兀丄+12、己知awR,并且Ja2-2x2>x+a(a>0)f则a的取值范围是a13、设在xQy平面上，OvyS兀$,0方成立？若存在，求出〃2的值；若不存在，请说明理由。\n11、(本题20分)给定圆P:x2+y2=2x及抛物线S:尸=4■过圆心P作直线此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为4,B,C,D,如果线段4B,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线1的方程.2011年全国高中数学联赛模拟题2一试考试时间上午8：00-9：20,共&)分钟，满分12()分一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分•把答案填在横线上.1.方程log,x+sinx=2在区间(0,-］上的实根个数为•222.设数列｛8x(-9*的前川项和为S”，则满足不等式IS”-6丄的最小整数n是.3.已知刃(/7GN,n>2)是常数，且西，x2,…，£是区间［o,彳］内任意实数，则函数/(%］,毛,兀)二sin£cosx24-sinx2cos心sinx”cosxA的最大值等于.4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有个交点•5.—只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点则它在〃次爬行后恰好回到起始点的概率为.6.设O是平而上一个定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足=+其MC|\AB\屮［0,+oo),则点P的轨迹为.7.对给定的整数m,符号0(加)表示｛1,2,3｝屮使m+(p(m)能被3整除的唯一值，那么俠2讪-1)+^(220,0-2)+^(22010-3)=.&分别以直角三角形的两条直角边Q,b和斜边c为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为乙，人，匕,则V;+V~与(2匕J?的大小关系是.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.\n1.（本小题满分16分）是否存在实数d,使直线y=ar+l和双曲线3x2-/=1相交于两点/、B,且以为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数/:Zt{1,2,3},满足对任意的整数x,尹，若|x—p|e{2,3,5},则/（兀）*f（y）・3.(本小题满分20分)设非负实数Q,b,c满足a+b+c=l,求证：9abeh>0）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半erb~部分于Pl、P2、…、P99,F|为椭圆的左焦点,则|耳彳+|耳片|+|耳旬+・・・+|耳&^+1耳国的值是4、从一个有88条棱的凸多面体P,切去以其每个顶点为顶点的各一个棱锥，得到一个新的凸多面体Q,这些被切\n去的棱锥的底面所在的平面在P上或内部互不相交，则凸多面体Q的棱数是□5、设函数/(x):RfR,且满足，Px,ywR,/(x)/O)=/(2卩+3)+3/(x+刃-3/(x)+6x,则/(x)=.6、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a,则这个球的体积为7、设d|,a»・・・,G°o］o均为正实数，且一一+—!—+•••+————=-,贝'Jal-a2Q®。的最小值为2+⑷2+2+6z2()1028、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=l,贝U|x|・|y啲最小值是.二、解答题(共3题，共56分)9、(本题16分)设S二｛1,2,・・・，】］｝,A为至少含有两项的、公并非为正的等差数列，其项部都在S中，且添加S的其他元素等于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数(这里只有两项的数列也看做等差数列).10、(本题20分)已知F为抛物线y2=4x的焦点，M点的坐标为(4,0),过点F作斜率为心的直线与抛物线交于A.3两点，延长AM.交抛物线于C、D两点，设直线CZ)的斜率为他.(I)求如的值；(II)求直线S3与直线CQ夹角〃的収值范围.9111、(本题20分)已知函数/(x)=21nx-x20(I)若方程/(x)4-m=0在［一,可内有两个不等的实根，求实数加e的取值范围.