No.50全国高中数学联合竞赛模拟试题 7页

No.50高中数学联赛模拟试卷一、填空题(本题满分64分，每小题8分)1.在数列an中，a12,a?1,且an2an1an,n1,2,L.则a20ii一.2.设a,b,c是正整数，且成等比数列，ba是一个完全平方数，log6alog6blog6c6,贝Uabc.3.一列数a1,a2,a3,L满足对于任意正整数n,都有aia2Lann3,则111a21a31a10014.设a1,变量x满足x2axx,且x2ax的最小值为-,则2a.5.正整数n500,具有如下性质：从集合1,2,L,500中任取一个元素m,则m整除n的概率是,，则n的最大值是^1006.集合｛1,2,…2。门｝的元素和为奇数的非空子集的个数为^7.一个直径AB2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S,使ASAB,C为半圆上一个动点，N,M分别为A在SC,SB上的射影.当三棱锥SAMN的体积最大时，BAC.8.直线ykx2交抛物线y28x于A,B两点，若AB中点的横坐标为2,则AB.二、解答题(第9题16分，第10、11题各20分，共56分)9.(本小题满分16分)设x,y,z1,,证明不等式2__2__2__2(x22x2)(y22y2)(z22z2)(xyz)22xyz2.\n224.(本小题满分20分)已知双曲线C:x241(a0,b0)的离心ab率为2,过点P(0,m)(m0)斜率为1的直线l交双曲线C于A、B两点，且uuruuuuuuuuuAP3PB,OAOB3.(1)求双曲线方程；(2)设Q为双曲线C右支上动点,F为双曲线C的右焦点,在x轴负半轴上是否存在定点M使得QFM2QMF?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.5.(本小题满分20分)设X1,X2,L,Xn,L是不同的正实数.证明：X1,X2,L,Xn,L是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数n(2),都有n1222刍.4为22.X2k1XkXk1X2X1\n1.0.因为a12,a21,a33,a44,a§1,a63,a72,a81,a§1,1,a121,%0,….所以，自第8项起,每三个相邻的项周期0,故a2011=0.2.111.b2ac,log6abc6,所以，abc66,故b6236,ac362.于是，36—a是平方数,所以，a只可能为11,20,27,32,35,而a是362的约数，故a27.进而,48.所以,2时,a1a2an两式相减,所以1an11a213(13(1an3n2an3n11,1一(3n(n1)3n1,La3111,11)()232333100a100(n1)n1(—3994.axx得:(a1)1)3,n2,3,L100)(a1),设f(x),则f(x)在xa2a2ax(x—)——24(a1)处取最小值\nf(a1)a1,因此a1若(a1)a,即a22,则f(x)在x2处取最小值因此12'Lpk数为(11)L(k1),所以(11)L(k1)=5,故n具有p4的形式，而5.81.由题设知，n恰有5个约数.设n的质因数分解是np13481,54625500,故n的最大值为81.6.22010.f(x)的展开式中，x的令f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3>-(1+x2011),问题中要求的答案为奇次项的系数和.故所求的答案为1(f(1)-f(-1))=22010SMAN易知BC面SAC,面AMN.VsamnNM,AMN所以BCAN,从而AN面SBC,3sM为斜边长为所以ANSM,因此Sanm,由SAAB2得:五的直角三角形，面积最大在ANMN1时取到,此时，BAC,3arccos—38.2而.AX1,y1,Bx2,y2,由y即ky28y160,y1y28k,y1y2168——,因止匕一y1kky2kXi2x244k4,即kk20,0,于是k2,再由y为直线ykx2过0,2和2,乂一y2,则k2\ny28x,解得A2后2273,B273,2273,所以AB2"5.9.注意到x1,y1,所以2__2__2_(x22x2)(y22y2)((xy)22xy2)(2y2)x2(6y_2_2-2y4)x(2y4y2)所以2(y2(y1)(x21)(x(y2)x1y)1)(x1)0,(x22x222)(y22y2)(xy)22xy2.同理，因为xy1,z1((xy)22xy2)(z22z2)(xyz)22xyz2.10.(1)由双曲线离心率为2知，cV3a,双曲线方程化为2y3a2又直线l方程为y2xay3axI2x22mxm23a2设A(x1,y1)，Bdx2m,x1x222m3a2因为uuuAPuuu3PB，所以(”,my1)3(x2,y2m),x1结合x132m，x2.代入中23a232-m43a2uuu且OAumrOB3.uurrOAuuirOBx〔x2小y陷2x1x2m(x1x2)(x12mm)(x2m)2_2_2m3a3a,21.止匕时,册,代入①，整理得2x2276x90,显然该方程\n有两个不同的实根.a21符合要求.2故双曲线C的方程为X2工1.3(2)假设点M存在，设M(t,0).由(1)知，双曲线右焦点为F(2,0).设Q(x0,y0)(X01)为双曲线C右支上一点.当x02时，tanQFMkQF—y0-,tanQMFkQM—y0-,因为Xo2X)t2—y0-QFM2QMF,所以—y0-——X0—.x021(-y0-)2X0t将y23X23代入，并整理得，2X2(42t)x04t2X22tX。t23.于是42t2"，解得t1•4tt23当x02时，QFM90°,而t1时，QMF450,符合QFM2QMF.所以t1符合要求.满足条件的点M存在，其坐标为(1,0).11.必要性:若X1,X2,L,Xn,L是一个等比数列，设n122(n1)n11X〔XnII—2k1X2k1XkXk1rk1r22(n2)1rLrr2(n1)1r2122二XnX一22.X2X1充分性：当n=2时，两边都等于1.当n=3时，有2222为X3X3-一22，X2X1X2X2X3&X1化简得X1X3X2,所以，X1,X2,X3成等比数列.\n假设x,X2,L,Xni成等比数列（n4),记Xkark11,k1,2,L,nU2(1因为Un0,所以Un2unr2n5r1n2-rUnu21r21'2nr6)n3,2rUn(r1)(u：1)r2n4,2/n1Un(r3、2n4)Unr0,n1n3UnrUnr0,rn1,即Xnarn1,从而K,X2,L,Xn成等比数列.由数学归纳法知，X,,X2，L,%,L是一个等比数列.