2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案 9页

2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分）1.曲线为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（）．（A）（B）（C）（D）答案：（A）解若，则曲线表示曲线是三条交于原点的直线．反之，由于直线和直线交于原点，所以曲线要为平面上交于一点的直线，则直线过原点，即2.函数的最小正周期为（）．（A）（B）（C）（D）答案：（C）解化简得，，则函数的最小正周期为3.设双曲线的左右焦点分别为，点是过且倾斜角为的直线与双曲线的一个交点．若△为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）．（A）（B）（C）（D）答案；(D)解因为，要使△为等腰直角三角形，则必在双曲线的左支上，且，从而，由勾股定理得解得4.已知正三棱锥-，底面边长为1，侧棱为2．若过直线的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）答案：（D）9\n解：设截面与棱交于点，由已知条件可知，点为棱的中点．取的中点，连接，则为截面与底面所成二面角的平面角，设为．在△中，，所以中线在△应用余弦定理得5.已知，函数若对任意，有，则的取值范围为（）（A）（B）（C）（D）答案：（D）解：由题设，，即令，，则由此即知6.已知向量垂直，且若，则的最小值为（）（A）（B）（C）（D）答案：（B）解：用数形结合方法求解，作正方形，连对角线，则向量等于向量（为对角线上一点）．向量等于向量（为上一点，）．因为，所以由几何意义可知的最小值为的值，即等于9\n7.设集合，则集合的元素个数为（）（A）（B）（C）（D）答案：（B）解：由得，从而这样同理，所以可设因此，原式等价于解得又与一一对应，则集合中元素的个数为1.8.记为不超过的最大整数．若集合，则集合所表示的平面区域的面积为（）．（A）（B）（C）（D）答案：（A）解：当时，，所以，即；当时，，所以，即；当时，，所以，即画出满足上述条件的区域，可知集合所表示的平面区域的面积为二、填空题（本大题共7小题，12题9分，其余各题7分，满分51分）9.设是定义在上的奇函数．若对任意实数有，且当时，，则．答案：解：由得，所以周期为4，因此10.已知数列满足：则．答案：解：由题设递推关系，我们有9\n从而，，注意到．我们有11.设．方程恰有三个不同的根，则．答案：解：原方程可变形为，要使方程恰好有三个不同的根，则，此时方程恰好有三个不同的根，所以12.已知两个底面重合的正四面体-和-，分别为△与△的重心．记．若点满足则实数，，．答案：解设点在面上的投影为，则所以又所以同理，由得，所以13.在△中，，的中点为．若长度为的线段（在的左侧）在直线上滑动，则的最小值为．答案：解：由已知得，由正弦定理，得过作直线平行，交于点，9\n则，注意到为△的中位线，则，所以为平行四边形，即有这样问题就转化为在直线上找一点，使最小．作关于的对称点，则注意到则14.若关于的方程组有实数解，则正实数的取值范围为．答案：．解：两式平分后相加，消去，得反之，当时，也存在满足此方程．因此，正实数的取值范围为15.已知为互不相等的整数，则的最小值为．答案：解：，其最小值为三、解答题（本大题共3小题，16题15分，17，18题每题18分，满分51分）16.设函数已知对于任意的若满足，，则求正实数的最大值．9\n解由于二次函数的对称轴为，故题设条件等价于对任意的，均有即对任意的，均有注意到当且仅当时取等号，故所以，正实数的最大值为17.已知椭圆经过点，离心率为．过椭圆的右焦点作斜率为的直线，交椭圆于两点，记的斜率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求实数解（1）由题设条件，得所以椭圆方程为（2）椭圆的右焦点坐标为若时，则此时．故直线的方程为和椭圆方程联立，并消去，得9\n设，则由韦达定理，得注意到可得18.给定数列，证明：存在唯一分解，其中数列非负，单调不减，并且证我们只需证明对任意的正整数，满足①的存在且唯一．下面用数学归纳法证明之．（1）当时，，这样有或者若则．若，则．此时命题成立．（2）假设当时，命题成立，则当时，①等价于这样有或进一步9\n若，则即若，则，即故当时，命题成立．（3）由数学归纳法可知，对任意的正整数，命题均成立．从而原命题得证．四、附加题（本大题共2小题，每题25分，满分50分）19.设集合证明：（注：表示集合中的所有元素的倒数之和）证在位正整数中，各位上的数码不含数字的共有个，其中首位数字为的各有个，所以，所有不含数字的位数的倒数和小于所以，20.设正整数，对格点链中的个结点用红、黄、蓝三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图所示．若对剩余的个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数．解对格点链中的个结点用红、黄、蓝三种颜色染色，其中左端点染红色与黄色，设右端点染色为如下图所示．9\n记（或），时的着色数目为；记（或）时的者色数目为；我们注意到：（1）若右端没有约束时，每增加一个格子都有3种不同的着色方法，则（2）由对称性，即将图形上下翻转，并且颜色和互换，可知（3）考虑相互的递推特征，则由上三式知，即为问题所求的不同的染色方法数．9