2012年霍邱县高中数学竞赛试题答案 5页

2012年霍邱县高中数学竞赛试题（参考答案）第Ⅰ卷答题卡：一．选择题（本题满分36分，每小题6分）题号123456答案DCBCAB二．填空题（本题满分48分，每小题8分）7．8．9．10．11．212．三．解答题（本大题共4小题，共66分）要求必须写出必要的演算或证明的过程）13．（本题满分15分）设．若时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且．…………………………5分ⅰ）若有实根，则，则或①在区间有即，将代入，解出②综合①②得，这时，且．…………………………10分ⅱ）若无实根，则，将代入解得．综上上得：．…………………………13分所以，单调递减故最小值为，最大值为．…………………………15分高中数学竞赛试卷第5页共5页\n14．（本题满分15分）已知整数数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求出所有的正整数，使得．解：(1)设数列前6项的公差为d，则a5=－1+2d，a6=－1+3d，d为整数.又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d－1)2=4(2d－1)，即9d2－14d+5=0，得d=1.…………………4分当n≤6时，an=n－4，由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，所以，当n≥5时，an=2n-5.故an=…………………7分（注：也可写成等）(2)由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…当m=1时等式成立，即－3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；当m=3时等式成立，即－1+0+1=0；当m=2、4时等式不成立；…………………10分当m≥5时，amam+1am+2=23m-12，am+am+1+am+2=2m-5(23－1)=7×2m-5，7×2m-5≠23m-12，所以am+am+1+am+2≠amam+1am+2.故所求m=1，或m=3．…………………15分高中数学竞赛试卷第5页共5页\n15．（本题满分18分）若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．解法一：显然k＞0．(＋)2≤k2(2x＋y)Þ(2k2－1)x－2＋(k2－1)y≥0对于x，y＞0恒成立．…………………4分不等式两边同除以，令t＝＞0，则得f(t)＝(2k2－1)t2－2t＋(k2－1)≥0对一切t＞0恒成立．…………………8分当2k2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k2－1＞0．…………………12分此时当t＝时，f(t)取得最小值－＋k2－1＝＝．当2k2－1＞0且2k2－3≥0，即k≥时，不等式恒成立，且当x＝4y＞0时等号成立．∴k∈[，＋∞)．…………………18分解法二：显然k＞0，故k2≥＝．令t＝＞0，则k2≥＝(1＋)．令u＝4t＋1＞1，则t＝．只要求s(u)＝的最大值．s(u)＝≤＝2，于是，(1＋)≤(1＋2)＝．∴k2≥，即k≥时，不等式恒成立(当x＝4y＞0时等号成立)．又：令s(t)＝，则s¢(t)＝＝，t＞0时有驻点t＝．且在0＜t＜时，s¢(t)＞0，在t＞时，s¢(t)＜0，即s(t)在t＝时取得最大值2，此时有k2≥(1＋s())＝．解法三：由Cauchy不等式，(＋)2≤(＋1)(2x＋y)．即(＋)≤对一切正实数x，y成立．当k＜时，取x＝，y＝1，有＋＝，而k＝k＜×＝．即不等式不能恒成立．高中数学竞赛试卷第5页共5页\n而当k≥时，由于对一切正实数x，y，都有＋≤≤k，故不等式恒成立．（注：解法二、三、酌情给分）16．（本题满分18分）如图,已知两点、，的内切圆的圆心在直线上移动。(1)求点的轨迹方程；(2).过点作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于、两点，且=0，判断直线是否过定点，若过定点，请求出定点的坐标，若不过定点，请说明理由。高中数学竞赛试卷第5页共5页\n高中数学竞赛试卷第5页共5页