(II)如果函数g(x)=f\x)-ax的图象与x轴交于两点力(禹,0),B(x2,0),且010成立的最小正整数〃的值是4、已知/(x)是R上的奇函数，对任意jcgR,均有/(x+2)=/(x),且xg((),1)时，/(x)=F,则3/（--）+/（!）=5、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，△血B为等边三角形,O为/〃边的中点，且PO丄平面ABCD，则二面角P-AC-D的余弦值为；6、若正整数加使得对任意一组满足=1的正数再,。2，。3，。4都有+0/+03"+勺"'》丄+丄+丄+丄成立，则正整数加的最小值为Qia2a3a47、函数/(x)=sin2A兀+cos汰x,(£wNj的最小值为8、将方程x3-3x[x]-4=0([兀]表示不超过x的最大整数)的实数解从小到大排列成壬,兀2,…,x&，则X,+昂+…+耳3=二、解答题(共3题，共56分)9、(本题16分)设二次函数f(x)=x2^hx+c(b,ceR)与x轴有交点。若对一切xeR,有门兀+丄)》0,Hx门弐二空)51，求b,c的值。JT+110、(本题20分)记集合T二｛0,1,2,345,6,7｝,勺(21,2,3,4)是卩中可重复选取的元素.(1)若将集合M=口X*+皎X*+勺><8+為|勺丘T,i=1,2,3,4｝屮所有元素按从令到木的顺序排列，求第2008个数所对应的®(z=1,2,3,4)的值；(2)若将集合N=｛〈+¥+*+*|g,gT,Z=1,2,3,4｝中所有元素按从木到今的顺序排列，求第2008个8888数所对应的％（2123,4）的值.\nx2y211、（本题20分）己知椭圆一+二=1的左.右焦点分别为F「F2,过耳的直线交椭圆于A.B两点,过E的951-1~直线交椭圆于C、D两点，且丄CD,垂足为（1）设P点的坐标为（x°』o），求仓+比的最值;5（2）求四边形ACBD的面积的最小值.2011年全国高中数学联赛模拟题5一试考试时间上午&00-9：20,共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、整数x>y>zf且2”+2>'+=4.625,则x』,z分别为。2、耳，几伙=1,2,3）.均为非负实数，则J（2010_y_儿一旳尸+撑+寸y；+兀;+Jy；+xj+（兀]+兀2+兀3）2的最小值为。3、己知集合={x|x=6Z（）+tz,x7+x72+rz3x73},其中qw{0,1,2,3,4,5,6},Z=0,l,2,3且色工0。若正整数myneA,且m+n=20l0,m>n,符合条件的加有_个4、记F（r）=（兀一刃2+（兰+丄）2,go）,则F（x,y）的最小值是2y5、集合的容量是指集合中元素的和.则满足条件“力匸{123,4,5,6,7},且若aeA时，必有8-aeAff的所有非空集合/的容量的总和是.（用具体数字作答）6、{%}为再=4的单调递增数列，满足a；]+/+16=8（%+]+q”）+2q”+]Q”，则an=_.7、设a,b,c为方程£_k\X_kr二0的根（贝ij±+l±2+土二c\-a\-b]-c\n8、如图，记从“田字型”网格（由4个边长为1的正方形构成）的9个交点中任取3个构成三角形的面积记为E（当所取3点共线时，2=0）,则g的数学期望Eg二二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）求函数y=sinx+cos2x（xg7?）的最大值和最小值.10、（本题20分）设x,y,z为正实数，求函数f（x,y,z）=°+"）（芳+°x）（4y+3^2z+1）的最小值。xyzlk（本题20分）n2（n^4）个正数排成n行n列an<112ai3H|4aina21a22辺3^24a2n巧1&32&33a34a3n341如2细3&44如n•••••••••••••••••••••anl如2%3Ran+a22+a33+•••+ann.（1990年全国局屮数学联赛试题）8162011年全国高中数学联赛模拟题6一试的最人值为最小值为b,则Qb等于考试时间上午8：00-9：20,共8（）分钟，满分12（）分一、填空题（共8题，每题8分，64分）\n3、已知集合S={x|l0">0)的离心率为2,过点P(0,m)(m>0)斜率为1的直线/交X3+(-l)8X8=7),对S的所有非空子集，这些和的总和为•4、己知两个集合A=|(x,j^)x=m,y=-3m+2,meA^+］,x-n,y-a(n2+nw,若AQBH①，则整数a的值为.20125、函数f(x)的定义域为(0,+8),并且对任意正实数x,都有/(%)+xf(——)=3%,则/(2)=・x6、a,b,c是正整数，且成等比数列，b-a是一个完全平方数，log6d+log6b+log6C=6,则a+b+c二.7、已知f(x)=x2+6ax-a,y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(西,0),(兀,0)H=8。