2008年浙江省高中数学竞赛试题及答案 8页

2008年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题满分36分，每小题6分）1．已知集合，则下列正确的是（）A．B.C.D.2．当时，，则下列大小关系正确的是（）A．B.C.D.3．设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为（）A．；B.；C.；D.4．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则△ABC一定为()A．直角三角形；B.等边三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形5．已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是（）A．B.2C.D.46．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（）A.B.C.3D.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．＝。8．设为非负实数，满足，则\n＝。9．设，则。10.设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是。11．已知，直线与的交点在直线上，则。12．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上。AD的长度的最小值为。三、解答题（本题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）13．已知椭圆C：（），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求之值；（2）设点A坐标为(6,0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。14．求解不等式。15．设非负等差数列的公差，记为数列的前n项和，证明：（1）若，且，则；（2）若则。2008年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题1．解：因为，所以有\n正确答案为A。2．解：当时，，，。又因为。所以。选C。3．解：函数的定义域为。当时，应有，即；当时，应有，即。因此，选B。4．解：因为，所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。因此选D。5．解：由已知条件可知，，函数图象与轴交点的纵坐标为。令，则。因此选A。6．解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0),B(0,1,0),,，P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。因此选B。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．解：根据题意要求，，。于是有。因此。因此答案为1。\n8．解：显然，由于，有。于是有，故。9．解：。10.解：根据题意，设两个相异的实根为，且，则，。于是有，也即有。故有，即取值范围为。11．解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程，的两个根，即为方程的两个根。因此，即0。12．解：设，作△ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上。在△DGB中，\n当时，即。三、解答题（本题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）13.解：（1）设c为椭圆的焦半径，则。于是有a＝5，b＝3。（2）解法一：设B点坐标为，P点坐标为。于是有因为，所以有。(A1)又因为ABP为等腰直角三角形，所以有AB=AP，即。(A2)由（A1）推出，代入（A2），得从而有，即（不合题意，舍去）或。代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程解法二：设,，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为。设AB与x轴正方向夹角为，B点的参数表示为，\nP点的参数表示为.从上面两式，得到。又由于B点在椭圆上，可得。此即为P点的轨迹方程。14.解：（I）情形。此时不等式为。于是有（1）。因此当时，有；当时，有；当时，有；当时，空集。（2）。此时有当时，有；当时，有；当时，有；当时，。（II）情形。此时不等式为。于是有（3）。因此当时，有；当时，有；当时，空集。（4）。\n因此当时，有；当时，空集。综合（1）－（4）可得当时，有；当时，有；当时，。15.解：设非负等差数列的首项为，公差为。（1）因为，所以，，。从而有。因为，所以有于是。（2）又因为，所以有\n四、附加题（本大题满分50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。选考B卷的学生选做本大题，不计入总分。）16．解：根据已知条件，不妨设k＝1，即2008位数被101整除，只要能证明2008位数能被101整除。事实上，，从而有，即有。因为，所以。利用上述方法依次类推可以得到对一切，2008位数均能被101整除。17.解：分法是和谐的充分必要条件是最多一堆石子的个数不超过k。下面设五堆石子的个数分别为a,b,c,d,e（其中）。“必要性”的证明：若分法是和谐的，则把a所对应的石子取完至少要取a次，这a次每次都要取走3个石子。如果，则，即把a所对应的一堆取完时，需取走的石子多于五堆石子的总数。矛盾。因此最多一堆石子的个数不能超过k。“充分性”的证明：（数学归纳法）（1）当时，满足“”的分法只能是1，1，1，0，0。显然这样的分法是和谐的。（2）假设时，满足“”的分法是和谐的。（3）当时，若，且分法a,b,c,d,e是不和谐的，则分法a－1,b－1,c－1,d,e也是不和谐的。由（2）及必要性的证明，可知。因为，所以。若，则有。这与矛盾。若，则有，从而有，于是有，这是不可能的。矛盾。因此当时，分法a,b,c,d,e是和谐的。