全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 41页

2012各省数学竞赛汇集2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当时，函数的最大值为__18___.2、在中，已知则___4____.3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为________.5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_______.6、已知是正实数，的取值范围是________.7、在四面体中，,,该四面体的体积为____________.8、已知等差数列和等比数列满足：则______.（）9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为__24___.\n二、解答题（本题80分，每题20分）11、在中，角对应的边分别为，证明：（1）（2）12、已知为实数，，函数.若.（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：\n13、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.\n14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.\n2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．已知集合N，且N，则1．2．已知正项等比数列的公比，且成等差数列，则．3．函数的值域为．4．已知，，则．5．已知数列满足：为正整数，如果，则5．\n6．在△中，角的对边长满足，且，则．7．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．8．设是方程的三个根，则的值为－5．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．解在已知等式两边同时除以，得，所以．------------------------------------------4分令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以.------------------------------------------8分所以,即.------------------------------------------12分于是，当时,，因此,------------------------------------------16分10．已知正实数满足，且，求的最小值．\n解令，，则．----------------------------------------5分令，则，且．------------------------------10分于是．------------------------------15分因为函数在上单调递减，所以．因此，的最小值为．------------------------------------------20分11．设，其中且．若在区间上恒成立，求的取值范围．解．由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增.------------------------------------------5分（1）若，则在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为．在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或．结合得．------------------------------------------10分\n（2）若，则在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，即，解得．易知，所以不符合．------------------------------------------15分综上可知：的取值范围为．------------------------------------------20分2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．函数的值域为________________．2．已知，，则_______________．3．已知数列满足：为正整数，如果，则．4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为．5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为_______________．6．在△中，，．设是△的内心，若\n，则的值为_______________．7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为_______________．8．设表示不超过的最大整数，则．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．10．已知正实数满足，且，求的取值范围．\n11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．（1）当且时，求△的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点．2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．函数的值域为．2．已知，，则．3．已知数列满足：为正整数，\n如果，则5．4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为185．5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为．6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为．8．设表示不超过的最大整数，则2012．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．解在已知等式两边同时除以，得，所以．------------------------------------------4分令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以.------------------------------------------8分\n所以,即.------------------------------------------12分于是，当时,，因此,------------------------------------------16分10．已知正实数满足，且，求的取值范围．解令，，则．----------------------------------------5分令，则，且．------------------------------10分于是．------------------------------15分因为函数在上单调递减，所以．又，所以．--------------------------------------20分11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．（1）当且时，求△的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点．\n解所在直线的方程为，其中，代入中，得，设，则有，从而．则．所在直线的方程为，其中，同理可得．------------------------------------------5分（1）当时，，，，，．又，故，于是△的面积，当且仅当时等号成立．所以，△的面积的最小值为.------------------------------------------10分（2），所在直线的方程为，即．------------------------------------------15分又，即，代入上式，得\n，即．当时，有，即为方程的一组解，所以直线恒过定点．------------------------------------------20分\n\n\n\n\n\n\n2012年上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.如图,正六边形的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是.2.已知正整数满足:,则的最小可能值是.3.若，,，则.4．已知关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是.5．如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知，，则.6．方程的非负整数解.7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是.（用数字作答）8．数列定义如下：.若，则正整数的最小值为.\n二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为．求的表达式，并写出x的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数，求函数的最小值．11．（本题满分16分）正实数满足，求证：（1）；（2）．\n12．（本题满分16分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：（a）；（b）A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求的值；（2）求证：．\n2012年上海市高中数学竞赛答案1、2、923、114、5、6、7、8、40259．解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得．①…………………（2分）在△OBC中，由余弦定理，所以，②由①，②得．③…………………（5分）所以，故，所以．…………………（10分）由③可得，，故．因为，结合②，③可得\n，解得（结合）．综上所述，，．…………………（14分）10．解．当时，，此时，且当时不等式等号成立，故．…………………（6分）当时，，此时“耐克”函数在内是递减，故此时．综上所述，…………………（14分）11．证（1）记，由平均不等式．…………………（4分）于是，所以，而，所以，即，从而．…………………（10分）\n（2）又因为，所以，故．…………………（16分）12．解（1）设集合，且A满足（a），（b）．则．由于不满足（b），故．又都不满足（b），故．而集合满足（a），（b），所以．…………………（6分）（2）首先证明．①事实上，若，满足（a），（b），且A的元素个数为．令，由于，故．又，所以，集合，且B满足（a），（b）．从而．…………………（10分）其次证明：．②事实上，设满足（a），（b），且A的元素个数为．令，由于，所以，且．而\n，，从而B满足（a），（b），于是．…………………（14分）由①，②得．③反复利用②，③可得．…………………（16分）2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合，，则=（）A、B、C、D、2、正方体中与截面所成的角是（）A、B、C、D、3、已知，，则“”是“在上恒成立”的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，设,，则=（）A、B、C、D、25、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则\n的最大值为（）A、B、C、D、6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（）A、B、C、D、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形的边长为3，为的中点，与相交于，则的值是．8、的展开式中的常数项是．（用具体数字作答）9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为．11、已知锐角满足，则的最大值是．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“”的概率是．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数，（I）求函数在上的最大值与最小值；（II）若实数使得对任意恒成立，求的值．\n14、已知，满足，（I）求的最小值；（II）当取最小值时，求的最大值．15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和的中点，求直线在轴的截距的取值范围．\n16、设函数在上的最大值为（）．（I）求数列的通项公式；（II）求证：对任何正整数，都有成立；（III）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立．2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C2、A3、A4、B5、B6、D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、8、9、010、1411、12、三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、解：（I）由条件知，（5分）由知，，于是所以时，有最小值；当时，有最大值．（10分）\n（II）由条件可知对任意的恒成立，∴∴∴,（15分）由知或。若时，则由知，这与矛盾！若，则（舍去），，解得，所以，．（20分）14、解：（I）因为（5分），等号成立的条件是，当时，可取最小值2．（10分）（II）当取最小值时，，从而，即，令，则（15分）从而或者（舍去）故在单减，所以在时，有最大值．（20分）15、解：将直线与双曲线方程联立得化简得①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5分）\n由题设知方程①有两负根，因此，解得．（10分）设，则有，故的中点为，所以直线方程为，其在轴的截距，（15分）当时，，其取值范围是所以的取值范围是．（20分）16、解：（I），当时，由知或者，（5分）当时，，又，，故；当时，，又，，故；当时，，∵时，；时，；∴在处取得最大值，即综上所述，．（10分）（II）当时，欲证，只需证明\n∵所以，当时，都有成立．（15分）（III）当时，结论显然成立；当时，由（II）知．所以，对任意正整数，都有成立．（20分）\n\n\n\n\n\n\n\n