2016年南昌市高中数学竞赛试题及答案 6页

-2016年南昌市高中数学竞赛试题及答案（注意：题号后凡标有“高一”的，为高一学生解答题；凡标有“高二”的，为高二学生解答题；凡未作以上标志的，则为高一、高二学生共同解答题）一、填空题（每题10分，共80分）----3513481.（高一）化简621答案：.2的结果是．22----解：134823143123,512342331,3122621.33123，故原式222（高二）设ab0，若函数f1xx22ax4b与f2xx24ax2b具有相同的最小值u，函数f3xx22bx4a与f4xx24bx2a具有相同的最大值v，则uv．答案：0.解：f1x24ba24ba2,f2x22b4a22b4a2,xax2a故由4ba2u2b4a2，得2b3a2,,,,①f3xxb24ab24ab2,f4xx2b22a4b22a4b2,故由4ab2v2a4b2，得2a3b2,,,,②由①②得，2ba3b2a2,所以ba0,,,,③，或者ba2,,,,④3若ba2，由②④，2b23b2，即3b1230，矛盾！33故只有ba0，此时，2uv6b5a26a5b2ab5b5a60.2.（高一）若k个连续正整数之和为2016，则k的最大值是．答案：63.解：设2016n1n2nkknkk1，则2k2nk14032，注意403226327，且k2nk1，为使k值最大，当选取k,n---\n-使得4032的较小因子尽可能去取得最大，由于40326364，可令k63,2nk164（此时对应于n0）．（高二）p是椭圆x2y21上位于第一象限的一点，若p与两焦点的连线互相垂直，259则点p的坐标为．答案：57,9.44解：椭圆两焦点为F14,0,F24,0，若点P坐标为Px,y,x0,y0，则x2y21，以及xyxy1，解得x57,y9.25944443.（高一）三角形的边长为正整数，周长为24，这种三角形共有个．答案：12个．解：设三角形的三条边长为a,b,c，且abc，abc24，则a8，再由bca，得2aabc24，所以a12,即a11，于是8a11,在a11时，bc13，于是b,c11,2,10,3,9,4,8,5,7,6；在a10时，bc14，有b,c10,4,9,5,8,6,7,7；在a9时，bc15，有b,c9,6,8,7；在a8时，bc16，有b,c8,8；共计12种情形．（高二）锐角三角形ABC中，tan9Atan9Btan9C的最小值是．答案：2433.解：记tanAx,tanBy,tanCz，则xyzxyz,xyzxyz33xyz,两边立方，得xyz33，当且仅当xyz3，x9y9z93393xyz33.xyz2434.（高一）若为锐角，使得sin4a4,cos5a15，则a．6a16a1答案：24.22解：据1sin2cos24a45a15，得5a26a240，解得6a16a1---\n-a2及24，若a2，则cos0，不合题意，故只有a24.（高二）单位正方体（各棱长皆为1的正方体）中，将每一对相邻的中心连接，得到一个具有六个顶点的多面体T，其体积是．答案：1.6解：如图，E,F分别是C1A1及C1B的中点，则EF1A1B2,自E作平行于BCC1B122的平面，将多面体分成两个全等的四棱锥，其底面面积为1，高为1.21Sh2111.22VT332265.如果一个单调递增数列an的每一项皆是由1,2,3,4,5排成的没有重复数字的五位数，则a100．答案：51342.解：1,2,3,4,5总共可排出120个数，其中5开头的有24个，它们中最小的数51234是倒数第24个数，即全体这种五位数的自小到大第97个数，5开头的数后四位均由1,2,3,4排成，这四个数码排成的数自小到大顺次是1234,1243,1324，所以a10051342.6.从1,3,,13中取出k个不同的数，使得取出的数中，任两个数的差，既不等于5，也不等于8，则k的最大值是．答案：6．解：将1,2,,13排列于一个圆上，使得每相邻两数之差，或者为5，或者为8，然后选取一组互不相邻的数，至多能取到六个数，例如取1,4,7,10,13,3．（若取7个数，则必有两数在圆周上相邻），因此kmax6.111．7.满足的正整数解x,y的组数为----xy2016---\n-答案：165.解：由条件得x2016y20162016210103472，由于2103472有1014121165个正因子，对于每个正因子d，由x2016d可以得到一个x的值，而当x的值确定后，y的值便随之确定，于是共有165组解．8.集合M是集合A1,2,,100的子集，且M中至少含有一个平方数或者立方数，则这种子集M的个数是．答案：2882121.解：集合A1,2,,100中的平方数或立方数构成集合B1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81,100，其中有12个元素，从A中挖去集合B后剩下的元素构成集合C，则C中含有88个元素，由于C的子集有288个，B的非空子集有2121个，集M可表示为MB0C0形式，其中B0是B的任一非空子集，C0是C的任一子集，因此M的个数为2882121.二、解答题9.（20分）集合A与B分别由满足如下条件的所有五位数组成：对于集合A的每个元素x，其各位数码之和加1或减1之后是5的倍数；对于集合B的每个元素y，其各位数码之和或者是5的倍数，或者减2之后是5的倍数．证明：AB.（即这两个集合的元素个数相等．）证：对于任一五位数aa1a2a3a4a5，其中1a19,0aj9,j2,3,4,5，a的各位数码之和记为Sa；对于集合A中的任意一数xxxxxx，令x与五为数yyyyyy5相对应，其中每个123451224yj满足等式：x1y110,xjyj9,j2,3,4,5.则1y9,0yj9,j2,3,4,5，且SxSy46,1据此可知，若5|Sx1，则5|Sy，若5|Sx1，则5|Sy2，----于是当xA时，必有yB，并且不同的x对应于不同的y．反过来也是如此，即这种对---\n-应是一一对应，从而这两个集合的元素个数相等．10.（25分）四边形ABCD内接于以AC为直径的圆，M,N分别是边AB,CD上的点，且DMAC,BNAC．证明：AC,BD,MN三线共点．证：设DM,BN分别交AC于E,F，对角线AC,BD交于P，只要证M,N,P三点共线．连MP,NP，由△PDE∽△PBF，得DEPE,,,,①BFPF又由△AME∽△BCF，△DAE∽CNF，得MEAE,AEDE,相乘得CFBFNFCFMEDE②NF,,,,BFMEPEPEM∽△PFN，将①②相乘得，NF，因此直角三角形△PF所以，MPENPF，故M,N,P三点共线，从而AC,BD,MN三线共点．11.如果实数集合A的全体元素可以排成一个等比数列，就称A是一个几何集，例如无穷集合A3,15,5,就是一个几何集．试确定，是否存在7个几何集A1,A2,,A7，使得它们的并集元素中，包含有前50个正整数，即MA1A2A7，其中M1,2,,50．证明你的结论．解：不存在．首先证明，任一个几何集之中至多含有两个质数．反证法，假若某个几何集G的元素中含有三个质数x,y,z，其中xyz，若其首项为a，公比为q，记xaqm,yaqn,zaqk,其中正整数mnk．---\n-11knnmqnm,zynmzkn,即有则yqkn,由此qyz.xyxyxy所以，ykmxknznm，这与y是质数矛盾．于是，7个几何集的并集A1,A2,,A7中，至多含有14个质数，而M1,2,,50中含有15个质数2,3,5,7,,47，因此满足条件的7个几何集不存在．---