高中趣味题竞赛题 20页

趣味数学游戏1、平分苹果酒一位农夫和他的朋友合买了一桶8加仑装的苹果酒(1加仑=4.5461升)。他们想平分这些苹果酒，但却只有一个5加仑和一个3加仑的容器。他们该如何平分？解答与分析　　将3个容器依其容量简记为8、5、3。　　由8倒满5。由5倒满3，5中还留有2加仑酒。将3倒入8。　　由5倒2加仑酒入3。由8倒满5。　　由5倒入3，直到3满，此时5中还留有4加仑酒。　　将3倒入8，这样8中也有4加仑酒。2.关于硬币的魔术将8枚硬币排成如图所示的正方形，每边3枚硬币。　　试移动4枚硬币，使它变成一个每边有4枚硬币的正方形。　　解答与分析\n把每一边中间的硬币依序放在位于角落的硬币上，这样就可以得到一个正方形，在它的4个顶点上各有两枚叠在一起的硬币，因此每边有4枚硬币。3.卫生纸的厚度　　一名会计每次上街的时候总是习惯寻找廉价品。一天她看到百货公司促销的廉价卫生纸，4卷绑成一捆，每一卷中含有240张卫生纸。她知道家人习惯用的卫生纸的厚度，所以她想试着计算这卷卫生纸中每一张的厚度，以与现在所用的卫生纸相比较。　　她知道每一张卫生纸的长度是14cm，且估计每卷的直径为11cm，其中内部纸板所形成的圆柱直径为4cm。起先她注意到卫生纸一圈圈绕在纸筒上时，直径会渐渐增加，但后来她换了个思考方向，并求出了卫生纸厚度。请问卫生纸的厚度是多少呢？　　每一卷卫生纸中共绕着几圈卫生纸呢？　　解答与分析　　不要被卫生纸的绕法所迷惑。如果卫生纸的厚度是dcm，而每一卷卫生纸的长度是lcm，那末每一卷卫生纸的截面积是l×d\n　　l＝240×14＝3360cm　　截面积的大小等于直径11cm及4cm的两个圆所围面积的差　　所以每一卷卫生纸的纸张厚度约为　　≈82.47÷3360≈0.0245cm　　每一卷卫生纸中所绕卫生纸的总厚度是3.5cm，所以每一卷的总圈数为3.5÷0.0245≈143圈。4.不可思议的数字关系43＝42＋33　　135＝11＋32＋53　　518＝51＋12＋83　　2427＝21＋42＋23＋74　　试试看你能否发现其他类似的数字关系。　　解答与分析　　其他的例子如下：\n　　63＝62＋33　　175＝11+72+53　　598＝51＋92＋83　　1306＝11＋32+03+64　　1676＝11＋62＋73＋64　　另一个最奇怪的例子是：　　44＋33＋88＋55＋77+99+00＋88＋88＝4385790885.著名的数列推算题在50年代早期，史威兹(BryanThwaites)担任教师时，要学生计算一组序列，其规则为：当某数是偶数时，将该数除以2；若是奇数，则先乘3再加1。　　举个例子，如果给定的起始数字是7，则其后的几个数推导如下：　　7奇数→7×3＋1＝22　　22偶数→22÷2＝11　　11奇数→11×3＋1＝34　　34偶数→34÷2＝17　　17奇数→17×3＋1＝52\n　　52偶数→52÷2＝26　　26偶数→26÷2＝13依此类推。　　显然如遇到奇数，下一个数字将会是一个较大的数，且为偶数，所以在再下一步上必定会被减半。　　根据当时学生们的探讨及史威兹本人的研究，他相信该序列最后必定会出现1这个数字，然后又按照4→2→1→4→2→1→4→2→1……的顺序一直重复，故可将1视为该序列的终点。全世界有很多的数学家试图证明这项猜测，或者找出不同的终点，但至今尚无人成功。　　现在请先将上面的序列完成，使该序列到达终点1，然后再自定一个不同的起始数字重复此项步骤。　　解答与分析　　对于一任意给定的起始数字，目前已证明无法直接求得该序列的长度，例如起始数字为27时，需要111个步骤才会到1，又有谁能猜得到呢？　　然而，像2n收敛到1需要n个步骤，这是显而易见的，因为32→16→8→4→2→1。　　