2021年湖北省 高中数学竞赛(预赛)训练试题 10页

学习必备欢迎下载湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）姓名：班级：分数：一、填空题（此题满分56分，每道题7分；）11．已知复数m满意m1，就20211m2021．mm1232．设fcosxsinxcosx2，x[,]，就f的值域〔x2264〔x〕〕为．3．设等差数列an的前n项和为Sn，如S150,S160，就S1S2,S15中最大a,a,a1215的是．4．已知O是锐角△ABC的外心，AB6,AC10，如AOxAByAC，且2x10y5，就cosBAC．5．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．就四周体OMNB1的体积为．6．设ABC{1,2,3,4,5,6}，且AB{1,2}，{1,2,3,4}BC，就符合条件的〔A,B,C〕共有组．（注：A,B,C次序不同视为不同组．）7．设ysinxcosxtanxcotxsecxcscx，就|y|的最小值为．pp18．设p是给定的正偶数，集合A{x|2x2,x3m,mN}的全部元素的p和是．二、解答题（此题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分；）19．设数列{an}0〕满足2，amnamnmn〔2ma2n，其中〔a12a〕nm,nN,mn．（1）证明：对一切nN，有an22an1an2；11（2）证明：11．a1a2a2021\n学习必备欢迎下载10．求不定方程x1x2x33x43x55x621的正整数解的组数．11．已知抛物线C：y1x2与直线l：ykx1没有公共点，设点P为直线l上的2动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．〔1〕证明：直线AB恒过定点Q；12．设a,b,c,d为正实数，且abcd4．证明：2222abcd24b〕．bcda〔a\n学习必备欢迎下载湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）参考答案一、填空题（此题满分56分，每道题7分；）11．已知复数m满意m1，就20211m20210．mm1232．设f〔x〕cosxsinxcosx2，x[,]，就f的值域为2264〔x〕3[2,2]．43．设等差数列an的前n项和为Sn，如S150,S160，就S1S2,S15中最大,,a1a2a15S8的是．a84．已知O是锐角△ABC的外心，AB6,AC10，如AOxAByAC，且1．2x10y5，就cosBAC35．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别7是棱A1D1和CC1的中点．就四周体OMNB的体积为．1486．设ABC{1,2,3,4,5,6}，且AB{1,2}，{1,2,3,4}BC，就符合条件的〔A,B,C〕共有1600组．（注：A,B,C次序不同视为不同组．）7．设ysinxcosxtanxcotxsecxcscx，就|y|的最小值为221．pp18．设p是给定的正偶数，集合Ap{x|2x2,x3m,mN}的全部元素的2p1p1和是22．二、解答题（此题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分；）\n学习必备欢迎下载19．设数列{an}0〕满足2，amnamnmn〔aa2n，其中a2m〔n1〕2m,nN,mn．（1）证明：对一切nN，有an22an1an2；11（2）证明：11．a1a2a20211证明（1）在已知关系式amnamnmn〔2ma2n〕中，令n，可得2ama00；令n0，可得a2m4am2m①令mn2，可得1a2n2a22〔a2na2n〕②42由①得a2n24an121〕，4a126，a2n44an222〕〔a2〔，nna2n4an2n，代入②，化简得a2aa2．------------------------------------------7分n2n1n（2）由an22an1an2，得〔anan〔ana2，故数列{an1an}21〕1〕n是首项为a1a02，公差为2的等差数列，因此an1an2n2．nn于是an〔ak1〕a0〔2k〕n1〕．ak0〔nk1k1111由于11)，所以ann1〕n〔n〔n111n1a1a2a2021111〔1〕〔1111．1〔20212021〕223〕202110．定程x2x3求不方x1\nx6--------------------14分-----3x43x55-----21的正整数解的组数．解令xxxx，xxy，xz，就x3,y2,z1．123456先考虑不定方程x3y5z21满意x3,y2,z1的正整数解．\n学习必备欢迎下载x3,y2,z1，5z21x3y12，1z2．-----------------------5分当z1时，有x3y16，此方程满足x3,y2的正整数解为〔x,〔12〔7,〔4〕．y〕0,〕,3〕,4,当z2时，有x3y11，此方程满意x3,y2的正整数解为〔x,〔2〕．y〕5,所以不定方程x3y5z21满意x3,y2,z1的正整数解为〔x,y,〔10,2,〔7,3,〔4,4,〔2,2〕．---------------------------------------10分z〕1〕,1〕,1〕,5,2又方程x1x2x3xN,x3〕的正整数解的组数为，方程〔xCx11x4x5yN,x2)的正整数解的组数为C，故由分步计数原理知，原不定方程y1〔y的正整数解的组数为2121212136309681．-------------------------------15分C9C1C6C2C3C3C4C11211．已知抛物线C：yx与直线l：ykx1没有公共点，设点P为直线l上的2动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．〔1〕证明：直线AB恒过定点Q；PMQM〔2〕如点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：．PNQN12证明A〔x,y〕，就yx．〔1〕设1111212由yx得yx，所以y|x．xx112于是抛物线C在A点处的切线方程为yy1x1x1〕，即x1xy1．〔xy设P〔x0,1)，就有kx01x0x1y1．kx0设B〔x2,y2〕，同kx01x0x2y2．理有所以AB的方程为kx01x0xy，即x0〔x〔y1〕0，k〕\n所以直线AB恒过定点Q〔k,1〕．------------------------------------------7分kx0212〔2〕PQ的方程为〔xk〕1，与抛物线方程yx联立，消去y，得yx0k2\n学习必备欢迎下载422kx02〕x02kx〔20．2kxx0kx0k设M〔x3,N〔x4,y4〕，就y〕，32kx04〔22)x02kx3x4,x3x42①kx0kx0kPMQMx3x0要证，只需证明kx3，即PNQNx4x0x4k2x3x4〔kx0〕x42kx00②〔x3〕由①知，22〕4k2kx04②式左边=x2kx〔2kx000x0k2〕〔kx0k22〔2k2〕4kx0〕4〕2kx0〔x0k〕0．x0〔2kx0x0〔kk故②式成立，从而结论成立．------------------------------------------15分12．设a,b,c,d为正实数，且abcd4．证明：2222abcd24b〕．bcda〔a证明由于abcd4，要证原不等式成立，等价于证明22222abcd4b〕abcd①---------------5分bcda〔cdaab事实上，2222abcd〔abcd〕bcdabda2c2〔b2a〕c2b〕b〔〔c\nda2〔2d2c〕a2d〕1111bcda②--------------10分〔a〔b〔c2〔d〕〕〕〕bcda222由柯西不等式知\n学习必备欢迎下载22〔a〔bc〕〔cd〕〔da〕[2]〔abcd〕b2〕〔|ab||bc||cd||da③--------------15分2|〕又由|bc||cd||da||ba|知2〔|ab||bc||cd||da4b〕④2|〕〔a由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立．------------------------------------20分