高中竞赛平面几何题 105页

高中数学竞赛平面几何证明方法选讲第一题：证明角平分4第二题：证明四点共圆5第三题：证明角的倍数关系6第四题：证明线与圆相切7第五题：证明垂直8第六题：证明线段相等9第七题：证明线段为比例中项10第八题：证明垂直11第九题：证明线段相等12第十题：证明角平分13第十一题：证明垂直14第十二题：证明线段相等15第十三题：证明角相等16第十四题：证明中点17第十五题：证明线段的二次等式18第十六题：证明角平分19第十七题：证明中点20第十八题：证明角相等21第十九题：证明中点22第二十题：证明线段相等23第二十一题：证明垂直24\n第二十二题：证明角相等25第二十三题：证明四点共圆26第二十四题：证明两圆相切27第二十五题：证明线段相等28第二十六题：证明四条线段相等29第二十七题：证明线段比例等式30第二十八题：证明角的倍数关系31第二十九题：证明三线共点32第三十题：证明平行33第三十一题：证明线段相等34第三十二题：证明四点共圆35第三十三题：证明三角形相似36第三十四题：证明角相等37第三十五题：证明内心38第三十六题：证明角平分39第三十七题：证明垂直40第三十八题：证明面积等式41第三十九题：证明角平分42第四十题：证明角相等43第四十一题：证明中点44第四十二题：证明中点45第四十三题：证明角相等46\n第四十四题：证明垂直47第四十五题：证明角相等48第四十六题：证明垂直49第四十七题：证明四点共圆50第四十八题：证明四点共圆51第四十九题：证明四点共圆52第五十题：证明角平分53第五十一题：证明线段相等54第五十二题：证明两圆外切55第五十三题：证明垂直56第五十四题：证明垂直57第五十五题：证明垂直58第五十六题：证明垂直59第五十七题：证中点60第五十八题：证明角相等61第五十九题：证明角相等62第六十题：证明四点共圆63第六十一题：证明四点共圆64第六十二题：证明四点共圆65第六十三题：证明角相等66第六十四题：证明角的倍数关系67第六十五题：证明中点68\n第六十六题：伪旁切圆69第六十七题：证明垂直70第六十八题：证明平行71第六十九题：证明圆心在某线上72第七十题：证明三线共点73第七十一题：证明垂直74第七十二题：证明垂直75第七十三题：证明中点76第七十四题：证明垂直77第七十五题：证明垂直78第七十六题：证明三线共点79第七十七题：证明平行80第七十八题：证明平行81第七十九题：证明三线共点、证明垂直82第八十题：证明三点共线（牛顿定理）83第八十一题：证明角平分84第八十二题：证明角相等85第八十三题：证明三点共线86第八十四题：证明四圆共点87第八十五题：证明角平分88第八十六题：证明线段相等89第八十七题：证明角相等90\n第八十八题：证明线段相等91第八十九题：证明线段相等92第九十题：证明线段相等93第九十一题：证明中点94第九十二题：证明四点共圆95第九十三题：证明西姆松定理及逆定理96第九十四题：证明线段的和差关系等式97第九十五题：证明角相等98第九十六题：证明托勒密定理及逆定理99第九十七题：证明线段的和差关系等式100第九十八题：证明角相等101第九十九题：证明四点共圆102第一百题：证明两三角形共内心103\n第一题：证明角平分已知、是⊙的切线，、是一组对径点，交⊙于另一点，直线、交于点。求证：。\n第二题：证明四点共圆如图，是⊙的直径，,是圆上异于、,且在同侧的两点，分别过、作⊙的切线，它们交于点,线段与的交点为,线段与的交点为,求证：、、、四点共圆。\n第三题：证明角的倍数关系如图，、是以为直径圆的切线、是切点，交圆于点，、交于点，是直径。求证：。\n第四题：证明线与圆相切已知：中，，切⊙，交延长线于，是关于的对称点，于，是中点，延长交⊙于，求证：切外接圆。\n第五题：证明垂直已知四边形内接于以为直径的圆，设为关于为对称点，是关于对称点，直线交于，直线交于。求证：。