No.52全国高中数学联合竞赛模拟试题 4页

a74，前6项依次成等差数列，从第5项No.52高中数学联赛模拟试卷一、填空题（共8题，每题8分，64分）1.方程9x13x5的实数解为.2.函数ysinxcosx（xR）的单调减区间是.3.函数fxx2x12在区间0,2上的最大值是,最小值是.4.在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中A4,0、B6,8、C2,4,则R的取值范围为.5.设函数fx的定义域为R,若fx1与fx1都是关于x的奇函数，则函数yfx在区间0,100上至少有个零点..6.圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中镀2金2银的概率是.7.在三棱锥ABCD中，已知ACB,且cos8.设复数列xn满足xna1,0,且xn1值是.二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）直角坐标系xOy中，设A、CBD,ACDADCBCDBDC1010已知棱AB的长为6&,则此棱锥的体积为■a区.若对任意nN*都有xn3xn,则a的xn12B、M是椭圆C:土y21上的三点.若4uur3uuu4uurOM-OA—OB,证明：线段AB的中点在椭圆55第-2-页\na74，前6项依次成等差数列，从第5项10、(本题20分)已知整数列an满足a31起依次成等比数列．(1)求数列an的通项公式；3y与y23x都是完全平方数．(2)求出所有的正整数m，使得amam1am2amam1am2．11、(本题20分)求所有正整数x，y，使得x2第-2-页\n第-4-页1、XV0无解；当x0时，原方程变形为32x+3x—6=0,解得3x=2,x=log32.2、与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同，[k——,——],kZ.24223、极小值—4,端点函数值f(2)=0,f(0)=—2,最小值—4,最大值0.8.54、画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B.[一7，10].5、f(2k-1)=0,kCZ.又可作一个函数fx满足问题中的条件，且fx的一个零点恰为x2k1,kez.所以至少有50个零点.6、穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为1.37、4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为1448、由xn1axn、，axn27，xn3xn1xn22ax1a1xn113axna2a1xn1恒成立，即a2a1xnxn1a20.因为xna1或0,故aa10,所以9、解：设A(xi,y1),B(x2,y2),则x127+y12=1x22y+y22=1-uuuu由OM3uuu4uuu3434-OA：OB,得M(5x1+5x2,5y1+5y2).55因为M是椭圆C上一点，所以3,4、2(5x1+5x2)34.—4—+(5y1+5y2)2=1，22rxi3x2434xix2即(7+y12)©2+(7+y22)(5)2+2(5)(5)(-4-+y1y2)=1,34c34xix2得(5)2+(5)2+2(5)(5)(—+y1y2)=1,故x1x27+y1y2=0.xix2y1y2又线段AB的中点的坐标为(―2~，2),14分所以xi+x2(2)»y1+y2_1xi2_1x229xix2+2r-2^)2=2(^_+y12)+2(7+y22)+v+y1y2=1，第-4-页\n从而线段AB的中点产产2,匕产)在椭圆S+2y2=1上.20分10、解：(1)设数列前6项的公差为d,则as=-1+2d,ae=-1+3d,d为整数.又a5,a6,a7成等比数列，所以(3d—1)2=4(2d—1),即9d2-14d+5=0,彳导d=1.6分当nW6时，an=n—4,由此a5=1,a6=2,数列从第5项起构成的等比数列的公比为2,所以，当n>5时，an=2n-5.n—4,n<4,故an=2nJn>5.10分(2)由(1)知，数列an为：一3,—2,—1,0,1,2,4,8,16,…当m=1时等式成“,即一3—2—1=—6=(—3)(—2)(—1);当m=3时等式成立，即一1+0+1=0;当m=2、4时等式不成立；15分当m>5时,amam+〔am+2=23m-12,am+am+1+am+2=2m-5(2一1尸7*2m-5>7X2m-5丰23m-12所以am+am+1+am+2Wamam+1am+2.故所求m=1,或m=3.20分11、解：若乂=丫，则x2+3x是完全平方数.x2y,贝Ux2y情形可求得x=11,y=16.综上所述，(x,y)=(1,1),(11,16),(16,11).20分第-4-页