新知杯上海市高中数学竞赛试题 4页

2011年新知杯上海市高中数学竞赛试题2011年3月27日上午8：30——10：30说明：解答本试题不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分）1.方程组的解集为.2.在平面直角坐标系中，长度为1的线段在轴上移动（点在点的左边），点、的坐标分别为、，则直线与直线交点轨迹的普通方程为.3.已知是椭圆在第一象限弧上的一点，轴，垂足为，当的面积最大时，它的内切圆的半径4.已知外接圆半径为1，角、、的平分线分别交外接圆于、、，则的值为.5.设，其中、为实常数，若，则的值为.6.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，使，其中、均为整数，且，则满足条件的数对共有组.7.已知圆的方程为（圆心为），直线与圆交于、两点，则直线，倾斜角之和为.8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中，甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为，则甲最后获胜的概率是.二、解答题：9.（本题满分为14分）对于两个实数、，表示、中较小的数，求所有非零实数，使.\n10.（本题满分为14分）如图，在中，为中点，点，分别在边，上，且，，，，.求的大小.11.（本题满分为16分）对整数，定义集合，问，，，…，这600个集合中，有多少个集合不含完全平方数？12.（本题满分为16分）求所有大于1的正整数，使得对任意正实数，，…，，都有不等式.\n2011年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题解答及评分参考意见一.填空题1.;2.y(x-2)=-2;3.;4.2;5.-1;6.6;7.;8..二.解答题9.解:当时,当时,故min=又min=(4’)所以有以下四种情形:(1)当时,原不等式为,.此时,.(2)当时,原不等式为.此时,.(9’)(3)当时,原不等式为此时,.(4)当时,原不等式为.此时,.综上所述,满足题意的x的取值范围为(14’)A64NM34BOCP10.解:延长NO至P,使OP=ON,又BO=OC,可知BPCN为平行四边形,,BP=CN=3.(3’)连接MP,在NP的垂直平分线上,(6’)令MN=a,则在和中,由余弦定理得(10’)消去,得,于是(14’)11.解:.\n中含有的平方数都不超过,且每个集合都是由连续50个非负整数所组成的,故每个集合至少含有1个平方数.(6’)中,若含有平方数,都不小于.而当时,2x+153,从而中,每个集合至多含有1个平方数.另一方面,中最大数是,中含有平方数.则不超过.(12’)中有且仅有173-25=148个集合含有平方数.综上所述,中,有600-13-148=439个集合不含有平方数.(16’)12.解:当n=2时,不等式为即故n=2满足题意.(2’)当n=3时,不等式等价于故n=3满足题意.(5’)当n=4时,不等式为.故n=4满足题意.(8’)下证当n>4时,不等式不可能对任意正实数都成立.取则原不等式为这与矛盾.所以满足题意的正整数n为2,3,4.(16’)