2021年湖北省 高中数学竞赛(预赛)训练试题 10页

学习必备欢迎下载湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）姓名：班级：分数：一、填空题（此题满分56分，每道题7分；）学习必备欢迎下载1．已知复数m满意m1m121，就3m20211．2021m学习必备欢迎下载2．设f〔x〕cosx2sin2xcosx2，x[,]，就64f〔x〕的值域学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载为．3.设等差数列an的前n项和为Sn，如S150,S160，就S1,S2,a1a2,S15a15中最大学习必备欢迎下载的是．学习必备欢迎下载3.已知O是锐角△ABC的外心，AB6,AC10，如AOxAByAC，且学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载2x10y5，就cosBAC．学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载4.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载是棱A1D1和CC1的中点．就四周体OMNB1的体积为．学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载5.设ABC{1,2,3,4,5,6}，且AB{1,2}，{1,2,3,4}BC，就符合条件学习必备欢迎下载的〔A,B,C〕共有组．（注：A,B,C次序不同视为不同组．）学习必备欢迎下载7．设ysinxcosxtanxcotxsecxcscx，就|y|的最小值学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载为．8.设p是给定的正偶数，集合A{x|2px2p1,x3m,mN}的全部元素的学习必备欢迎下载p和是．二、解答题（此题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分；）学习必备欢迎下载8.．设数列{an}〔n0〕满足a12，amnamnmn1〔a2m2a2n〕，其中学习必备欢迎下载m,nN,mn．学习必备欢迎下载（1）证明：对一切nN，有an22an1an2；学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载（2）证明：11a1a211．a2021\n学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载8.求不定方程x1x2x33x43x55x621的正整数解的组数．学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载9.已知抛物线C：y1x22与直线l：ykx1没有公共点，设点P为直线l上的学习必备欢迎下载动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．(1)证明：直线AB恒过定点Q；学习必备欢迎下载10.设a,b,c,d为正实数，且abcd4．证明：学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载a2b2c2d2bcda4〔ab)2．\n学习必备欢迎下载湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）参考答案一、填空题（此题满分56分，每道题7分；）学习必备欢迎下载1.已知复数m满意m1211，就m3m202110．2021m学习必备欢迎下载2．设f3[2,2]4〔x〕2．cosxsin2xcosx2，x[,]，就64f〔x〕的值域为学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载3.设等差数列an的前n项和为Sn，如S150,S160，就S1,S2,a1a2,S15a15中最大学习必备欢迎下载的是S8．a8学习必备欢迎下载4.已知O是锐角△ABC的外心，AB6,AC10，如AOxAByAC，且学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载2x10y5，就cosBAC1．3学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载5.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载是棱A1D1和CC1的中点．就四周体OMNB17的体积为．48学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载6.设ABC{1,2,3,4,5,6}，且AB{1,2}，{1,2,3,4}BC，就符合条件学习必备欢迎下载的〔A,B,C〕共有1600组．（注：A,B,C次序不同视为不同组．）学习必备欢迎下载7．设ysinxcosxtanxcotxsecxcscx，就|y|的最小值为学习必备欢迎下载221．学习必备欢迎下载8.设p是给定的正偶数，集合A{x|2px2p1,x3m,mN}的全部元素的学习必备欢迎下载p和是22p12p1．二、解答题（此题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分；）\n学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载8.．设数列{an}〔n0〕满足a12，amnamnmn1〔a2m2a2n〕，其中学习必备欢迎下载m,nN,mn．学习必备欢迎下载（1）证明：对一切nN，有an22an1an2；学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载（2）证明：11a1a211．a2021学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载证明（1）在已知关系式a00；amnamn1〔amn2m2a2n〕中，令mn，可得学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载令n0，可得a2m4am2m①学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载令mn2，可得a2n2a221〔a2n42a2n〕②学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载由①得a2n24an12〔n1〕，a24a126，a2n44an22〔n2〕，学习必备欢迎下载a2n4an2n，学习必备欢迎下载代入②，化简得an22an1an2．------------------------------------------7分学习必备欢迎下载（2）由an22an1an2，得〔an2an1〕〔an1an〕2，故数列{an1an}学习必备欢迎下载是首项为a1a02，公差为2的等差数列，因此an1an2n2．