No.49全国高中数学联合竞赛模拟试题 30页

2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)2011年全国高中数学联赛模拟题1一试考试时间上午8:00~9:20,共80分钟，满分120分一、填空题(共8题，每题8分，64分)2x2bxc1、已知函数y——2(b0)的值域为[1,3],则bcx12、已知aR,并且va22x2xa(a0),则a的取值范围是13、设在xOy平面上，0yx2,0x1所围成图形的面积为-，则集合3M｛(x,y)yx1｝,N｛(x,y)yx21｝的交集MN所表示的图形面积为—4、f(x)vx22x<2x23x3的最小值为43.…，5、已知复数zcosisin,ucosisin，且zu—一i.则tan()=5522xy6、过椭圆C:———1上任一点P,作椭圆C的右准线的垂线PH(H为垂足)，延长PH到点Q使|HQ|二入|PH|(入32>1)O当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为7、设[x]表示不超过x的最大整数,则[log31][log32][log33][log3500]8、设p是给定的奇质数，正整数k使得&^也是一个正整数，则k=二、解答题(共3题，共56分)cosAb49、(本题16分)在4ABC中，A,B,C所对边分别为a,b,c,且c10,一一，P为4ABC的内切圆上的cosBa3动点，求点P到A,B,C的距离的平方和的最大值和最小值10、(本题20分)数列｛an｝中，a18,a42且满足an22an1an(nN)(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)〜-2-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)…1设bn,Tnb1b2bn(nN)，是否存在最大的正整数m,使得对于任意的nN，均有n(12an)〜-2-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）Tnm成立？若存在，求出32m的值；若不存在，请说明理由。〜-3-〜2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）〜-3-〜2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）22_211、（本题20分）给定圆P:xy2x及抛物线S:y4x,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交点自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程.2011年全国高中数学联赛模拟题2一试考试时间上午8:00〜9:20,共80分钟，满分120分一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程logxsinx2在区间（0,一]上的实根个数为.22112.设数列8（—）n1的刖n项和为Sn,则满足不等式|Sn6|——的最小整数n是31253.已知n(nN,n2）是常数，且x1,x2,L,xn是区间0,-内任意实数，则函数2f(x1,x2,L,xn)sinx1cosx2sinx2cosx3Lsinxncosx1的最大值等于4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有个交占I八、、5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在始点的概率为.uur6.设O是平面上一个定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPn次爬行后恰好回到起uuruuuAC驯AB-uurOA-uuu-,其|AC||AB|中[0,）,则点P的轨迹为7.对给定的整数m,符号（m）表示1,2,3中使m（m）能被3整除的唯一值，那么〜-3-〜\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)201020102010(21)(22)(23)8.分别以直角三角形的两条直角边a,b和斜边c为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为Va,Vb,.22._2Vc，则VaVb与（2Vc）的大小关系是.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.221.（本小题满分16分）是否存在实数a,使直线yax1和双曲线3xy1相交于两点A、B,且以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数f：Z1,2,3,满足对任意的整数若|xy|2,3,5,〜-8-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)〜-8-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)则f(x)f(y).3.