\n第六题：证明线段相等已知：、是⊙切线，、是切点，是割线，、在圆上，离较近，于，交于，交于，求证：。\n第七题：证明线段为比例中项已知中，，是的中点，经过点，且与有相同的内心。求证：。\n第八题：证明垂直已知：为非直角三角形，平分，在上，于，于，交于。求证：。\n第九题：证明线段相等过圆外一点作圆的两条切线、，切点分别为、，过劣弧上一点作圆的另一条切线分别交、于、，连结交于点，连结交于点。求证：。\n第十题：证明角平分已知、是⊙切线，是过的切线，、分别在、上，于，连接、。求证：\n第十一题：证明垂直设是圆的割线，是切线，是圆的直径，、相交于。求证：。\n第十二题：证明线段相等设、是以为圆心为直径的半圆上两点，过做圆的切线交于，直线交直线、分别于、。求证:。\n第十三题：证明角相等如图，中，、分别为、上一点，且，、交于点，的外接圆⊙，与的外接圆⊙交于点，求证：。\n第十四题：证明中点如图，⊙、⊙交于、两点，、延长线交于点，、分别切⊙、⊙于、，连接交于，求证：为中点。\n第十五题：证明线段的二次等式如图，半径不相等的两圆⊙、⊙交于、两点，过的直线分别交⊙、⊙于、，延长线交⊙于，延长线交⊙于，过作垂线交中垂线于，求证：\n第十六题：证明角平分如图，内接于⊙，为中点，交⊙于，过作，交⊙于，过作，交于。求证：。\n第十七题：证明中点如图，内切圆⊙切于，过作交于，过作⊙切线，分别交、于、。求证：为中点。\n第十八题：证明角相等如图，如图，⊙、⊙交于、两点，它们的外公切线分别切⊙、⊙Q于、，为延长线上一点，交⊙于，交⊙于，平分交于。求证：。\n第十九题：证明中点如图，⊙为外接圆，、分别为的内心和一个旁心，的外角平分线交延长线于，于，交⊙于。求证：为中点。\n第二十题：证明线段相等如图，在锐角中，，是的中点，、是高。、分别是、的中点，若过且平行于的直线交于。求证：\n第二十一题：证明垂直如图，是边上一点，，⊙过点、分别交、于、，直线交于，是中点。求证：。\n第二十二题：证明角相等如图，如图，为⊙直径，、分别切⊙于、，割线交⊙于、，、交于点，交于，求证：。\n第二十三题：证明四点共圆如图，为外心，、分别为、上一点，于，、、分别为、、中点。求证：、、、四点共圆。\n第二十四题：证明两圆相切如图，内切圆⊙切于，于，为中点，交⊙于，作的外接圆⊙，求证：⊙、⊙相切于点。\n第二十五题：证明线段相等如图，内接于⊙，内切圆⊙分别切、于、，交⊙于，连接，延长到，使得，过作的垂线交延长线于，求证：。\n第二十六题：证明四条线段相等如图，⊙为外接圆，平分交⊙于，交于，交于，为垂心，交于，求证：。\n第二十七题：证明线段比例等式如图，四边形中，，外接圆⊙交于，外接圆⊙交于，、交于点，求证：。\n第二十八题：证明角的倍数关系如图，为外心，为内一点，使得，，为中点，过作交延长线于，连接、、，求证：。\n第二十九题：证明三线共点如图，⊙的内接四边形，、交于点，、交于点，的外接圆⊙交⊙于，交于，交⊙于，求证、、三线共点。\n第三十题：证明平行如图，中，为中点，为外心，为垂心，、分别为、上一点，使得，且、、三点共线，为外心，求证：。\n第三十一题：证明线段相等如图，四边形内接于⊙，为四边形内一点，使得，，过点的直线平分，交⊙于、两点，求证：。\n第三十二题：证明四点共圆如图，在中，、、是三条高线，点为内部一点，关于、、的对称点分别为、、，线段的中点为，求证：、、、四点共圆的充要条件为、、、四点共圆。\n第三十三题：证明三角形相似如图，⊙、⊙半径分别为、，⊙、⊙交于、两点，为平面上一点，切⊙于，切⊙于，且，求证：∽。\n第三十四题：证明角相等如图，平行四边形中，为上一点，使得，交外接圆⊙于，连接，求证：。\n第三十五题：证明内心如图，是内心，为中点，为弧中点，中点为，中点为，交于，连接，求证：为内心。\n第三十六题：证明角平分如图，⊙为的外接圆，平分交⊙于，为的垂心，于，于，的外接圆⊙交⊙于。交于，求证：平分。\n第三十七题：证明垂直在中，为外心，三条高、、交于点，直线和交于点，直线和交于点，求证：（1）；（2）；（3）。