No.57全国高中数学联合竞赛模拟试题 6页

No.57高中数学联赛模拟试卷、填空题（共8题，每题8分，64分）1、f(x)是周期为5的奇函数，f(1)8,则f(2010)f(2009)2、设函数fx,若x表示不大于x的最大整数，则函数fx13x值域是。0的根，则323、0,x1，x2,必为多项式xxx1111234563579111381216202420283644-486480…112144…(x〔xx3)(一——)x1x2x34、如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则2000在表中出现次。._25、已知二次函数fxx2mx1,若对于0,1上的任意三个实数a,b,c,函数值fa,fb,fc都能构成一个三角形的三边长，则满足条彳^的m的值可以是6、若（xy）5x5y0,则y。7、如图从第一格跳到第8格，规定每次只能跳一格或者2格，|1|2|3|4|5|61718则不同的跳格方法总数为。8、等比数列｛an｝中，a〔1包0104,函数f(x)x(xa〔)(xaz)L(x22010),则函数在（0,0）处的切线方程为。二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）如图，已知O为ABC的外心，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且满足uuiruluiuruurtanAtanACOABBOCA。（1）推导出三边a,b,c之间的关系式；（2）求回A回△的值。tanBtanC-4-\n10、（本题20分）设直线l:ykxm（其中22B,与双曲线—y-1交于不同两点C,412若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，D,问是否存在直线请说明理由.uuir,使得向量ACuuurBD0,22xy、一.k,m为整数）与椭圆——1交于不同两点A,1612111、（本题20分）已知函数fx——，对于nN,定乂至xfx,fn1xffnx,1x偶函数gx的定义域为xx0,当x0时，gx£2009x。（1）求9*；（2）若存在实数a,bab使得该函数在a,b上的最大值为ma,最小值为mb,求非零实数m的取值范围。-4-\n1、8,f(0)0,(2010)f(2009)f(0)f(1)812、｛0,1｝。斛：由已知付0fx1,fxfx1,所以当fxfx一时，值为1;21_,一，,1_，当0fx—时，值为0;当—fx1时，值为0;所以值域为0,1223、—1,设x）,x2,L,4为多项式的所有正根，由韦达定理有x1x2x31(1)x〔x2x1x3x?x3…、一,，111、(2)变形为％x2x3(——一)一x〔x2x3取2*3(3)111(3)代入得一——Xix2x31结合（1）得（一x1X2,1、，L)(x1xnx2Lxn)4、解：由数表推得，每一行都是等差数列，第记第n行的第m个数为fn,m，则fn,1n行的公差为2n1fn1,1fn1,25、2fn1,1算得fn,1n222mn2fn,1fn1,12n12n24200022n1fn,m53,当nn1n2fn,1m1221,3,5,6时符合。答案为4。2m0,—内的任一实数。解：由题意当2x0,1时,fxmin2fxminfxmax0时,fxmin2fxminmaxf12m小存在;0,1时,fxmin2m02fxmin4mfxmax-4--4-fxmin2fxmin22m2max2m-4--4-所以这时-4--4-\n6、当”所以这时时,fxminm202fxmin2m2fxmax—；综上所述20解：原方程可化为xy5x5x考虑单调性7、完成从第一格到第7格，每次跳一格,要跳7次才能完成。有x次跳1格，y次跳2格,-4-\n则x2y7(x,yN)当x1,y3时，有c4种跳法；当x3,y2时，有c53种跳法当x5,y1时，有C5种跳法；当x7,y0时，有C；种跳法共有21种跳法20108、y2x,g(x)(xa)(xa2)L(xa20io)则f(x)g(x)xg(x)切线斜率kf(0)aia?La20i0505(a〔a2010)220109、解：（1）取uurCOuurABAB、uur(CEAC的中点E、F,同理uurBOuuuCA(2)tanAtanBy10、由Jx16kx2y12设Ax1,y1y由x2x4kx2y12因为X3:uur时,uurEO)uuuABuuuuurCEABuurCBuurCAuuuCBuuuCA所以2a2tanAtanCcosBsinBcosCsinCsinAcosAsinBCsinAsinBsinCcosAbc222222bca2bcm消去1X2，V2y化简整理得2：4kx28kmx4m488km4k228km24k24m480dm消去y化简整理得1，V4:uurACBD8km34k2由①和②得有9条.11、解:f1xk22kmx120DX4,y4，则X30,所以X4X22kmX4X3Xik222km2m122km3k22.3.所以2km0,4此时V4V2V3y10.由XiX2X3X4由①和②得3(1)因为11234k30.当k273.因m是整数，所以m的值为k73.因k是整数,ff1x11~1——1xx1f——，f3xx3,21,0,1，2,3.f2x于是满足条件的直线共1xx11——x\n1-,x0x所以gx11一，x0x图象如右：ma0,矛盾）（2）因为ab,mamb0m0,ab0;又因为mb0,所以1［a,b］（否则m0,mb.一1,当ab1,则fx11在（x11—ma1］上是减函数，由题意a1bmb-6-所以a,b是方程11xm掰两不同实根211x—x—0在，1有两个不同头根,mm12m11一mb当1ab0时，则fx11在（1,0）上是增函数，由题意ax11-mab综上所述1m0。4-6-