（本小题满分20分）设非负实数a,b,c满足abc1,求证：9abcabbcca1-(19abc)4〜-8-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)〜-8-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)2011年全国高中数学联赛模拟题3一试考试时间上午8:00~9:20,共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）2212y1、若实数x、y满足条件x2y21,则二’的取值范围是xx〜-8-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)2、已知a,b,c为非负数，则f(a,b,c)cab的最小值为abcc23、设AB是椭圆41(ab0)的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半b2部分于P1、P2、P99,F1为椭圆的左焦点，则F1AF1P1F1P2+…F1P99F〔B的值是〜-8-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)〜-8-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)4、从一个有88条棱的凸多面体P,切去以其每个顶点为顶点的各一个^B,得到一个新的凸多面体Q,这些被切去的棱锥的底面所在的平面在P上或内部互不相交，则凸多面体Q的棱数是。5、设函数fx:RR,且满足，x,yR,fxfyf2xy33fxy3fx6x,则fx.a,则这个球的体积为6、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为7、设a1,a2,a2010均为正实数，12a112a22a2010则a1a2a2010的最小值为〜-8-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)〜-8-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)8、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是.二、解答题(共3题，共56分)9、(本题16分)设S={1,2,…，n},A为至少含有两项的、公并非为正的等差数列，其项部都在S中，且添加S的其他元素等于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数(这里只有两项的数列也看做等差数列).10、(本题20分)已知F为抛物线y24x的焦点，M点的坐标为(4,0),过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于kA、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为k2.(I)求一的值；(II)求直线AB与直k2线CD夹角。的取值范围.11、(本题20分)已知函数f(x)2lnx的取值范围.(II)如果函数g(x)f(x)2x2。(I)若方程f(x)m0在L,e］内有两个不等的实根，求实数meax的图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0x1x2。求证:〜-8-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)g'(pxiqx2)0(其中正常数p、q满足pq1,qp)。2011年全国高中数学联赛模拟题4一试考试时间上午8:00~9:20,共80分钟，满分120分一、填空题(共8题，每题8分，64分)1x1、用区间表示函数f(x)ln(——1)的定义域为；x3一，4.A•1…2、在^ABC中。若sinAcosA-,则cos2A;33、在数列｛an｝中，a12,an12&2(nN),则使%10成立的最小正整数4、已知f(x)是R上的奇函数，对任意xR,均有f(x2)f(x),且r3rf(2)f(1)；5、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，O为AB边的中点，且PO平面ABCD，则二面角PACD的余弦值nd*—..n的值是；x(0,1)时，f(x)x2,则6、若正整数m使得对任意一组满足aa2a3a41的正数a1，a2,a3,a4都有a1ma2ma3ma4m———-工成立，则正整数m的最小值为现a2a3a42k2k*7、函数f(x)sinxcosx,(kN)的最小值为8、将方程x33[x]40([x]表示不超过x的最大整数)的实数解从小到大排列成x,,X2,L,x一则333XiX2LXk二、解答题(共3题，共56分)-一，一.2，一1、八〜-8-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)9、(本题16分)设二次函数f(x)x2bxc(b,cR)与x轴有交点。若对一切xR,有f(x-)0,且x〜-8-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)2x23f".)1,求b,c的值。10、(本题20分)记集合T{0,1,2,3,4,5,6,7},ai(i1,2,3,4)是T中可重复选取的元素.(1)若将集合M{a183a282a38a4aiT,i1,2,3,4}中所有元素按从小.到大的顺序排列，求第2008个数所对应的ai(i1,2,3,4)的值；(2)若将集合N{曳雪a3a4aiT,i1,2,3,4}中所有元素按从大到小的顺序排列，求第2008个8828384数所对应的ai(i1,2,3,4)的值.22xy11、(本题20分)已知椭圆———1的左、右焦点分别为Fi、F2,过F1的直线交椭圆于A、B两点，过F2的95直线交椭圆于C、D两点，且ABCD,垂足为P.22(1)设P点的坐标为(x0,y0),求包曳的最值；95(2)求四边形ACBD的面积的最小值.2011年全国高中数学联赛模拟题5一试考试时间上午8:00~9:20,共80分钟，满分120分一、填空题(共8题，每题8分，64分)xyz1、整数xyz,且22y24.625,则x,y,z分别为。2、x「yk(k1,2,3).均为非负实数，则{(2010y1yy3)2x32〜-8-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)&x2jyix2&(xx2^的最小值为。233、已知集合A{x|xa0ai7a27a37},其中ai{0,1,2,3,4,5,6},i0,1,2,3且%0。