2011年东莞市高中数学竞赛决赛试题 10页

2015年深圳市高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合，，若，则的值为A3侧视图正视图22（第2题图）2．B．C．D．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能是①长方形；②正方形；③圆；④菱形.其中正确的是A．①②B．②③C．③④D．①④3．设，则A．B．C．D．4.平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的值为A.B.C.或D.，或（第5题图）5．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6.在棱长为1的正四面体中，记，则不同取值的个数为（第8题图）A．6B．5C．3D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）7．已知，，若，则=.8．如图，执行右图的程序框图，输出的T=.9.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为．10.求值：．11．对任意实数，函数都满足等式，且，则第10页共10页\n.12.在坐标平面内，对任意非零实数，不在抛物线上但在直线上的点的坐标为.答题卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号123456答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．8．9．10．11．12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）为预防病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：A组B组C组疫苗有效673疫苗无效7790已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组的概率是0.375.（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C组中抽取多少个？（3）已知,,求该疫苗不能通过测试的概率.第10页共10页\n14．（本题满分12分）已知函数．（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）若，求的值．15．（本题满分13分）ACBB1A1C1FGE如图，在直三棱柱中，，，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.第10页共10页\n16．（本题满分13分）已知函数.当时，记的最小值为.(1)求的表达式；(2)是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由.第10页共10页\n17．（本题满分14分）已知圆和直线，点在圆上，过直线上一点作.（1）当点的横坐标为且时，求直线的方程；（2）求存在点使得成立的点的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间上，若函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为区间上的“弱增”函数．已知函数．（1）判断函数在区间上是否为“弱增”函数，并说明理由；（2）设，证明；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．2014年深圳市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题：CBADDC二、填空题：7.8．9.10.11．12.三、解答题：13.（本题满分12分）解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B组的概率0.375，第10页共10页\n所以，………………2分即.………………3分（2）C组样本个数为y＋z＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500，………………4分现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C组中抽取个数为个.………………7分（3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知，且,所以C组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个.………………9分由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有，…………………10分即，解得，所以事件M包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个.…………………11分所以，故该疫苗不能通过测试的概率为.…………………12分14.（本小题满分12分）解：…………………1分…………………2分.…………………4分（1）的最小正周期为；…………………5分又由，…………………6分得，…………………7分从而的单调增区间为．…………………8分（2）由得，…………………9分所以，．…………………10分第10页共10页\n又因为，所以或．…………………12分15.（本题满分13分）ACBB1A1C1FGE解：（1）因为分别是的中点，所以；……1分又，所以；…………2分又平面，平面，所以平面．…………3分（2）直三棱柱中，因为，所以平面；……………4分又，所以平面，即；……………5分又因为，所以四边形是正方形，即；……………6分又分别是的中点，所以，从而有，……………7分由，所以平面，即．……………8分（3）因为平面，所以．……………10分由于平面，所以，且．…………11分又由于，……………12分所以，即．……………13分16.（本题满分13分）1O解：（1）．……………1分①当时，在时为增函数，所以在时的最小值为；……………3分②当时，；……………5分综上所述，．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m……………6分第10页共10页\n（2）由（1）知，当时，，所以当时，．……………7分由得：，……………8分即，……………9分整理得，……………11分解得：或.……………12分又因为，所以.即存在，使得成立.……………13分17.（本题满分14分）解：（1）圆的方程可化为：，所以圆心（2，2），半径=.……1分由于点的横坐标为，所以点的坐标为（4，5），即.……………2分若直线的斜率不存在，很显然直线与夹角不是，不合题意，故直线的斜率一定存在，可设直线的斜率为，则的直线方程为，即.……………3分由于所以到直线的距离为，此时，即这样的点存在.……………4分由，得，解得.……………5分所以所求直线的方程为或.……………6分(2)当时，过点的圆的两条切线成直角，从而存在圆上的点（切点）使得.……………7分设点的坐标为，则有，……………8分第10页共10页\n解得或.……………9分O记点为，点为，显然当点在线段上时，过的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点使得；……11分当点在线段的延长线或反向延长线上时，过的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点使得，…………13分所以满足条件的点为线段上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分）解：（1）由可以看出，在区间上，为增函数.………………1分又，……………3分显然在区间上为减函数，在区间为“弱增”函数.………………4分（2）.…6分,，，，即，………………8分.………………9分（3）当时,不等式显然成立.………………10分“当时，不等式恒成立”等价于“当时，不等式即恒成立”.………………11分第10页共10页\n也就等价于:“当时，成立”.………………12分由(1)知在区间上为减函数,所以有.……………13分，即时，不等式对恒成立.……………14分第10页共10页