本题的整个计算过程可以应用电脑来处理，并且可和其他类似的程序做个比较。例如当N为奇数时，取其下一个数字为3N＋5或5N-13等。6.火柴棒的平移\n下图是由12根火柴排列成的六边形轮子，形成6个等边三角形。现在请你试着移动其中的4根火柴，将原来的图形变为3个等边三角形。　　解答与分析　　解答如图所示。此题须注意的是题目中并没有要求移动后必须形成相同大小的等边三角形。7.组合数字的妙用试找出图A、B、C、D、E及F可代表的数字，使得各个部分或相连的数个部分的数字相加可组成1到25以内所有的数字。　是否可以用这种方法组合出更大范围以内的数字？　　解答与分析\n　　图1所示为组成1到25内所有数字的一种方法，但这并非所有可能组合出的最大数字范围。　　当分别为2、3、4及5个部分时解答如图2。 　　上列解会令我们想用外延法得到最大范围的解，也就是我们会认为当部分的总数大于或等于4时，各部分中的数字分别为可组合出的最大数字范围的解。但实际上并非如此，比如说在6个部分的情况下，当各个部分的数字分别为1、2、5、9、6、4时，则可组成1到27内的所有数字。8.两全其美的三角形　有多种方法可将数字1、2、3、……9填进图中的圆圈中，使得三边的和皆相等。若要求不仅三边的和必须相等，且每边数字的平方和也要相等，该如何安排这些数字呢？\n　　解答与分析　　5＋1+6＋8＝2＋7＋3+8＝2+9＋4＋5＝20　　52＋12＋62＋82＝22＋72＋32＋82＝22＋92＋42＋52＝126数学趣味故事1.巧对对联宋代大诗人苏东坡年轻时与几个学友进京考试.他们到达试院时为时已晚.考官说:"我出一联,你们若对得上,我就让你们进考场."考官的上联是:一叶孤舟,坐了二三个学子,启用四桨五帆,经过六滩七湾,历尽八颠九簸,可叹十分来迟.苏东坡对出的下联是:十年寒窗,进了九八家书院,抛却七情六欲,苦读五经四书,考了三番两次,今日一定要中.考官与苏东坡都将一至十这十个数字嵌入对联中,将读书人的艰辛与刻苦情况描写得淋漓尽致.2.点错的小数点学习数学不仅解题思路要正确,具体解题过程也不能出错,差之毫厘,往往失之千里.\n美国芝加哥一个靠养老金生活的老太太,在医院施行一次小手术后回家.两星期后,她接到医院寄来的一张帐单,款数是63440美元.她看到偌大的数字,不禁大惊失色,骇得心脏病猝发,倒地身亡.后来,有人向医院一核对,原来是电脑把小数点的位置放错了,实际上只需要付63.44美元.点错一个小数点,竟要了一条人命.正如牛顿所说:"在数学中,最微小的误差也不能忽略.3.二十一世纪从哪年开始?世纪是计算年代的单位,一百年为一个世纪.第一世纪的起始年和末尾年,分别是公元1年和公元100年.常见的错误是有人把起始年当作是公元零年,这显然不符合逻辑和我们的习惯,因为在一般情况下,序数的计算是从“1”开始的，而不是从“0”开始的。而正是这个理解上的错误，所以才导致了世纪末尾年为公元99年的错误认识,这也是错把1999年当作是二十世纪末尾年,错把2000年当作是二十一世纪起始年的原因.因为公元计数是序数,所以应该从“1”开始,21世纪的第一年是2001年.4.蒲丰试验一天,法国数学家蒲丰请许多朋友到家里,做了一次试验.蒲丰在桌子上铺好一张大白纸,白纸上画满了等距离的平行线,他又拿出很多等长的小针,小针的长度都是平行线的一半.蒲丰说:“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧!”客人们按他说的做了。蒲丰的统计结果是：大家共掷2212次，其中小针与纸上平行线相交704次，2210÷704≈3.142。蒲丰说：“这个数是π的近似值。每次都会得到圆周率的近似值，而且投掷的次数越多，求出的圆周率近似值越精确。”