若正整数m,nA,且mn2010,mn,符合条件的m有_个_2X324、记F(x,y)(xy)(——),(y0),则F(x,y)的最小值是3y5、集合的容量是指集合中元素的和.则满足条件“A{1,2,3,4,5,6,7},且若aA时，必有8aA”的所有非空集合A的容量的总和是.（用具体数字作答）226、an为a14的单倜递增数列，满足an1an16801an）2an冏，则an_。3..一1a1b1c7、设a,b,c为万程xk〔xk20的根（k1k21）,则。1a1b1c8、如图，记从“田字型”网格（由4个边长为1的正方形构成）的9个交点中任取3个构成三角形的面积记为工（当所取3点共线时，"0）,则E的数学期望E=、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）求函数ysinxcos2x（xR）的最大值和最小值.一一,12x3y4x4y3z2z1……10、（本题20分）设x,y,z为正实数，求函数fx,y,zyy的最小值。xyz11、（本题20分)n2（n>4）个正数排成n行n列ana12a13a14■a1na21a22a23a24,a2na31a32a33a34■a3na41a42a43a44a4nan1an2an3an4,ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,13……a42=-,343=行■，求a1什a22+a33+…+ann.(1990年全国局中数学联赛试题)〜-12-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)2011年全国高中数学联赛模拟题6一试、填空题(共考试时间上午8:00~9:20,共80分钟，满分120分8题，每题8分，64分)〜-12-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)〜-12-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)1、y=J；xJxJ的最大值为a,最小值为b,则ab等于^xc时有最大值4c,最小值b,则bc2、已知实数b,c满足b2c,且函数yx24x4,当b3、已知集合Sx1x10,xN,对它的任一非空子集A,可以将A中的每一个元素k都乘以(1)k再求和(例如，A={2,3,8},则可求得和为(-1)2X2+(-1)3X3+(-1)8X8=7),对S的所有非空子集，这些和的总和为^4、已知两个集合A=(x,y)xm,y3m2,mN,B=(x,y)xn,ya(n2n1),nN，若AABw,则整数a的值为—.20125、函数f(x)的定义域为(0,+8),并且对任意正实数x,者B有f(x)xf()3x,则f(2)^x6、a,b,c是正整数，且成等比数列，ba是一个完全平方数，log6alog6blog6c6,则a+b+c=^7、已知f(x)x26axa,yf(x)的图像与x轴有两个不同的交点区,0),(x2,0)且a38a3,则a的值为_-(1x1)(1x2)(16ax1)(16ax2)8、设n为正整数，记1X2X…xn为n!(例如1!=1,2!=1x2,5!=1x2x3x4x5),若存在正整数a2,a3,a4,a5,a6、产口31a2a3a4a5a622222号,满足一一————,这里0ai1,i=2,3,4,5,6,贝Ua2a3a4a5a6等千^362!3!4!5!6!二、解答题(共3题，共56分)，什八……*-，-1口…，一一口…一9、(本题16分)已知点的序列An(xn,0),nN，其中x10,x2-,A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的2中点，，An是线段An2Anl(n3)的中点，⑴写出4与Xn1,%2之间的关系式53)；(2)设anXn1Xn，求an的通项公式。〜-12-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)10、(本题20分)已知，函数f(x)x|X2a］,试求f(x)在区间［0,1］上的最大值g(a)。22,一..,一，-xy11、(本题20分)已知双曲线C:—士1(a0,b0)的离心率为2,过点P(0,m)(m0)斜率为1的直线l交abuuruuuuuruuu双曲线C于AB两点，且AP3PB,OAgOB3(1)求双曲线方程；(2)设Q为双曲线C右支上动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴负半轴上是否存在定点M,使得QFM2QMF?若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。2011年全国高中数学联赛模拟题7一试考试时间上午8:00~9:20,共80分钟，满分120分一、填空题(共8题，每题8分，64分)1、满足方程Jx20092,x2010Jx20092,x20102所有实数解为。xx2、xR,函数f(x)2sin—3cos-的最小正周期为233、设P是圆x2y236上一动点，A点坐标为20,0。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为—4、设锐角三角形ABC的边BC上有一点D,使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为.〜-12-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)15、设z是虚数，wz—,且1w2,则z的实部取值范围为.z一2446、设f(x)k(xx1)x(1x)。如果对任何x[0,1],都有f(x)0,则k的最小值为2ax7x12x5117、若不等式一一又^-12成立.SkC11、(本题20分)已知定义在R+上的函数f(x)满足(i)对于任意a、bCR+,有f(ab)=f(a)+f(b)；(ii)当x>1时，f(x)<0;(iii)f(3)=1.