2004年南昌市高中数学竞赛试题答案 5页

2004年南昌市高中数学竞赛试题解答一、选择题（每小题6分，共36分）1.①（高一）化简的结果是（　D　）　　A、B、　C、　D、②（高二）用一张平面截一个正方体,对于{三角形,四边形,五边形,六边形}四种形状中,截口形状可能出现的有（D）A、1种　　B、2种　　C、3种D、4种2.①（高一）的三条边长,若三顶点对于某定点O的位置向量为且,则点O是的（B　）A、外心　　B、内心　　C、重心　　D、垂心②（高二）某人投掷二次骰子先后得到点数,用来作为一元二次方程的系数,则使方程有实根的概率是（　D　）　　　A、　　B、　　C、　　D、3.①（高一）下面四式:①,②,③,④,其中正确的有:(D)　　　A、1个　　B、2个　　C、3个　　D、4个　　　②（高二）用与圆柱中轴成角的平面截圆柱所得的截面是一个椭圆,则这个椭圆的离心率是（　C　）　　　A、　　B、　　C、　　D、4.满足的最小正整数n是（　C　）　　　A、10　　B、11　　C、12　　D、135.设对每个实数,的值取中的最小值,则的最大值是(B)A、4　　B、9　　C、16D、25　　6.的正整数解的组数为（　D　）A、3组　　B、9组　　C、27组　　D、45组二、填空题（每小题9分，共54分）5\n1.①（高一）中,,且,若,则。　②（高二）边长为2的正方形中,是的中点,现将沿折起,使重合,组成一个四面体,则此四面体的体积是。2.①（高一）函数与,图象的交点有　　17　　　个。②（高二）设集合,则在平面直角坐标系中,方程所表示的椭圆个数为　　1176　　　。3.若正整数使与都是平方数,则=　26896或250000　　　　。4.从集合中取出5个不同的数,组成递增的等差数列,这种数列的个数是　　　　98　。5、设,记,则=。　6.若且是其各位数字和的倍数,则这种有　　33　　　个。三、（20分）①（高一）锐角中,若的和等于中的某个值,证明:必可按某顺序组成一个等差数列。证明:设...①据余弦定理:...②...③由②③得,...④由①④得,B为锐角则5\n因此,成等差数列　　　②（高二）设，，证明：。　　证明:据对称性,不妨设为证...①只要证...②==故②成立,从而①成立四、（20分）过内的任意一点P，分别作的垂线，若交直线于，交直线于，交直线于，求证：三点共线。证明:利用以下性质:平面上若一个角的两边与另一个角的两边对应垂直,则这两个角相等或互补,因此由可得且用记号表示三角形面积,则5\n据梅涅劳斯逆定理,三点共线。五、（20分）若不定方程试求所有的n使得5an是完全平方数，并确定此时的平方表达式。证明:易知对任一非负整数,方程,恰有个非负整解,因此方程...①的非负整解()的个数为当时,而令...②设则++...=...③对于,列出5当时,,则为平方数而其他情况有:5\n它们皆不是平方数。因此,综上知：使为平方数的自然数n,只有且此时5