—3,则Q的值为•(1+兀］)(1+兀2)(1—6a—£)(1-6a-x2)8、设n为正整数，记1X2X-Xn为n!(例如1!=1,2!二1X2,5!二1X2X3X4X5)，若存在正整数勺宀宀宀，％满足卫二鱼+幺+《+坐+丝，这里OSd.V,i二2,3,4,5,6,则肚+圧+疋+圧+/等于.362!3!4!5!6!'-CTZT56二、解答题(共3题，共56分)9、(本题16分)已知点的序列An(x„fi\neN*,其中旺=0,x2=丄，厶是线段出兄2的中点,力4是线段厶厶的2中点，…，观是线段An_24；_!(H>3)的中点，⑴写出兀”与x”_］,兀”_2之间的关系式(〃》3)；⑵设an=xn+1-xw,求仏}的通项公式。11、(本题20分)已知双曲线C:10、(本题20分)己知，函数/(x)=x|x—2q|,试求/(兀)在区间［0,1］上的最大值g(Q)。\n双曲线C于43两点，且乔=3西，鬲勿=3（1）求双曲线方程；（2）设Q为双曲线C右支上动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴负半轴上是否存在定点M,使得ZQFM=2ZQMF?若存在，求岀点M的坐标，若不存在，请说明理由。2011年全国高中数学联赛模拟题7一试考试时间上午8：00-9：20,共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、满足方程厶-2009-2厶-2010+Jx-2009+2厶-2010=2所有实数解为XX2、心，函数/心2叫+3叫的最小正周期为——3、设P是圆%2+/=36±一动点，A点坐标为（20,0）o当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为—4、设锐角三角形ABC的边BC上有一点D,使得AD把AABC分成两个等腰三角形，试求AABC的最小内角的取值范围为:5、设z是庞数，w=z+丄，且一lvwv2,则z的实部取值范围为Z6、设/（兀）=/兀2一兀+1）一兀4（1一兀）4。如果对任何XG[O,1J,都有/（%）>0，贝必的最小值为7、（1\av2+7x-l若不等式丄/]\2x+5对-lWdW1恒成立，则X的取值范围是8、已知数列&｝的通项ak=2k,k=l,2,…，n,则所有的aia.j（lWiWjWn）的和为二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）已知椭圆二+尹2=1（。〉1）,Rt\ABC以A（0,1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两点CT27B、C。若MBC面积的最大值为求。的值。0（本题2。分）已知数列®是首项为2,公比驾的等比数列，且前〃项和为臨⑴用，表示皿⑵是否存在自然如肌使得誉>2成立.\n11、（本题20分）己知定义在R+上的函数/U）满足（i）对于任意。、〃丘戎，有./（亦）=〃）+"）；（ii）当x>l时，./U）<0；（iii）/（3）=-l.现有两个集合力、3,其中集合/={（/皿）1血?+1）-/（5彳）-2>0,〃、qGR+},集合民{（/〃）］/（£）+2=0,q2卩、qWR+}・试问是否存在"、q,使/C1BH0,说明理由.2011年全国高中数学联赛模拟题8一试考试时间上午8：00-9：20,共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、函数f（x）=2x-\j4x-x2的值域是.2、设z是复数，贝ij|z-l|+|z-z|+|z+l|的最小值等于.3、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：4卫2卫3，・・・，陽，例如:q=2?-12=3,a2=32—22=5,a3=42—32=7,a4=32—I2=8,….那么a2007=_.4、在\ABC中，tan5=V3,sinC=^-,AC=3氏,则\ABC的面枳为.35、圆锥曲线Jx?+尹~+6兀一2尹+10—|兀一尹+3|=0的离心率是.\n6、若加、nw{x兀=q?xlO,+qxlO+q）},其中qw{1,2,3,4,5,6,7},i=0,L2,并且m+n=636,则实数对（w）表示平面上不同点的个数为7、己知/（x）=x+1|+x+2+•••+x+2007+x—1|4-x—2+•••+|x—20071（—15x51）,且/（a2一3。+2）=/（。