这就是著名的“蒲丰试验”。5.数学魔术家1981年的一个夏日，在印度举行了一场心算比赛。表演者是印度的一位37岁的妇女，她的名字叫沙贡塔娜。当天，她要以惊人的心算能力，与一台先进的电子计算机展开竞赛。工作人员写出一个201位的大数，让求这个数的23次方根。运算结果，沙贡塔娜只用了50秒钟就向观众报出了正确的答案。而计算机为了得出同样的答数，必须输入两万条指令，再进行计算，花费的时间比沙贡塔娜要多得多。这一奇闻，在国际上引起了轰动，沙贡塔娜被称为“数学魔术家”。6.工作到最后一天的华罗庚\n华罗庚出生于江苏省，从小喜欢数学，而且非常聪明。1930年，19岁的华罗庚到清华大学读书。华罗庚在清华四年中，在熊庆来教授的指导下，刻苦学习，一连发表了十几篇论文，后来又被派到英国留学，获得博士学位。他对数论有很深的研究，得出了著名的华氏定理。他特别注意理论联系实际，走遍了20多个省、市、自治区，动员群众把优选法用于农业生产。记者在一次采访时问他：“你最大的愿望是什么?”他不加思索地回答：“工作到最后一天。”他的确为科学辛劳工作的最后一天，实现了自己的诺言。趣味竞赛题1、撒谎的有几人5个高中生有，她们面对学校的新闻采访说了如下的话： 爱：“我还没有谈过恋爱。” 静香：“爱撒谎了。”玛丽：“我曾经去过昆明。” 惠美：“玛丽在撒谎。”千叶子：“玛丽和惠美都在撒谎。”   那么，这5个人之中到底有几个人在撒谎呢？2、她们到底是谁有天使、恶魔、人三者，天使时刻都说真话，恶魔时时刻刻都说假话，人呢，有时候说真话，有时候说假话。穿黑色衣服的女子说：“我不是天使。” 穿蓝色衣服的女子说：“我不是人。” 穿白色衣服的女子说：“我不是恶魔。”那么，这三人到底分别是谁呢？3、半只小猫听说祖父家的波斯猫生了好多小猫，喜欢猫的我兴高采烈地来到祖父家。可是，只剩下1只小猫了。\n   “一共生了几只小猫呀？”   “猜猜看，要是猜中了，就把剩下的这只小猫给你。附近的宠物店听说以后，马上来买走了所有小猫的一半和半只。”   “半只？”“是啊，然后，邻居家的老奶奶无论如何都要，所以就把剩下的一半和另外半只给了她。这就是只剩下1只小猫的原因。那么你想想看，一共生了几只小猫呢？ 4、河岸的距离两艘轮船在同一时刻驶离河的两岸，一艘从A驶往B，另一艘从B开往A，其中一艘开得比另一艘快些，因此它们在距离较近的岸500公里处相遇。到达预定地点后，每艘船要停留15分钟，以便让乘客上下船，然后它们又返航。这两艘渡轮在距另一岸100公里处重新相遇。试问河有多宽？　　解答：当两艘渡轮在x点相遇时，它们距A岸500公里，此时它们走过的距离总和等于河的宽度。当它们双方抵达对岸时，走过的总长度等于河宽的两倍。在返航中，它们在z点相遇，这时两船走过的距离之和等于河宽的三倍，所以每一艘渡轮现在所走的距离应该等于它们第一次相遇时所走的距离的三倍。在两船第一次相遇时，有一艘渡轮走了500公里，所以当它到达z点时，已经走了三倍的距离，即1500公里，这个距离比河的宽度多100公里。所以，河的宽度为1400公里。每艘渡轮的上、下客时间对答案毫无影响。　　变量交换　　不使用任何其他变量，交换a，b变量的值？　　分析与解答　　a=a+b　　b=a-b\n　　a=a-b5、最短过桥问题在漆黑的夜里，四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时通过。如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1，2，5，8分钟；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是，你如何设计一个方案，让用的时间最少。　　