2004年全国高中数学联合竞赛试题(1试) 12页

2004年全国高中数学联合竞赛试题(1试)第一试时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角使关于x的方程有重根，则的弧度数为（）A.B.C.D.2、已知。若对所有，则b的取值范围是（）A.B.C.D.3、不等式的解集为（）A.B.C.D.4、设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为（）A.2B.C.3D.5、设三位数，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）A.45个B.81个C.165个D.216个6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，，垂足为B，，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（）A.B.C.D.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是________________。\n8、设函数，且对任意，则=_____________________。9、如图、正方体中，二面角的度数是____________。10、设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=____________。11、已知数列满足关系式，则的值是_________________________。12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为___________________。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。15、已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为。（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：对于，若\n。二○○四年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、解：因方程有重根，故得，于是。故选B。2、解：相当于点（0，b）在椭圆上或它的内部。故选A。3、解：原不等式等价于设解得。即。故选C。4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则由（1）（2）得，，\n即共线，且，故选C。5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以，。（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有。但当大数为底时，设a>b，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共20种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况。故。综上，。6、解：。C是PA中点，最大，也即最大。此时，，故选D。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、解：，它的最小正周期为，振幅为\n。由的图像与的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为、宽为的长方形，故它的面积是。8、解：∴=即。9、解：连结，垂足为E，延长CE交于F，则，连结AE，由对称性知是二面角的平面角。连结AC，设AB=1，则中，，在的补角，。10、解：设，从而是平方数，设为。（负值舍去）\n11、解：设即故数列是公比为2的等比数列，。。12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为：对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得a=1或a=－7。即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而，因此，当时，n次出现的点数之和大于已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。5分（Ⅱ）设事件为“第n关过关失败”，则对立事件为“第n关过关成功”。第n关游戏中，基本事件总数为个。第1关：事件所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），过此关的概率为：。第2关：事件所含基本事件数为方程\n当a分别取2，3，4时的正整数解组数之和。即有（个）。过此关的概率为：。10分第3关：事件所含基本事件为方程当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。即有（个）。过此关的概率为：。15分故连过前三关的概率为：。20分（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）14、解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为圆S：5分（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：①与双曲线T：②因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为③（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：\n情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。15分情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是④或⑤解方程④得，解方程⑤得。综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。20分15、解：（Ⅰ）设则又故在区间上是增函数。5分\n10分（Ⅱ）证：15分，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，20分2004年全国高中数学联赛加试试卷P一、（50分）在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长。解：由题设可知：，①…………………10分又BC=25，BD=20，BE=7，故CD=15，CE=24.由①可解得：AD=15，AE=18.………………20分于是点D是的斜边AC的中点，DE=15.连接DF,因为点F在以DE为直径的圆上，，故点F为线段AE中点，AF=9.………………30分因为G、F、E、D四点共圆，D、E、B、C四点共圆，所以，于是，延长AH交BC于P，故：②……………………………………40分\n又H为的垂心，故，，AP=CE=24，于是……………………………………50分二、（50分）在平面直角坐标系XOY中，轴正半轴上的点列与曲线上的点列满足，直线在轴上的截距为，点的横坐标为。（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明有，使得对都有。（Ⅰ）证明：依题设有：，由得：，又直线在轴上的截距为满足………………………………………10分……20分，显然，对于，有…………………30分（Ⅱ）证明：设，则\n………………40分设，则当时，。所以，取，对都有：故有成立。………………………50分三、（50分）对于整数，求出最小的整数，使得对于任意正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互素的元素。解：当时，对集合：若，则两两互素；若，则两两互素。于是M的所有元子集中，均有至少3个两两互素的元素，于是存在且。……10分设，则是集合的子集，且该集合中任意3个元素均不能两两互素，因此。\n由容斥原理知：，从而必有：…………………………20分因此，。下证设为中的5个数元素，若这5个数中有3个奇数，则它们两两互素；若这5个数中有两个奇数，则必有3个偶数，不妨设为偶数，为奇数，当时，，所以中至多有一个能被3整除，至多有一个能被5整除，即至少有一个既不能被3整除又不能被5整除，不妨设此数为，则，两两互素，这就是说这5个数中有3个数是两两互素，即。…………30分又由知：，所以，因此，当时，。②……………………………………40分假设当时②式成立，那么当时：由归纳假设知时②式成立，故：③由①③知，当时也成立。综上可知，对于任意整数，都有。