No.29全国高中数学联合竞赛模拟试题 5页

No.29高中数学联赛模拟试卷1、若427410004n为完全平方数，则正整数n满足f(b)恒成立，则a与2、已知向量a,b,c满足abc0,(ab)c,ab,若|0|3、函数f(x)在R是减函数，且不等式f(a2b)f(2ab)f(a)b的大小关系是。4、函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数，②存在［m,n］D,使f(x)11x.在［m,n］上的值域为［im^n］,那么就称yf(x)为“好函数”。现有f(x)loga(ak),(a0,a1)是“好函数”，则k的取值范围是。5、把一根长为7米的铁丝截下两段(也可以直接截成两段)，这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为平方米。6、高斯记号x表示不超过实数x的最大整数，如1.232,1,231,则方程是函数g(x)xax2008[log2(lgx)]0的解集为7、已知是函数f(x)xlogax2008,(a1)的一个零点,的一个零点，则的值为8、f(x)对于任意的x、yR,都有f(x)f(y)f(xy)3x3y6,贝Uf(2008)9、设a,b,c是正实数，求证：abc(bca)(cab)(abc)10、求实数a的取值范围，使彳#对任意实数x和任意0,—2恒有(x32sincos)2(xasincos)2811、设a,b为四面体ABCD勺一对对棱abAB与CD勺长，r为四面体内切球半径.求证：r—a^~2(ab)(第22届全苏竞赛题)12、设二次函数p(x)x2axb,a,bR,当a,b在区间2,2上变动时，求P(x)0的实数解的取值范围.\n乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题4参考答案1、427410004n254(122194522n54),当2n5421945,即n1972时,上式为完全平方数。当n1972时，有(2n27)2122194522n54122n2722(n27)(2n271)2,所以上式不可能为完全平方数。所以n1972rrrrrrrr2、(ab)c,ab(ab)c0rrrrrracbc且ab0rrrra(abc)3、af(a),同理f(2ba)>f(b)。f(a2b)f(2ab)f(a)f(b)4、因为函数f(x)loga(axk),(a0,a1)在其定义域内为增函数，则若函数yf(x)为1V1好函数，万程f(x)]x必有两个不同实数根，:loga(ak)-xxxaxka2axa2k0,，方程|xy|1关两22圆的面积之和为sx一y-,看成是个圆的方程，这个4圆经过点A(4,3)或B(3,4)时，s最大，其最大值为—4平方米。6、易知010g2(lgx)1,1lgx2,故10x1007、如图：是曲线y2008与曲线ylogax交点Ax\n2008v的横坐标，是曲线y与曲线ya交点B的横坐标，二♦函数xylogax与yax互为反函数，，A与B关于直线y=x对称即为点A的纵坐标，，20088、设x=y=1,得f(1)f(1)f(1)12,于是f(1)4,f(1)3,x=y=0,得f(0)f(0)f(0)12,于是f(1)3,f(1)2,令y=1,得f(x)f(1)f(x)3x9,4,,则f(x)x3,符合f(1)4,此时f(2008)2011f(1)9、解：若b3x93,则f(x)，不符合f(0)3,f(0)24设a,b,c中a最大，若bca,则不等式显然成立.ca,则可以应用二元均值不等式1.(abc)(acb)-(abc)(acb)a,同理.(bac)(bca)b,.(cba)(cab)以上三式相乘，即证.10、解：显然，原题即关于x的二次不等式(32sincosasinacos)x121.(32sincos)-(asin22、2acos)1一0恒成乂,16故对0,2，恒有判别因为0.即(32sin0,-恒成立.32sincoscosasin由此，对一切2sincos0,-，所以1sincos由①有asincosacos0,—21sincos)2,2sin(.易知,32sincossincosf(x)51,_为减函2x数.从而max(sin0,万cos-)maxf(x)1一2sincos1x22\n由此可得a7一.由②有asin2cos31.而2sincossincos2sincos\6sincos、,6J时等号成立，从而得2a6Q.综上可知，a—或a2、、6为所求.图1111、分析：内切球半径与边长之间的关系可以通过体积来完成。解：如图11,过AB与CD分别作平行四边形ABEF与平行四边形CDGH使得AF//C口CH//AB,连AGBHEGFD,得一个平行六面体AFEB-CDGH或以四面体ABCD勺三棱CA,CB,CD为共顶点的棱构成平行六面体)设AB与CD之间的距离为d,它们所成的角为0,知V四面1，，.八体=-ab•d-sin0.6设卜2为^ABD中AB边上的高，显然D到AB的距离大于D到面AFEB的距离,即ha>d,而Saabd=1a-ha>1ad.同理)S*aabc>—ad,S△acD>—bd,S△bcD>—bd.于是，四面体ABCD勺表面积S表=&abd+Saabc+Saacd+SaBc>(a+b)d.而V=1S表•r,所以33Vr——S表abdsinabdab2s表荻2T-b)12、解：设为方程ax2,2①的一个根2时,10.所以,.3现在的问题是:a,b2,2的实数解2()(a)()的根，其中ca,daa24b4b0.最大，即点；当a2,b2时,最小，即是否一定是某个二次方程为实数，且1.由222b(a2b.显然cb)0知，也是方程cx则对任意绝对值不大于1的实数由于1国是方程x22x因此，所求实数解的范围是b.这说明，若是形如①的方程的实根,也是形如①的方程的实根20的实根，故(1J3)(1)都是形如①的方程的根1.3,1..3\n