数学竞赛 试题 10页

2011年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月13日8:30——10:30）微题号一二三总分(1—10)(11—18)1920得分一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内题号12345678910答案1．设xy＜0，x＞|y|，则x+y的值是A.负数B.0C.正数D.非负数2．若(x+3)(x+n)=x2+mx-15，则m等于A.-2B.2C.-5D.53．若，则化简的结果为A．1B．-1C．D．4．已知m为任意实数，则直线y=x+m与y=-x-4的交点不可能在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．从1～9这九个自然数中随机取出一个数，取出的数是2的倍数的概率是A．B．C．D．6．A地在河的上游，B地在河的下游，若船从A地开往B地速度为v1，从B地返回A地的速度为v2，则A、B两地间往返一次的平均速度为A．B．C．D．7.图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离()与时间(\n)之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是B.yx图1OA.C.D.8．如图2，AB是铅直地竖立在坡角为30°的山坡上的电线杆，当阳光与水平线成60°角时，电线杆的影子BC的长度为4米，则电线杆AB的高度为A．4米B．6米C．8米D．10米9．如图3，菱形ABCD中，点O是对角线AC上一点，OA=AD，且OB=OC=OD=1，则该菱形的边长为光线ABC图2水平线30°ABCDO图3OA北60°东图4MA．B．C．1D．210．根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300km的点O处（如图4），正以20km/h的速度向北偏西60°方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A市受台风影响持续的时间是A．10hB．20hC．30hD．40h二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）11．若（）是关于的方程的根，则的值为.12．若（b≠0），则．13．图5是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在25~45次的频率是________．\n次数人数12953015253545图515560ABC图6ABO图714．如图6，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________．15．已知二次函数的图象经过原点及点且图象与轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．16．图7中的两个滑块A、B由一个连杆连接，分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20cm，滑块B距O点15cm．则当滑块A向下滑到O点时，滑块B滑动了_________．C图9NABDEFMACBDO图817．如图8，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，点C恰好在AB上，∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是_________．18．如图9，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为__________．三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19．如图10，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．（1）若CP平分∠ACB，求证：AP=2QO．（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题.①把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度为x，△APE的面积为S.试求S与的函数关系式；\nABCDPOQ图10②求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．ABCDPOQ备用图20．文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若\n都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2∶1，文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座文昌三亚81（元）68（元）51（元）（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买张（小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式．（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？\n2011年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）题号12345678910答案CADABBDCAB提示：2.∵3n=-15，∴n=-5，m=3+(-5)=-2.故选A.3.∵a+|a|=0,∴|a|=-a,∴a≤0，进而a-1≤0∴=|a-1|+|a|=-(a-1)-a=1-2a.故选D.4.∵直线y=-x-4不经过第一象限，∴无论m为何实数，直线y=x+m与y=-x-4的交点不可能在第一象限，故选A.8.如图2，由题意可知，∠ACB=90°，∠ABC=60°，则AB=2BC=8米,所以选择C.AOBC北东图4MN9.如图3，由已知可知△ABC与△BOC相似，可得，即BC2=AC·OC.设OA=BC=x，可得方程x2=x+1，解这个方程得，（不合题意，舍去）.故选A.ABCDO图3光线ABC图2水平线30°60°\n10.如图4以点A为圆心，250km为半径画圆，交OM于点B、C，作AN⊥BC于点N，则可求出AN=150km，又AC=250km，利用勾股定理可求出CN=200km，则BC=400km，当台风中心在线段BC上时，A市都会受到台风的影响，所以A市受台风影响持续的时间为400÷20=20小时，所以选择B.二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11.因为是关于的方程的根，所以，所以，又ABC图6则，所以则的值为－2.12.，又所以所以原式=.13.由频率分布直方图可知，“25~45”的学生人数有21人，所以仰卧起坐次数在25~45次的频率是0.7.14.如图6，连接AC可知△ABC是等腰直角三角形，所以∠ABC=45°.15.与原点的距离为1的交点有(1，0)或（－1，0），由此可求得该二次函数的解析式有两个，分别为：或.16.如图7，由，可知连杆AB的长度等于25cm，当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是25cm，故滑块B滑动了25－15=10cm.17.△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，点C恰好在AB上，所以可知OA=OC，∠AOC=∠BOD=40°,∴∠ACO=70°，又∠AOD=90°，∴∠BOC=10°,∴∠B=60°.18.如图9,连接．由题意得四边形和四边形关于直线对称．\n∴垂直平分．∴∵点E是CD的中点，DE=1∴NABCDEFM图9在和在中，，，∴设，则，∴.解得,即.三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）ABCDPEEOQM12GF3图1019.（1）证明：过点O作OM//AB交PC于点M，则∠COM=∠CAB.∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°,∴AP=2OM.又∵∠1=∠2,∴∠1+∠COM=∠2+∠CBD,即∠OMQ=∠OQM.∴OM=OQ∴AP=2OQ．（本小题也可以过点A作直线平行于OQ证明）（2）根据题意作出图形，如图10所示①ⅰ、当PC绕点P逆时针旋转90°时，作EF⊥AB交BA延长线于点F,则∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°.又∠2+∠CPB=90°,∴∠3=∠2.又PE由PC绕点P旋转形成∴PE=PC∴△EPF≌△CPB.\n∴EF=BP=,∴AP=1－∴.∴△APE的面积S与的函数关系式为（）.ⅱ、当PC绕点P顺时针旋转90°时，作EG⊥AB交AB延长线于点G,则同理可得△EPG≌△CPB，EG=BP=.∴△APE的面积S与的函数关系式为由ⅰ、ⅱ可得△APE的面积S与的函数关系式为，（）②由①知S与的函数关系式为，（）即，（）∴当时S的值最大，最大值为．此时点P所在的位置是边AB的中点处．20.（1）设参加社会实践的老师有人，学生有人，则学生家长有人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：解得则答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10、20与180人．（2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，①当时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，（）名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票．∴火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式为：即（）②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共张．\n∴火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式为：即（）（3）由（2）小题知，当时，，由此可见，当时，的值最小，最小值为11233元，当时，的值最大，最大值为11610元．当时，，由此可见，当时，的值最小，最小值为11640元，当时，的值最大，最大值为16980元．所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．