\n第三十八题：证明面积等式如图，和均为等腰直角三角形，，连接、，取的中点，连接、，求证：=。\n第三十九题：证明角平分如图，中，旁切圆⊙分别切、延长线于、，旁切圆⊙分别切、延长线于、，、分别交于、，、交于点，求证：平分。\n第四十题：证明角相等如图，平行四边形中，、分别为、上一点，、交于点，的外接圆⊙与的外接圆⊙交于点，连接、，求证：。\n第四十一题：证明中点如图，、分别切⊙于、，为⊙一条割线，过作，交于，交于，求证：为中点。\n第四十二题：证明中点如图，为垂心，为中点，过作分别交、于、，求证：为中点。\n第四十三题：证明角相等如图，锐角中，，且、在边上，满足，若在内存在点满足，且，求证：。\n第四十四题：证明垂直如图，为半圆的直径，，在圆上，是延长线上一点，切⊙于，平分，分别交、于、，求证：。\n第四十五题：证明角相等如图，为⊙的切线，为⊙的割线，于点，的外接圆与的另一个交点为，求证：。\n第四十六题：证明垂直如图，平行四边形中，于，于，交于，求证：。\n第四十七题：证明四点共圆如图，内接于⊙，于，交于，为中点，交于，于，求证：、、、四点共圆。\n第四十八题：证明四点共圆如图，是内心，关于的对称点是，为中点，为中点中点为，中点为，交于，求证：、、、四点共圆。\n第四十九题：证明四点共圆如图，为的垂心，为中点，于，证明：、、、四点共圆。\n第五十题：证明角平分已知，内心为，圆与边、相切，圆过、，且、外切与点。求证：的平分线过点。\n第五十一题：证明线段相等如图，⊙为外接圆，为弧中点，为弧中点，于，连接，过作交延长线于，求证：。\n第五十二题：证明两圆外切如图，如图，、、为⊙上三点，过作交延长线于，过作交⊙于，交于，过、、三点的圆为⊙，过、、三点的圆为⊙，求证：⊙与⊙外切于点。\n第五十三题：证明垂直如图，如图，中，、、分别为、、中点，过作交于，过作交于，、交于点，、交于点，求证：。\n第五十四题：证明垂直如图，中，为中点，⊙过、两点，且切于，延长交⊙于，延长线交于，求证：。\n第五十五题：证明垂直如图，为⊙直径，切⊙于，为弧上任一点，交⊙于，、交于点，连接、，证明：。\n第五十六题：证明垂直如图，正方形与正方莆，交于，交于，交于，交于，求证：。\n第五十七题：证中点如图，、分别切⊙于、两点，为劣弧上一点，交于，过点的切线分别交、于、，交于，求证：为中点。\n第五十八题：证明角相等如图，⊙、⊙交于、两点，它们的外公切线分别切⊙、⊙于、，为延长线上一点，交⊙于，交⊙于，分别交⊙、⊙于、，求证：。\n第五十九题：证明角相等如图，等腰中，，为中点，为上一点，使得，于，连结，求证：。\n第六十题：证明四点共圆如图，中，、分别为、上一点，且，、交于点，、、、分别为、、、外心，求证：、、、四点共圆。\n第六十一题：证明四点共圆如图，旁切圆⊙分别切、、于、、，、分别交于、，为中点，为在上的垂足，求证：、、、四点共圆。\n第六十二题：证明四点共圆如图，四边形内接于⊙，、交于点，、交于点，点为中点，交⊙于，求证：、、、四点共圆。\n第六十三题：证明角相等如图，为半⊙直径，于，于，、分别为半⊙的两条切线，于，连接，求证：。\n第六十四题：证明角的倍数关系如图，、分别切⊙于、，为延长线上一点，的外接圆⊙交⊙于，于，求证：。\n第六十五题：证明中点如图，在⊙中，直径垂直于弦，是的中点，的延长线交⊙于点，交于点。求证：是的中点。\n第六十六题：伪旁切圆如图，外接圆为⊙，内切圆⊙分别切三边于、、，⊙与⊙外切于，且分别切、于、，连接并延长交⊙于，求证：，且。\n第六十七题：证明垂直如图，⊙为外接圆，、分别为、中点，为垂心，延长线交⊙于，延长线交⊙于，、交于点，连接，求证：。\n第六十八题：证明平行如图，内接于⊙，，平分线交⊙于，、分别为、上一点，，交于，的外接圆⊙交⊙于，交⊙于，求证：。\n第六十九题：证明圆心在某线上如图，⊙、⊙交于、两点，过的直线依次交⊙于、，过的直线信用证次交⊙于、，若、、、四点共圆，求证：（1）四边形的外接圆圆心在直线上。