解答：　　（1）1分钟的和2分钟的先过桥（此时耗时2分钟）。　　（2）1分钟的回来（或是2分钟的回来，最终效果一样，不赘述，此时共耗时3分钟）。　　（3）5分钟的和8分钟的过桥（共耗时2+1+8=11分钟）。　　（4）2分钟的回来（共耗时2+1+8+2=13分钟）。　　（5）1分钟的和2分钟的过桥（共耗时2+1+8+2+2=15分钟）。　　此时全部过桥，共耗时15分钟。6、猴子搬香蕉一个小猴子边上有100根香蕉，它要走过50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，（多了就被压死了），它每走1米就要吃掉一根，请问它最多能把多少根香蕉搬到家里？解答：　　100只香蕉分两次，一次运50只，走1米，再回去搬另外50只，这样走了1米的时候，前50只吃掉了两只，后50只吃掉了1只，剩下48＋49只；两米的时候剩下46＋48只；...到16米的时候剩下（50－2×16）＋（50－16）＝18＋34只；17米的时候剩下16＋33只，共49只；然后把剩下的这49只一次运回去，要走剩下的33米，每米吃一个，到家还有16个香蕉。\n7、法国数学家嘉当嘉当，法国人。1869年4月9日生于法国南部伊泽尔县的多洛米约林。其父是个铁匠，家庭贫寒。依靠国家的助学金接受了初等和中等教育。1888年进入巴黎高等师范学校，1891年毕业，并留校从事教学和研究工作。1894年以论文《关于有限维连续变换群的构造》获博士学位。嘉当先后在蒙彼利埃大学、里昂大学、南锡大学等校任教授。1912年起任巴黎大学任教授。1940年退休。后来长期病卧，1951年5月6日在巴黎去世，终年82岁。　　嘉当在连续群、微分形式、积分不变式、微分几何（主要是联络几何）等方面作出了重要贡献。　　1894年他在博士论文中给出了变数和参变数取值在复数域中的全部单李代数的一个完全分类，严格证明了全部单李代数分成4个一般类和5个例外代数，并构造了这些例外代数。　　1900年至1930年嘉当开始研究半单李代数的完全分类和结构，并确定了它们的表示和特征标，还在李群流形的整体结构研究方面做了开创性的工作。1914年他又确定了实变数和参变数的全部单数。　　20世纪初，嘉当研究了无限维李群，还研究了群的拓扑性质，指出了群的许多拓扑问题可以转化为纯代数问题。他又发现了群的许多整体性质可以从群的无穷小结构推出，即群的某个任意小片给出后，整体性就可完全确定。　　关于微分几何中的多维空间，嘉当建立广义空间仿射联络、射影联络和保形联络的概念。1923年他提出了一般联络的微分几何学，将克莱因和黎曼的几何观点统一起来，这就是纤维丛概念的开端。嘉当的联络思想对现代微分几何学有着极其深刻的影响。　　1926年起，嘉当研究对称黎曼空间。用群论方法，通过不可约的对称黎曼空间与单李群一一对应，建立了对称黎曼空间与李群有密切关系。他为这一领域奠定了理论基础。　　1903年嘉当在所有可能的线性表示的分类过程，发现了正交李代数的“旋”表示，它在物理学中扮演着重要角色。1938年嘉当发表了《旋子论讲义》。在讲义中他从几何的观点出发发展了旋子论。　　由于嘉当在许多数学领域里作出了贡献，因此许多数学名词以他的名字命名。例如：嘉当联络、嘉当－马尔采夫－岩定理、马尤厄－嘉当微分形式及微分方程、嘉当定理（即可解性判定条件）、嘉当定理（即半单性的判定条件）、嘉当子群等。\n1937年嘉当获苏联授予的罗巴切夫基奖金，他还多次获巴黎科学院的各种奖。数学公式变成几何图形，可以看、可以摸，还能讲故事　　　柠檬公式X2+Z2=Y3(1-7)3桃心公式(X2+Y2+Z2-1)3-X2Z3-Y2Z3=0陀螺公式60（X2+Y2)Z4=(60-X2-Y2-Z2)3　　有人说数学是稿纸上无止尽的演算和推理，剪不断理还乱；也有人说数学是一堆枯燥的公式加定理，闻不到摸不着；还有人说“数学就是一只拦路虎，挡住了我上大学的道路”。