现有两个集合A、B,其中集合A={(p,q)|f(p2+1)f(5q)2>0,p、qCR+},集合B={(p,q)|f(~p)+口=0,q2p、qCR+}.试问是否存在p、q,使AB,说明理由.〜-12-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）2011年全国高中数学联赛模拟题8一试考试时间上午8:00~9:20,共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、函数f（x）2x74x―X2的值域是.2、设z是复数，则|z1||zi||z1|的最小值等于.3、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：a1,a2,a3,L,a，例如：_2_24_2_2_2_2__2,2_.a1213,a2325,a3437,a4318,L那么a2007一4、在ABC中，tanB后,sinC红2,AC3。6,则ABC的面积为35、圆锥曲线Ny26x2y10|xy3|0的离心率是.一一2一-・6、右m、nxxa210a110a0,其中ai1,2,3,4,5,6,7,i01,2,并且mn636,则实数对（m,n）表示平面上不同点的个数为.7、已知f（x）x1x2Lx2007x1x2Lx2007（1x1）,且2f（a3a2）f（a1）,则a的取值范围是8、从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是.二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）当实数a为何值时，关于x的方程axlnx无解、一解、两解？10、（本题20分）已知二次函数fx2xbxcb0在区间1,1上的最小值为3一一一一,取大值为3.（1）求fx4的表达式；（2）若anfnfn1,其中n2,且n一*一111N.求证：———La?a3a412an〜-14-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）11、（本题20分）已知ABC的三边长度各不相等，D,E,F分别是A,B,AB的垂直平分线的交点.求证：ABC的面积小于DEF的面积.C的平分线与边BC,CA,1、2、2011年全国高中数学联赛模拟题一试考试时间上午8:00~9:20,共80分钟，满分120分、填空题（共8题，每题8分，64分）f（x）是周期为5的奇函数,f(1)8,则f(2010)f(2009)3x设函数fx-x,若x13表示不大于x的最大整数，则函数的值域是3、0的根，则，、，1(XiX2X3)(-Xix2x34、如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、71291620111324从上到下无限。则2000在表中出现次。202836444864805、已知二次函数X22mx1,若对于0,1上的任意三个实数112144a,b,c,函数值f,fc都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的m的值可以是556、右(xy)x7、如图从第一格跳到第8格，规定每次只能跳一格或者2格，则不同的跳格方法总数8、等比数列｛an｝中,a11,a20104,函数f(x)x(xa〔)(xaz)L(x22010),则函数在(0,0)处的切线方程二、解答题（共3题，共56分）〜-14-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)9、(本题16分)如图，已知。为ABC的外iuruuira,b,c分别是角A、B、C的对边，且满足COABuuuruuiirBOCA。(1)推导出三边a,b,c之间的关系式；(2)求蚓A电nA的值。2222——1交于不同两点A,B,与双曲线——16124120,若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，tanBtanC10、(本题20分)设直线l:ykxm(其中k,m为整数)与椭圆uuuruur交于不同两点C,D,问是否存在直线l,使得向量ACBD请说明理由.111、(本题20分)已知函数fx,对于nN,te义f1xfx,fn1xffnx,偶函数gx的te义1x域为xx0,当x0时，gxf2009x。(1)求gx；(2)若存在实数a,bab使得该函数在a,b上的最大值为ma,最小值为mb,求非零实数m的取值范围。2011年全国高中数学联赛模拟题10一试考试时间上午8:00~9:20,共80分钟，满分120分一、填空题(共8题，每题8分，64分)1、使关于x的不等式Jx3J6xk有解的实数k的最大值是2、已知M{(x,y)|x22y23},N{(x,y)|ymxb}。若对所有mR,均有MIN，则b的取值范围是3、设函数f:RR,满足f(0)1,且对任意x,yR,都有f(xy1)f(x)f(y)f(y)x2,贝Uf(x)=。34、右受数Z1,五满足1z11=2,1z21=3,3z12z2-i，则z1z2=〜-16-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)5、已知整数x,y,z,t满足xyzt,且2x2y2z2t1314,则xyzt6、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为2,乙在每局中获胜的概率为1,且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数33的期望E为a.aoa°a，，7、记集合T={0,1,2,3,4,5,6},M={————|aiT,i1,2,3,4},将M77774中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是8、将边长为2的正△ABC沿高AD折成直二面角BADC,则三棱锥BADC的外接球的表面积是二、解答题(共3题，共56分)12,9、(本题16分)已知函数f(x)-xlnx(1)求函数f(x)在区间［1,e］上的最大、最小值；2Q(2)求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)—x^图象的下方；3(3)设g(x)=f/(x),求证：［g(x)］ng(xn)2n2。