（2）、、三线共点。\n第七十题：证明三线共点如图，中，为上一点，、分别为和内心，以为圆心，为半径作⊙，以为圆心，为半径作⊙，⊙与⊙交于点，⊙分别交、于、，⊙分别交、于、，求证：、、三线共点。\n第七十一题：证明垂直如图，中，、、是的三条高线，为的垂心，为的外心，交于，交于，求证：。\n第七十二题：证明垂直如图，四边形中，、交于点，、分别为、中点，、分别为和的垂心，求证：。\n第七十三题：证明中点如图，中，为外心，为垂心，于，于，，交于，交于，求证：为中点。\n第七十四题：证明垂直如图，平行四边形中，、交于点，于，于，交延长线于，求证：。\n第七十五题：证明垂直如图，中，，、分别、上一点，、交于点，的外接圆⊙交的外接圆⊙于，求证：。\n第七十六题：证明三线共点如图，中，、、分别为、、上一点，且、、交于一点，、、分别为、、中点，、、分别为、、中点，求证：、、三线共点。\n第七十七题：证明平行如图，五边形中，，，、交于点，、分别为、中点，连接，求证：。\n第七十八题：证明平行如图，四边形中，、分别为、中点，为平面上一点，使得，，、交于点，求证：。\n第七十九题：证明三线共点、证明垂直如图，中，平分交于，平分交于，平分交于，交于，交于，交延长线于，（1）求证：、、三点共线；（2）求证：。\n第八十题：证明三点共线（牛顿定理）如图，完全四边形中，、、分别为、、中点，则、、三点共线。\n第八十一题：证明角平分如图，⊙为外接圆，为内心，⊙分别切、于、，与⊙内切于，求证：平分。\n第八十二题：证明角相等如图，为外心，过的直线分别交、于、，、分别为、中点，求证：。\n第八十三题：证明三点共线如图，内接于⊙，为⊙上一点，交于，交于，求证：、、三点共线。\n第八十四题：证明四圆共点已知四边形中，、分别为边、上的点，且，射线与、分别交于点、。、、、的外接圆分别为⊙、⊙、⊙、⊙。求证：（1）⊙、⊙、⊙、⊙四圆共点。（2）四边形相似于四边形。\n第八十五题：证明角平分如图，中，，于，于，为中点，交延长线于，连接，求证：平分。\n第八十六题：证明线段相等如图，内接于⊙，为垂心，为中点，连接，过作，分别交、于、，连接、，求证：。\n第八十七题：证明角相等如图，为外心，为垂心，交于，交于，求证：。\n第八十八题：证明线段相等如图，为的高，为中点，过的一条直线分别交、于、，使得，为外心，求证：。\n第八十九题：证明线段相等如图，内接于⊙，的中垂线分别交⊙于、，交于，过作的平行线，在该平行线上任取一点，连接，过作，分别交、于、，求证：。\n第九十题：证明线段相等如图，内接于⊙，平分交⊙于，为中点，为平面上一点，使得，连接，过作，分别交、于、，求证：。\n第九十一题：证明中点如图，⊙为外接圆，为⊙直径，为弧上一点（与在异侧），于，于，交于，求证：为中点。\n第九十二题：证明四点共圆如图，为外心，为上一点，中垂线交于，中垂线交于，求证：、、、四点共圆。\n第九十三题：证明西姆松定理及逆定理(1)如图，内接于⊙，为⊙上一点，于，于，于，求证：、、三点共线。(2)内接于⊙，为平面上一点，于，于，于，若、、三点共线，则、、、四点共圆。\n第九十四题：证明线段的和差关系等式如图，⊙的三条弦、、交于点，且两两夹角为，求证：。\n第九十五题：证明角相等如图，已知、分别切⊙于、两点，为⊙的一条割线，有中点，求证：。\n第九十六题：证明托勒密定理及逆定理（1）如图，为⊙内接四边形，求证：。（2）四边形满足，求证：、、、四点共圆。\n第九十七题：证明线段的和差关系等式如图，中，为外心，为内心，，求证：。\n第九十八题：证明角相等如图，四边形中，、分别为、上一点，且，、交于点，连接，求证：。\n第九十九题：证明四点共圆如图，内切圆⊙分别切、、于、、，为内一点，使得内切圆⊙切于，分别切、于、，求证：、、、共圆。\n第一百题：证明两三角形共内心如图，中，过的圆与、分别交于、，交于，直线与外接圆交于。求证：、共内心。