12月8日，国际权威数学展“IMAGINARY数学畅想巡回展”在位于苏州的西交利物浦大学开幕。本次展览引自德国，是首次在中国展出，现场布置的由一个个枯燥公式演变成一张张精美生动的几何图形，让参观师生们惊叹不已。数学可以看、可以摸，还能给你讲故事\n　　据了解，IMAGINARY是一个非商业互动巡回展览，2008年源自德国。参观者可以与部分展品互动，甚至可以用特殊的软件创作数学艺术品。该展览目的是唤起人们对数学的兴趣和好奇心，已经在德国、奥地利、英国、法国、乌克兰、瑞士、阿根廷、波兰、哥伦比亚、西班牙和美国的40多个城市举行。迄今为止，全球已经有累计超过37万人参观。数学化作3D雕塑　　记者在西交利物浦大学基础楼2楼的展览现场看到，展览大致将分为虚拟图片走廊、D雕塑走廊、互动程序体验站、数学影片放映室等区域。每个区域紧密相连，并有数学老师为大家讲解相关数学背景知识。展览展出5种不同的数学互动系统及其生成的数学动画，49个英汉双解的几何图形等，将数学化作触手可及的3D雕塑、色彩斑斓的曲面图片以及实用有趣的软件程序，甚至真实感人的故事影片呈现给参观者，内容丰富，形式多样。公式变身墙纸图案　　“这是利用代数的对称群论所制的数学互动系统，我们随意改变其中的参数，就可看到电脑屏幕显示的图案发生相应变化。”一位老师边演示边介绍，“这就是将复杂的数学原理通过图像形象化，这就是代数对称群论在生活中的应用，比如电脑制作的设计图案可供布料、墙纸等应用。”有趣的互动甚至吸引了现场一个三岁男童的兴趣，在父亲的帮助下点击鼠标，变幻出不同的花样图案来，还可以将自己喜欢的作品打印出来带回家纪念。xyz画出甜心曲面　　(X2+Y2+Z2-1)3-X2Z3-Y2Z3=0，原来这么个复杂的方程式可以画出如此可爱的甜心曲面！太神奇了！”\n西交利物浦大学经济专业大一新生程雅君欣赏着展览，不禁发出惊叹声。记者现场看到，3D雕塑橱窗里展示的平常生活中熟悉的陀螺、柠檬、心脏曲面，都有其对应的一串串方程式。而著名的巴斯六次曲面、莱布斯七次曲面等高深复杂的理论公式，也通过可视化图形让人直观感受。专家学者：要把贵族化的微积分变草根化　　本次IMAGINARY展览主要发起人、西交利物浦大学数理中心主任刘刚博士表示，一直以来，数学给人们留下的都是非常精确、严密的刻板印象。举办这样的一个展览就是希望颠覆以往的这种枯燥乏味的形象。“其实数学也可以直观化、形象化、趣味化。为什么我们很多同学学习数学有困难根源的问题还是没有兴趣。我们希望通过这样一个色彩斑斓、生动有趣的互动世界激发起大家学习数学的热情。我们中国学生的数学基础很好，但是在国际上始终少有‘大家’，要想改变这样的局势就要培养学生乃至所有数学界同仁对数学的终身热情。”　　上海交通大学乐经良教授也指出：“数学不是冷冰冰的，它的背后是充满热情的。”他表示，目前中国应试的数学教育方式使得很多学生害怕数学，这次展览“拉近了人们与数学的距离”，“改变了数学不可接近的固有形象”，对于数学文化的广泛传播以及数学教育十分有益。　　中科院的资深院士林群教授昨天还给大学生们作了一场《计算机时代的微积分》的讲座，用一个浅显易懂“树高与山高”的小故事与大家分享了学习微积分的乐趣。他认为，微积分其实很简单，关键就在于数学教育如何将它以更直观生动、更有趣的方式教授给学生。他指出中国高等教育的改革方向是要“把贵族化的微积分变成草根化”，少数精英研究数学的方式已经无法适应当今的时代发展。“在当今这个计算机IT时代，学数学的方法不能如过去一样冥思苦想，而应该是大众看图识别，揭开人人都害怕的微积分的神秘面纱，欣赏其精美的一面。”