2005年江苏高中数学竞赛预赛试题及答案 8页

我爱奥赛网www.52aosai.com：免费竞赛试题下载交流2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题、填空题只设6分和0分两档.其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本评分标准适当划分评分档次,3分为一个档次,不要再增加其他中间档次.一．选择题(本题满分36分,每小题6分)1.函数的图像按向量平移后,得到的图像的解析式为.那么的解析式为A.B.C.D.答:[B]解：,即.故选B．2.如果二次方程N*)的正根小于3,那么这样的二次方程有A.5个B.6个C.7个D.8个答:[C]解：由,知方程的根为一正一负．设，则,即.由于N*，所以或.于是共有7组符合题意．故选C．3.设,那么的最小值是A.2B.3C.4D.5答:[C]解：由,可知,所以，.故选C．8\n我爱奥赛网www.52aosai.com：免费竞赛试题下载交流4.设四棱锥的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个答:[D]解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为、,直线、确定了一个平面.作与平行的平面,与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面有无数多个．故选D．5.设数列:,N*,则被64除的余数为A.0B.2C.16D.48答:[C]解：数列模64周期地为2，16，－2，－16，…….又2005被4除余1,故选C．6.一条走廊宽2m,长8m,用6种颜色的11m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的,每种颜色的地砖都足够多),要求相邻的两块地砖颜色不同,那么所有的不同拼色方法有A.个B.个C.个D.个答:[D]解：铺第一列(两块地砖)有种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了、两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺色．若铺色，则有种铺法；若不铺色，则有种方法.于是第二列上共有种铺法.同理，若前一列铺好，则其后一列都有种铺法．因此，共有种铺法．故选D．二．填空题(本题满分36分,每小题6分)7.设向量绕点逆时针旋转得向量,且,则向量（－，）.8\n我爱奥赛网www.52aosai.com：免费竞赛试题下载交流解：设,则,所以.即解得因此，.故填．8.设无穷数列的各项都是正数,是它的前项之和,对于任意正整数,与2的等差中项等于与2的等比中项,则该数列的通项公式为an=4n－2(n∈N*).解：由题意知，即.………①由得,从而.又由①式得,………②于是有,整理得.因,故．所以数列是以为首项、为公差的等差数列，其通项公式为，即.故填N*)．9.函数R)的最小值是.解：令，则．当时，，得；当时，，得．8\n我爱奥赛网www.52aosai.com：免费竞赛试题下载交流又可取到,故填．10.在长方体中,,点、、分别是棱、与的中点,那么四面体的体积是V=.解：在的延长线上取一点，使.易证，，平面．故．而，G到平面的距离为．故填．11.由三个数字、、组成的位数中,、、都至少出现次,这样的位数共有150个.解：在位数中,若只出现次，有个；若只出现次，有个；若只出现次，有个．则这样的五位数共有个．故填个．12.已知平面上两个点集R},R}.若,则的取值范围是[1－，3+]．解：由题意知是以原点为焦点、直线为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，是以为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察时,的取值范围:令,代入方程,得，解出得．所以，当时,．…………③8\n我爱奥赛网www.52aosai.com：免费竞赛试题下载交流令，代入方程,得.解出得．所以，当时,．…………④因此,综合③与④可知，当，即时,．故填.三．解答题(第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13.已知点是的中线上的一点,直线交边于点,且是的外接圆的切线,设,试求(用表示).证明：在中，由Menelaus定理得．因为，所以．………………6分由，知∽，则．所以，，即．……………………12分因此，．又，故．……………………15分14.求所有使得下列命题成立的正整数:对于任意实数,当时,总有(其中).解：当时，由，得．所以时命题成立.……………………3分8\n我爱奥赛网www.52aosai.com：免费竞赛试题下载交流当时，由，得.所以时命题成立.…………………6分当时，由，得．所以时命题成立．………………9分当时，令，，,则.但是,，故对于命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是.……………15分15.设椭圆的方程为,线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦.若在左准线上存在点,使为正三角形,求椭圆的离心率Q＇的取值范围,并用表示直线的斜率.解：如图,设线段的中点为．过点、、分别作准线的垂线,垂足分别为、、,则．……………6分假设存在点，则，且，即，所以，．…………………………12分8\n我爱奥赛网www.52aosai.com：免费竞赛试题下载交流于是，，故．若(如图)，则.……………18分当时,过点作斜率为的焦点弦,它的中垂线交左准线于,由上述运算知,．故为正三角形.…………21分若，则由对称性得．………………24分又,所以，椭圆的离心率的取值范围是，直线的斜率为．16.(1)若N*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005,求的最小值,并说明理由；(2)若N*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2002,求的最小值,并说明理由.解：(1)因为,，故.因为，所以存在，使．………………6分若，因,则最大的正方体边长只能为或，计算8\n我爱奥赛网www.52aosai.com：免费竞赛试题下载交流，而与均不是完全立方数,所以不可能是的最小值.………………9分若，设此三个正方体中最大一个的棱长为,由,知最大的正方体棱长只能为、、或.由于,,,所以.由于,,,,所以.由于,,,所以.由于,,所以.因此不可能是的最小值.综上所述，才是的最小值.………………12分(2)设个正方体的棱长分别是，则．……………⑤由，，得．……⑥……15分又当N*时，，所以，，.…⑦……………21分⑤式模,由⑥、⑦可知,．而，则．……24分因此为所求的最小值．8