2007年四川高中数学竞赛预赛试题 5页

二00七年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得5分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1.下列函数中，既是在[0,π]内的增函数，又是以π为最小正周期的函数是（）（A）y=|sinx|（B）（C）y=sin2x（D）y=cos4x2.设集合A={−1,0,1}，B={0,1}.映射f:A→B满足对A中任何两个不同元素x,y都有f(x)+f(y)∈B，则符合条件的映射f:A→B的个数为（）（A）3（B）4（C）5（D）63.在ΔABC中，A(1,4)、B(4,1)、C(0,−4)，P为ΔABC所在平面一动点，则的最小值是（）（A）（B）（C）（D）4.在长方体ABCD−EFGH中，∠BEF=60°，∠DEH=45°,则sin∠BED的值为（）（A）（B）（C）（D）5.从集合{1,2,3,…,20}中任选3个不同的数排成一个数列，则这个数列为等差数列的概率是（）（A）（B）（C）（D）6.点，，…，分别是四面体ABCD各棱的中点，则以A,B,C,D及，，…，这10个点为顶点的四面体的个数为（）（A）132（B）135（C）138（D）141二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.7．设，则P的值等于_______________.8.已知函数满足,则使成立的x的取值范围是_______________.9.设a,b为正实数，且a+b=1，则的最小值为_______________.10.设是给定的常数，是R上的奇函数，且在(0,+∞)递增，若,，则x的取值范围是_______________.\n11.已知“不定方程的正整数解的组数（其中m,n∈）”，则的正整数解的组数为________.（用具体数字作答）12.[x]表示不超过实数x的最大整数，比如[3.14]=3，[0]=0，[−3.14]=−4.数列满足：，若则_______________.三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）13.如图，分别是锐角的三条高，垂足分别为.以为直径的圆和交于点，过的直径的另一端点为.若和分别交于，.求证：.\n14.若，求的最大值及取最大值时的值.\n15.已知椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点，若椭圆的离心率，且.（1）求的值；（2）若过的直线交椭圆于两点，且与向量共线，（其中，为坐标原点），求与的夹角.\n16.已知正整数列满足条件：对于任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体自然数组成的集合，其中为数列的前项和.（1）求的值；（2）求数列的通项公式.