谈到举办Imaginary展览的价值时，林院士表示Imaginary目前在国际上是比较前沿的，它揭开了数学的神秘面纱，是一种推进数学大众化的有效方式。\n数学互动软件　　巴斯六次曲面\n　　莱布斯七次曲面看两位“传奇式”科技大家如何“逆转人生”\n　　一位是迄今华人中荣登美国生命科学界最高殿堂首位，一位是杨振宁教授的高徒，美国斯坦福大学物理学系客座教授。昨天，美国科学院院士、北京生命科学研究所所长王晓东，美国斯坦福大学物理系教授、清华大学高等研究院教授张首晟共同参加了由江苏省科协主办的“第四届青年科学家年会”，他们精彩的“科技人生”，让青年科技工作者受益匪浅。王晓东的“实诚”，看不到“螺旋体”不下课，执着感动导师获出国名额　　目前我省科技人才资源中，40岁以下的青年人占三分之二以上。青年科技工作者有着创新思维和创造灵感，但是正因为年轻往往会出现心态浮躁等现象。王晓东用三个故事分享了他的成功经历。上世纪80年代，在北京师范大学生物系读书的王晓东和全班同学一起做实验，要自己从自己的口腔做一个刮片，然后在显微镜下要看到一种微生物“多杆螺旋体”，谁看到这个螺旋体你就可以下课，同学们都陆续观察到了，直到晚上六七点钟，王晓东还是没看到。王晓东诚实执着的个性感染了授课老师，并为他获得了难得的出国留学名额。　　在美国读生化博士的五年，让王晓东感到特别煎熬，导师对他不做任何指导，放任自流。王晓东只好没日没夜地泡在实验室做实验，自己去琢磨自己去失败，独自品尝失败的滋味。因为没有研究成果，他差点没有拿到博士学位。正是这种屡败屡试、越挫越勇的精神，让王晓东在博士毕业8个月的时候，攻克了怎样调节人体内胆固醇含量的重大课题，这是别人花了几十年都没有攻下的难关。“在科学研究过程中，不能存有功利心，尤其在尖端科学领域有很多不可预见性，如果很功利的话，就会被一次又一次的失败彻底击垮。要甘坐‘冷板凳’，守得住‘清贫’，耐得住‘寂寞’，专心致志、心无旁骛，剔除浮躁与功利，才能学有所成。”王晓东告诫青年科学家说。张首晟的“好事”，笔记本发热常见现象，敏锐探究找到新型绝缘材料\n　　“我们在使用手提电脑的时候，会发现它工作一小会就会变得很热，这是电脑中的芯片在起作用。”张首晟教授介绍说，虽然我们可以用科技将芯片越变越小，但它的运转过程当中热冷却根本没有办法解决。“虽然发展进入危机，但‘危机’是危也是机。如果没有危的话，科技的突破也就没有‘机’。”正是在危机的“鼓励”下，张首晟教授突破了瓶颈，发现了新型热电材料——“拓扑绝缘体”。　　这种材料简单来讲内部是绝缘的，表面是导电的。导电层自己产生，不需要外界任何条件。中国很多陶瓷就是这样，陶瓷本身是一个绝缘体，但是陶瓷表面可以镀金，就是内部不导电，表面导电，但是这种办法是不稳定的。陶瓷的表面材料跟大气反应后，过一段时间导电性能就会消失。但是拓扑绝缘体有一个非常奇妙的现象，它的导电层是自己产生的，不需要外界任何条件。　　如果跟外面大气反应之后，即使上面一层消失，下面还会有导电层，从某种程度上说是永不消失的“镀金”。利用这种材料就有可能突破之前的瓶颈。　　这种拓扑绝缘体材料，还可能开发为适用的能源材料，带来新一轮的能源工业革命。事实上，国内外许多跨国公司已经开始着手于这方面的研究。“我们知道大自然有很多的温差，这些拓扑绝缘体很可能是非常好的热电材料，我们可以使用温度差产生电力。”张首晟说。　　当总结其在科学工作方面的经验和感受时，张首晟表示，要想真正走到科学前沿，一定要有非常敏锐的眼光发现刚刚还在起飞的领域。“科学工作者要有敏锐的眼光，科学的领导也要敏锐地看到这个领域的新发展，特别是要抓住新领域的发展机会。”对于年轻人，要在科学领域里面做出前沿工作的话，一定要有好奇心驱动你的兴趣。