一1）,则a的取值范围是8、从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）当实数a为何值时，关于x的方程ax=\nx无解、一解、两解？310、（本题20分）已知二次函数/（x）二/+加+c（b>0）在区间[-1,1]±的最小值为才，最大值为3.（1）求/（兀）的表达式；（2）若Q”=/（H）—/（刃—1）,其HHEN.求证：一7"I*V—•5血%411、（本题20分）已知A/1BC的三边氏度各不相等，D,E,F分别是Z/,ZB,ZC的平分线与边BC,CA,AB的垂直平分线的交点.求证：\ABC的面积小于ADEF的面积.2011年全国高中数学联赛模拟题9一试考试时间上午8：00-9：20,共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、/（兀）是周期为5的奇函数，/（1）=8,则/（2010）-/（2009）=o\nqv112、设函数()=亠，若［x］表示不大于x的最大整数，则函数+i的值域是JLIJ厶3、妙工0,xpx2,x3为多项式a£-ax1七卩x+卩=0的根，则123456735791113812162024..20283644...486480•••112144(Xj+兀2+“)(11)=西兀2乃4、如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则2000在表中岀现次。5^已知二次函数/(x)=x2-2/nx+\,若对于［0,1］上的任意三个实数a,b,c,函数值/(a),/(b),/(c)都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的加的值可以是6、若(兀+尹)‘一兀‘+y=0,则尹=123456787、如图从第一格跳到第8格，规定每次只能跳一格或者2格，则不同的跳格方法总数为O8、等比数列｛%｝中，^=1^20)0=4,函数/(x)=x(x-67,)(兀一色)…(兀一。2()】0)，则函数在(0,0)处的切线方程为O二、解答题(共3题，共56分)9、(本题16分)如图，已知O为MBC的外心，a,b,c分别是角力、B、C的对边，且满足COAB=BOCAo(1)推导出三边论之间的关系式(2)求黑+器的值。10、(本题20分)设直线/:歹=也+〃?(其屮加为整数)与椭圆—+^-=1交于不同两点A,B,与双曲线—-^=11612412交于不同两点C,D,问是否存在直线/，使得向量走+丽=(),若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由.11、(本题20分)己知函数/(x)=丄，对于neN+，定义j\(x)=/(x),./；,+1(x)=f\fn(x)l,fW函数g(兀)的定义1—兀域为当x>0时，g(x)=|厶89⑴|。(1)求g(x)；(2)若存在实数a,b(a2n-2o\n11、(本题20分)数列｛勺」满足:APODB10、(本题20分)如图，抛物线y2=2x及点F(l,l),过点P的不重合的直线厶、厶与此抛物线分别交于点力，B,C,D•证明：A,B,C,D四点共圆的充要条件是直线厶与厶的倾斜角互补.证明：(1)对任意/7GN.am为正幣数；(2)对任意nwN卫評沖为完全平方数.2011年全国高中数学联赛模拟题11一试考试时间上午8：00-9：20,共80分钟，满分120分一、填空题(共8题，每题8分，64分)1.方程9”+|1-3*5的实数解为・2.函数y=sinx+cosx(xgR)的单调减区间是・3.函数/(x)=(x-2)(x+l)2在区间［0,2］上的最大值是,最小值是・4.在直角坐标系兀Qy中，已知圆心在原点O、半径为7?的圆与/XABC的边有公共点，其中力=(4,0)、〃=(6,8)、C=(2,4),则7?的取值范围为・5.设函数/(兀)的定义域为R,若/(x+1)与/(x—l)都是关于x的奇函数，则函数y=f(x)在区间［0,100］上至少有个零点••\n"且cos岬1.圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种•其中镀2金2银的概率2.在三棱锥/一BCD中，已知AACB=ZCBD,ZACD=ZADC=ZBCD=ZBDC知棱如？的长为6^2,则此棱锥的体积为ax3.设复数列｛兀｝满足兀工G-1,0,ILxz/+I=—•若对任意/7GN*都有£+3=兀,则a的值是£+1二、解答题（共3题，共56分）兀2•3_•4—9、（本题16分）直角坐标系xQy屮，设/、B、M是椭圆C:—-f-/=l上的三点.^OM=-OA+-OB,°4552证明：线段的中点在椭圆—+2/=1±.1（）、（本题2（）分）己知整数列｛色｝满足@==-1，如=4,前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列.