10、(本题20分)如图，抛物线y22x及点P1,1,过点P的不重合的直线1i此抛物线分另iJ交于点A,B,C,D.证明:A,B,C,D四点共圆的充要条件是直线1i与l2的倾斜角互补.〜-16-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)〜-16-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)一一27an45an3611、（本题20分）数列｛an｝满足：a01,an1,nN.2证明：(1)对任意nN,am为正整数；(2)对任意nN,anan11为完全平方数〜-16-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）2011年全国高中数学联赛模拟题11一试考试时间上午8:00~9:20,共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1.方程9x13x5的实数解为.2.函数ysinxcosx（xr）的单调减区间是.23.函数fxx2x1在区间0,2上的最大值是,最小值是.4.在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点0、半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中A4,0、B6,8、C2,4,则R的取值范围为.5.设函数fx的定义域为R,若fx1与fx1都是关于x的奇函数，则函数yfx在区间0,100上至少有个零点..6.圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中镀2金2银的概率是.107.在三麴tABCD中，已知ACBCBD,ACDADCBCDBDC，且cos7y.已知棱AB的长为6显,则此棱锥的体积为8.设复数列xn满足xna1,0,且xn1上区.若对任意nN都有xn3xn,则a的值是xn1二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）直角坐标系xOy中，设A、B2-xM是椭圆C:一4uuuu3uur4uury21上的三点.若OM-OA—OB,55〜-18-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）2证明：线段AB的中点在椭圆—2y21上.210、（本题20分）已知整数列an满足a31,a74,前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列.⑴求数列an的通项公式；（2）求出所有的正整数m,使得amam1am2amam〔am2.2_211、（本题20分）求所有正整数x,y,使得x3y与y3x都是完全平方数.2011年全国高中数学联赛12一试考试时间上午8:00~9:20,共80分钟，满分120分填空题（本题满分64分，每小题8分）1.设a1,a2,L,a10（1,），则12009120092009logalogaLlogaa1a2a102.已知x,yN*，且12Ly2009lOga网Lam21992L的最小值是则将y表示成x的函数，其解析式是y3.o已知函数f（x）|x22|,4.满足方程log2[2cos2(xy)若f(a)1b,则ab的取值范围是5.若［a］表示不超过实数2cos2(xy)]3.一-的所有头数对（x,y）4a的最大整数，则方程［tanx］2sin2x的解是〜-18-~2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）6.7.不等式22x32x-x422x的解集是设A是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即A{1,2,L,2009},集合LA,且L中任意两〜-18-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)个不同元素之差都不等于4,则集合L元素个数的最大可能值是。8.给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有个。二、解答题9.(本题满分16分)设函数f(x)定义于区间[0,1],满足f(0)0,f(1)1,且对任意x,y[0,1],xy,都有fp/)(1a2)f(x)a2f(y),其中常数a满足0a1,求a的值。210.(本题满分20分)如图，A是双曲线x-y21的右顶点，过点A的两4条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点M,N,问直线MN是否一定过x轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P试求出这个定点P的坐标。11.(本题满分20分)设正整数构成的数列｛an｝使得a10k9a10k8L加卜19对一切kN*恒成立。记该数列若干连续项的和jap为S(i,j),其中i,jN*,且ij。求证：所有S(i,j)构成的集合等pi1于N*。2011年全国高中数学联赛13一、填空题(本题满分64分，每小题8分)1.在数列an中，a12,a21,且an2an1an,n1,2,L.WJ22011=2.设a,b,c是正整数，且成等比数列，ba是一个完全平方数，log6alog6blog6c6,贝Uabc.3.一列数a1,a2a,L满足对于任意正整数n,都有a〔a?Lann3,则〜-20-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)1a211a311a100111.