No.28全国高中数学联合竞赛模拟试题 13页

2011冲刺全国高中数学联赛模拟试卷(一)命题人：曾鹏222011x89的解集为20112x21.不等式2.1厂2011x2.对于任意实数a,b,不等式maxab,ab,2006bC包成立，则常数C的最大值是3.根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北(0—)方向行走一段2时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为2011米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积一1一—4.等比数列an的首项为a12011,公比q万.设fn表本这个数列的前n项的积,则当n时，fn有最大值.5.若f(x)是定义在R上的连续函数，且2011,则f(1)6.设a、b、c是直角三角形的三条边长，且(anbncn)22(a2nb2nc2n),其中nN,n2,则n的值等于.7.由曲线x24y,x24y,x4,x4围成的图形绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为V1;满足x2y216,\nx2(y2)24,x2(y2)24的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为V2，则V与V2的大小关系为\n6.在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有种配备新式武器的方案。二.解答题9,已知a>0,函数f(x)=ax-bx2.求：(1)当b>0时，若对任意xCR,都有f(x)<1,证明：a<2b;⑵当b>1时，证明：对任意x€[0,1],|f(x)|<1的充要条件是b-1Q，因此，r幅+£政九.⑵证明:必要性.对任意X£[0[],由1/31呵知-1勺⑸.从而j-1^^(1)=a-b，即a-1.又对任意x€[0,1]/(x)<1.因为b⑶解:因为&>0EC时对f壬意XE[0A11，有1寸（工）=ax-以>-1,即人工）工1月〃工）0.从而，⑴对，即”石耳故a<3+1.因此一（工），行।1）JC■君1.故八外4所以、当&>0,0l>fa-1,对任意x£[01],可知ax-bx=6（工・/）-x—工粉-1,即mt*hx2能,1,因为aWtJb，对任意工€[o,i]，有欧-力嚏/（-十名1,艮：族.欧W,所以-1千⑴Q综上所述，当白>1时，对任意工£[。,1）丐的充要条件是b-1<口气又22.22210.【解】(1)由4ax4ay4abx2ayb0可得\n(x2a)2(y1-)24a(白24a由a,bN,以及两圆在x轴同侧，可知动圆圆心在x轴上方，设动圆圆心坐标为(x,y),b、212则有(x—(y)2a4a整理得到动圆圆心轨迹方程y2.axbxb24ab(x—).……(5分)2a【另解】由已知可得，动圆圆心的轨迹是以2a4a、、，…1）为焦点，y——为准线，且4ab顶点在（上—,0）点（不包含该点）2a的抛物线，得轨迹方程/b、21(x丁)一y,即2aa2yaxb2bbx——(x)4a2a(5分)（2）联立方程组y2axbxb-(x—)4a2a4(J71)abx4ayb2a26958a0②消去y得4a2x24j7abx(a26958a)0,由167a2b216a2(a26958a)0,整理得7b2a26958a③从③可知7a27ao故令a7a1，代入③可得.22b7al6958al7b27b.再令b7b,代入上式得22一,,7b1a1994a1(10分)同理可得，7a1,7bl。可令a49n,b49m,代入③可得7m2n2142n④对④进行配方，得(n71)27m2712,对此式进行奇偶分析，可知m,n均为偶数，所以7m2712（n71）2为8的倍数,\n所以4m。令m4r,则112r2712r245.所以rQ1,2,3,4,5,615分)仅当r0,4时，712112r2为完全平方数。于是解得a6958,a6272b0(不合，舍去)b784a686b78420分)11.【解析】讲解:由特征方程,.x2-x+an20oos8=0解得两根为xi=dn&,X2=cos2&.设%=月(sin2+B(cos2B)”.由m=1,e=1=2an2$8J九可解aK=Mn如8+8fs.=%+:&面83产2&+oos281sin2"-3协+£—g(an40dos3"-48+st9dn*，。+…+d1(an2"_26