（1）求数列｛q”｝的通项公式；⑵求出所有的正整数m,使得am+am+i+atn+2=amafn+｝am+2.11、（本题20分）求所有正整数x,y,使得疋+3卩与;/+3兀都是完全平方数.2011年全国高中数学联赛12一试\n考试时间上午8：00〜9：20,共80分钟，满分120分一、填空题(本题满分64分，每小题8分)log2009+log2009+•••+log20091.设4卫2，・・・卫旅(1，2)，则——希的最小值是olog®©…"102.已知x.yeTV*，且1+2+…+尹=1+9+9?+…+9’'，则将y表示成x的函数，其解析式是y—o3.已知函数/(x)=|x2-21,若f(a)=f(b),且Ovavb,则〃的取值范围是。174.满足方程10g2[2cos?(卩)+2cos2(卩)]=一尸+尹+才的所有实数对(兀』)=o5.若⑷表示不超过实数a的最大整数，则方程[tanx]=2sin2x的解是。6.不等式22v<3-2x+7；+4-2277的解集是o7.设力是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即力={1,2,…,2009},集合厶匸宜，且厶屮任意两个不同元素之差都不等于4,则集合厶元素个数的最大可能值是。8.给岀一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有个。二、解答题9.(本题满分16分)设函数/(x)定义于区间[0,1],满足/(0)=0,/(1)=1,且对任意xyye[0Alx0,b>0）的离心率为2,过点P（0,m）crZr（加>0）斜率为1的直线/交双曲线C于/、8两点，且乔=3丙，刃•丙=3.(1)求双曲线方程；(2)设0为双曲线C右支上动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴负半轴上是否存在定点M使得ZQFM=2ZQMF?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.\n5.(本小题满分20分)设环兀2,••是不同的正实数•证明：西宀,…，兀，…是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数«(>2),都有1・(本题满分40分)实数a使得对于任意实数xpx2,x3,x4,x5,不等式彳+兀；+兀；+兀：+x；>a(x}x2+x2x3+x3x4+x4x5)都成立，求a的最大值.2・(本题满分4U分)在直角三角形/BC中，Z5=90°,它的内切圆分别与边BC,CA,相切与点DE,F,连接4D,与内切圆相交于另一点连接PC,PE,PF.己知PC丄PF,求证：PE//BC・\n2.（本题满分50分）对正整数〃，记/⑺）为数3/?+卄1的十进制表示的数码利（1）求/⑺）的最小值；⑵是否存在一个正整数弘使得/（72）=100?3.（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数在圆O的圆周上任取n个点4,/,•••,&，则在C；个角ZAtOA.（10),若关于兀的方程j\x）=x+a有口只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是1.计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数”时按下这个按键，会等可能的将其替换为0〜”-1中的任意一个数。如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是。2.己知椭圆—4-^=1的左、右焦点分别为F】、F?,过椭圆的右焦点作一条直线/交椭圆于点尸、0，则23内切圆面积的最大值是•6•设｛%｝为一个整数数列,并且满足：（〃_1）陽+|="+1）%_2（/1_1）,応N、・若2008%，则满足20080”且n>2的最小正整数n是.7.如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞,再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是o8.在平面直角坐标系内，将适合xvy,xv3,y<3,且使关于t的方程（，-b）厂+（3x+y）"+—=0没有实数根的点（X』）所成的集合记为N,则由点集N所成区域的面积为O二、解答题（本题满分56分）1nI9.（本小题满分16分）对正整数记勺严工，求数列｛%｝中的最大值k=\斤一k2'10.