学习必备欢迎下载于是ann〔akk1ak1〕a0n〔2k〕0k1n〔n1〕．学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载由于1an1n〔n1〕11〔nnn11)，所以学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载11a1a21a2021〔11〕〔11〕223〔120211〕2021111．2021学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载9.求不定方程x1x2x33x43x55x6------------------------------14分21的正整数解的组数．学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载解令x1x2x3x，x4x5y，x6z，就x3,y2,z1．学习必备欢迎下载\n学习必备欢迎下载先考虑不定方程x3y5z21满意x3,y2,z1的正整数解．\n学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载x3,y2,z1，5z21x3y12，1z2．-----------------------5分学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载当z1时，有x3y16，此方程满足x3,y2的正整数解为学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载〔x,y〕〔10,2〕,〔7,3〕,〔4,4〕．学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载当z2时，有x3y11，此方程满意x3,y2的正整数解为〔x,y〕〔5,2〕．学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载所以不定方程x3y5z21满意x3,y2,z1的正整数解为学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载〔x,y,z〕〔10,2,1〕,〔7,3,1〕,〔4,4,1〕,〔5,2,2〕．---------------------------------------10分学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载又方程x1x2x3x〔xN,x3〕的正整数解的组数为2，方程学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载Cx1x4x5y〔yN,x1)的正整数解的组数为1，故由分步计数原理知，原不定方程学习必备欢迎下载Cy1的正整数解的组数为学习必备欢迎下载C2C1C2C1C2C1C2C136309681．-------------------------------15分学习必备欢迎下载9162334112学习必备欢迎下载8.已知抛物线C：yx与直线l：y2kx1没有公共点，设点P为直线l上的学习必备欢迎下载动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．(1)证明：直线AB恒过定点Q；PMQM(2)如点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：．PNQN学习必备欢迎下载证明〔1〕设A〔x,y〕，就y1x2．学习必备欢迎下载11112x由y1x2得yx，所以y|x．2x11学习必备欢迎下载于是抛物线C在A点处的切线方程为yy1x1〔xx1〕，即yx1xy1．学习必备欢迎下载设P〔x0,kx01)，就有kx01x0x1y1．学习必备欢迎下载设B〔x2,y2〕，同理有kx01x0x2y2．学习必备欢迎下载所以AB的方程为kx01x0xy，即x0〔xk〕〔y1〕0，学习必备欢迎下载所以直线AB恒过定点Q〔k,1〕．------------------------------------------7分\n学习必备欢迎下载〔2〕PQ的方程为ykx0x02〔xk〕1，与抛物线方程yk1x2联立，消去y，得2\n学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载x22kx04〔2k2x2〕x02k0．学习必备欢迎下载x0kx0k学习必备欢迎下载设M〔x3,y3〕，N〔x4,y4〕，就学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载x3x42kx04,x3x4〔2k21)x02k①学习必备欢迎下载x0kx0k学习必备欢迎下载PMQM要证PNQNx3x0，只需证明x4x0kx3，即x4k学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载2x3x4〔kx0〕〔x3x4〕2kx00②学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载由①知，②式左边=2〔2k22〕x0x0k4k〔kx0〕2kx04x0k2kx0学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载2〔2k22〕x04k〔kx0〕〔2kx0x0k4〕2kx0〔x0k〕0．学习必备欢迎下载故②式成立，从而结论成立．------------------------------------------15分学习必备欢迎下载8.设a,b,c,d为正实数，且abcd4．证明：学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载a2b2c2d2bcda4〔ab〕2．学习必备欢迎下载证明由于abcd4，要证原不等式成立，等价于证明学习必备欢迎下载a2b2bcc2d2daabcd4〔aabb〕2cd①---------------5分学习必备欢迎下载事实上，学习必备欢迎下载a2b22bcc2d2da〔ab22cd〕学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载2〔abb2a〕〔bcc2b〕〔cdd2c〕〔daa2d〕学习必备欢迎下载\n学习必备欢迎下载1〔abb)21〔bcc)21〔cdd)21〔daa)2②--------------10分学习必备欢迎下载由柯西不等式知\n学习必备欢迎下载2[〔ab〕b〔bc〕2c〔cd〕2d〔da〕2]〔abcd〕a〔|ab||bc||cd||da|〕2又由|bc||cd||da||ba|知〔|ab||bc||cd||da|〕24〔a③--------------15分a)2④由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立．------------------------------------20分