设a1,变重x?两足xaxx,且xax的取小值为一，则a22.正整数n500,具有如下性质：从集合1,2,L,500中任取一个元素m,则m整除n的概率是工，则n的最大值是^1003.集合｛1,2,…2。H｝的元素和为奇数的非空子集的个数为^4.一个直径AB2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S,使ASAB,C为半圆上一个动点，N,M分别为A在SC,SB上的射影.当三棱锥SAMN的体积最大时，BAC.5.直线ykx2交抛物线y28x于A,B两点，若AB中点的横坐标为2,则AB.二、解答题(第9题16分，第10、11题各20分，共56分)6.(本小题满分16分)设x,y,z1,,证明不等式2__2__2__2__(x2x2)(y2y2)(z2z2)(xyz)2xyz2.2210.(本小题满分20分)已知双曲线C：与”1(a0,b0)的离心率为2,过点P(0,m)abuuruuuuuuumr(m0)斜率为1的直线l交双曲线C于A、B两点，且AP3PB,OAOB3.(1)求双曲线方程；(2)设Q为双曲线C右支上动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴负半轴上是否存在定点M使得QFM2QMF?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.〜-20-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)10.（本小题满分20分）设Xi,X2,L,Xn,L是不同的正实数.证明：Xi,X2,L,Xn,L是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数n（2）,都有n1222XxnxnX一—22.X2k1xkxk1X2x11.（本题满分40分）实数a使得对于任意实数X1,X2,X3,X4,X5,不等式222X1X2X32X42X5a(x1x2X2X3X3X4X4X5)都成立，求a的最大值.2.（本题满分40分）在直角三角形ABC中，B90,它的内切圆分别与边BC,CA,AB相切与点D,E,F,连接AD,与内切圆相交于另一点P,连接PC,PE,PF.已知PCPF,求证：PE//BC.〜-22-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编(共16套)3.(本题满分50分)对正整数n,记f(n)为数3n21的十进制表示的数码和.求f(n)的最小值;是否存在一个正整数n,使得f(n)=100?4.(本题满分50分)求满足如下条件的最小正整数n,在圆O的圆周上任取n个点A,A2,L,An,则在C：个角AiOAj(1ijn)中，至少有2011个不超过120.2011年全国高中数学联赛14一试〜-22-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.已知a2,且A_2,，—―-一yy2x3,xA,Cttx,xA,右CB,则a的取值范围是。uuv2.在ABC中，若ABULUV2,AC3,LUIVBC4,O为LUU/ABC的内心，且AOUUVABUUVBC,则3.已知函数fx1,x取值范围是x的方程a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的4.计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0〜n1中的任意一个数。如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9、99、999都出现的概率2，，一x5.已知椭圆一42—1的左、右焦点分别为3F1、F2,过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q,则AF1PQ内切圆面积的最大值是6.设an为一个整数数列，并且满足:1an1n1an2n1,N.若2008a2007,贝U满足2008an且2的最小正整数n是7.如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为再将余下部分融铸成一个新的实心球,那么新球的半径是8.在平面直角坐标系内，将适合xy,x3,y3,且使（x3y3）t4（3xy）t2六0没有实数根的点（x,y）所成的集合记为N,则由点集N12的圆形的洞,于t的方程所成区域的面积为题、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）对正整数1n11r,求数列1nk2k1an中的最大值.21\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）2210.（本小题满分20分）已知椭圆x241过定点A（1,0）,且焦点在x轴上，椭圆与曲线yx的交点为a2b2B、Co现有以A为焦点，过B,C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m,0）,当椭圆的离心率满足-e213时，求实数m的取值范围。11.（本小题满分20分）映射f的定义域是A1,2,L,20的全体真子集，值域包含于1,2,L,10,满足条件:,fC,求这种映射的个数.对任意B,CA,都有fBICminfB一、（本题满分40分）设A、RC、D、E为直线l上顺次排列的五点，空BCf在直线l外的一点，连结FC并延长至点G，恰CECD使FACAGD,FECEGB同时成立.求证：FACFEC。〜-26-~\n2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）、（本题满分40分）已知：a,b,c0,abccaab求证：1abcab1abcbc1abcca、（本题满分50分）设正整数n大于1,它的全部正因数为d1，d2,…，dk,满足1=d1