（本小题满分20分）己知椭圆^+*=1过定点/（1,0）,且焦点在x轴上，椭圆与曲线\y\=x的交点为2职°现有以〃为焦点’过仗C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为"”，0）,当椭圆的离心率满足-<^<1\n时，求实数〃7的収值范围。11・(本小题满分20分)映射/的定义域是力={1,2,・・・,20}的全体真子集，值域包含于{1,2,…,10},满足条件:对任意都有/(5nC)=min{/(5),/(C)},求这种映射的个数.一、(本题满分40分)设4B、C、D、E为直线/上顺次排列的五点,ACBCCE~^CDF在直线/外的一点，连结FC并延长至点G,恰使上E4C=Z4GD,ZFEC=ZEGB同时成立.求证：ZFAC=ZFEC。二.(本题满分40分)已知：a,b,c>09a+b+c=2,beab\n三、(本题满分50分)设正整数n大于1,它的全部正因数为〃］,〃2，…'必，满足1=d\(i)证明：D0恒成立，则实数d的取值范围为.26.将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数Z和不小于58.所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为.二、解答题(本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分)7.已知数列｛a“｝中,ax=l,a2=—，且%=一—(“=2,3,4,…).~4n-an(1)求数列｛%｝的通项公式；川7(2)求证：对一切neN\有工Q；v—.k=\68.设尸=弋+6/+11F+3X+31,求使P为完全平方数的整数a•的值.\n2211已知直线r与椭圆°話+匸1交于力两点,过椭圆。的右焦点F、倾斜角畑的直线，交弦血于点P,交椭圆C于点M,N・（1）用Q表示四边形胚4N3的面积；（2）求四边形胚4棚的血积収到最大值时直线/的方程.2011年全国高中数学联赛16一、填空题（本题满分56分，每小题7分。）1.已知复数加满足加=1m则m2008+m2009jrjryG则冷的值域为2・设fix)=—cos2x+^-sinxcosx+2,221.设等差数列仏｝的前〃项和为S”，若S|5>O,S“vO,则…，區中最大的是Q]a2ai52.已知O是锐角△/BC的外心，AB=6.AC=10,若AO=xAB+yAC,且2x+10y=5，则cosABAC=.3.已知正方体4BCD—A\B\C\D\的棱长为1,O为底面ABCD的中心，M,N分别是棱和CC】的中点.则四而体O-MNB、的体积为.4.设/UBUC={1,2,3,4,5,6},且AC]B={192},{1,2,3,4}匸BUC，则符合条件的(4,B,C)共有组.（注：45C顺序不同视为不同组•）5.设歹=sinx+cosx+tanx+cotx+sec兀+cscx,贝U|y|的最小值为.8•设p是给定的正偶数，集合Ap=｛x\2p0)满足如=2,am+n+am_n-m+n=-{a2m+a2n),其中m.neN.m>n.(1)证明：对一切mgN,有an+2=2q卄］一+2；(2)证明：丄+丄+・・・+^^Vl・a\a2^200910.已知抛物线C：y=^x2与直线/：y=kx一1没有公共点，设点P为直线/上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A,B为切点.(1)证明：直线恒过定点0；1.设a.b.c.d为正实数，且a+b+c+d=4.证明:>4+(a-b)2.72b2c2d2——+——+——+——bcda加试\n1•任意给定锐角厶ABC,在其边BC上有两点E、F满足ZBAE=ZCAF,在边AB、AC上分别取点M、N,使得A、M、F、N四点共圆，延长AE交AABC的外接圆于点D.证明:S四边形AMD、=S△ABC・2、（本题40分）已知无穷数列｛%｝满足兔）=X,同=V，碍+1="""""+丄S=1,2,…）•Q”+an-\（1）对于怎样的实数x,y,总存在正整数®，使当n>nQ时，Q”恒为常数？（2）求数列仏｝的通项公式.3、（本题50分）设川是正幣数，a=［4n］（其屮［x］表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的〃的最大值：⑴不是完全平方数；⑵/4、（本题50分）一群科学家在一个研究所工作.在某天的8小时工作时间内，每个科学家都至少去过一次咖啡厅.己知对于每两个科学家，恰有他们中的一个岀现在咖啡厅中的时间总和至少为>4）小时.求出在研究所中工作的科学家人数的最大可能值（依赖于x）.
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