2011年东莞市高中数学竞赛决赛试题 13页

2015年揭阳市高中数学竞赛决赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是A．B．C．D．2．若是第四象限角，且，则是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3.已知点不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则A．点不在直线上B．点在线段上C．点在线段的延长线上D．点在线段的反向延长线上4．设，若直线与圆相切，则的取值范围是A.B.C.D.5.已知正方体C1的棱长为，以C1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C2，以C2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C3，则凸多面体C3的棱长为A．18B．C．9D．6.已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则A．B．C．D．2,4,6二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）7．已知，则不等式的解集为▲.8．随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有▲人.高中数学竞赛试题第13页共13页\n4.34.44.54.64.74.84.95.05.1.75.20.10.3视力频率/组距9．在中，角所对应的边长分别为，若，则的最小值为▲.10．给出下列四个命题：（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交；（2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面；（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直；（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．其中真命题的序号是▲．（写出所有真命题的序号）11．若动点在直线上运动，且满足≤8，则的取值范围是▲．12．设函数，为坐标原点，为函数图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量，向量，设为向量与向量的夹角，满足的最大整数是▲。．答题卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号123456答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．8．9．10．11．12．高中数学竞赛试题第13页共13页\n三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）已知函数．（1）求函数的单调减区间；（2）该函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到?（3）已知，且，求的值．高中数学竞赛试题第13页共13页\n14.（本小题满分12分）菱形中，，，点是线段的中点，线段与交于点.（1）若向量，求点的坐标；（2）当点运动时，求点的轨迹.高中数学竞赛试题第13页共13页\nABCDEF15．（本题满分13分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.（1）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；（2）求点D到平面ACE的距离.高中数学竞赛试题第13页共13页\n16．（本题满分13分）如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m3，每天流过甲厂的河水流量是500万m3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m3，每天流过乙厂的河水流量是700万m3（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放.根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.（1）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m3，试根据环保部门的要求写出x、y所满足的所有条件；（2）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m3，乙厂处理污水的成本是1000元/万m3，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m3，才能使这两个工厂处理污乙厂支流500万m3/天甲厂700万m3/天水的总费用最小？最小总费用是多少元？高中数学竞赛试题第13页共13页\n17．（本题满分14分）已知.（1）当时，若函数的图象与直线均无公共点，求证：（2）时，对于给定的负数，记使不等式成立的的最大值为.问为何值时，最大，并求出这个最大的，证明你的结论.2014年高中数学竞赛决赛参考答案11.24一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号123456答案ABDCDB二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．8．789．10．（3）（4）11．[2，8]12．3三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）解：（1）．…………………2分令，．得，．的单调减区间为，．…………………5分（2）先把函数的图象向左平移个单位，就得到函数的图象；高中数学竞赛试题第13页共13页\n再把其纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，就得到的图象．…………7分（3）由得：即…………………8分因为,所以.从而…………………10分于是.…………………12分14.（本小题满分12分）解：（1）菱形中，，且，所以.…4分（2）设，则.…………………5分又因为点是线段的中点，线段与交于点，即点是的重心，从而有,所以…………………7分菱形的对角线互相垂直，所以，即，亦即，整理得：（），…………………11分故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，除去与的交点.…………………12分15．（本题满分13分）解：（1）平面ADE与平面BCE垂直.…………………1分证明如下：高中数学竞赛试题第13页共13页\nABCDEF因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE.…………………3分因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，BC⊥AB，平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE.…………………6分于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE.………………7分（2）连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，ABCDEFMG所以点D与点B到平面ACE的距离相等.…………………8分因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离.…9分因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形.…………………10分因为AB＝2，所以BE＝.…………………11分在Rt△CBE中，故点D到平面ACE的距离是.…………………13分16．（本题满分13分）解：（1）据题意，x、y所满足的所有条件是，…………………4分即.…………………5分Axyo121.44x＋5y=8l（2）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则目标函数z＝1200x＋1000y＝200(6x＋5y).…………7分作可行域，如图.……………10分高中数学竞赛试题第13页共13页\n平移直线l：6x＋5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时，z取最大值，此时z＝1200×1＋1000×0.8＝2000（元）.……………12分故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是2000元.…………………13分17．（本题满分14分）解：(1)由与直线均无公共点（），可知无解，………………1分由无解，得：，整理得：(1)………………3分由无解，得：，整理得：(2)………………5分由(1),(2)得:.………………6分(2)由，所以………………7分因为,由得，………………9分所以恒成立，故不等式成立的的最大值也就是不等式成立的的最大值，…………10分因此为方程的较大根，即（）………………11分当时，是关于的增函数，………………13分所以，当时，取得最大值，其最大值为.………………14分18．（本题满分14分）解：（1）由条件可得，，根据题意知，．…………………1分高中数学竞赛试题第13页共13页\n由为数列中的第m项，则有，…………………2分那么，…………………4分因,所以是数列中的第项．…………………5分（2）设在区间上存在实数b使得数列和有公共项，即存在正整数s，t使，∴，因自然数,s，t为正整数，∴能被整除．…………………6分①当时，．②当时，若，，即能被整除，…………………8分此时数列和有公共项组成的数列，通项公式为；若，显然，，即不能被整除．………………9分③当时,，…………………10分若，则，又与互质，故此时．………………11分若，要，则要，此时，…………………12分由②知，能被整除，故，即能被整除．当且仅当时，能被整除．…………………13分此时数列和有公共项组成的数列，通项公式为.高中数学竞赛试题第13页共13页\n综上所述，存在，使得数列和有公共项组成的数列，且当时,数列；当时,数列.……………14分18．（本题满分14分）已知数列和的通项公式分别为和.（1）当时，记，若是中的第项，试问：是数列中的第几项？请说明理由．高中数学竞赛试题第13页共13页\n（2）对给定自然数，试问是否存在，使得数列和有公共项？若存在，求出的值及相应的公共项组成的数列，若不存在，请说明理由．高中数学竞赛试题第13页共13页