2011年浙江省高中数学竞赛试题解答 5页

2011年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.已知，则可化简为（D）A．B.C.D.解答：因为，所以=。正确答案为D。2．如果复数的模为4，则实数a的值为（C）A.2B.C.D.解答：由题意得。正确答案为C。3.设A，B为两个互不相同的集合，命题P：，命题q：或，则p是q的（B）A.充分且必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。4.过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为（C）A.B.C.D.解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为代入椭圆方程得。正确答案为C。5.函数，则该函数为（A）A.单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数C.单调增加函数、偶函数D.单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。6.设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（A）\n223122122正视图侧视图俯视图（圆和正方形）A.4+B.4+C.4+D.4+解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。7．某程序框图如右图所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是则数组中的（B）A．64B．32C．16D．8答案经计算。正确答案为B。8.在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（A）A.4B.8C.16D.32解答：平面区域的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足，即有由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为A。9.已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（C）\nA.BC.D.解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C。10.已知，则的解为（C）A.或B.或C.或D.解答：不等式的左端看成的一次函数，由或。正确答案为C。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.函数的最小正周期为______4____。解答：最小正周期为4。12.已知等差数列前15项的和=30，则=____6_______.解答：由，而。13.向量，，，则的取值范围为[1，3]。解答：=，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。14.直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为__。解答：因为平面ABC⊥平面，AD⊥BC，所以AD⊥平面，所以AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为。\n15．设为实数，则_____4________。解答：16.马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种。（用组合数符号表示）解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有种关灯方法。17.设为整数，且，则_3或57_。解答：将代入得到，因为都是整数，所以前两个方程组无解；后两个方程组解得。所以3或57。三、解答题（本大题共3小题，每小题17分，共计51分）18.设，求在上的最大值和最小值。解答：当当----5分由此可知。----------------------------------10分当；当；当。----------------------------------17分19.给定两个数列，满足，，。证明对于任意的自然数n，都存在自然数，使得。\n解答：由已知得到：为等比数列，首项为2，公比为2，所以。-----------------5分又由已知，由，所以取即可。-------------------17分20.已知椭圆，过其左焦点作一条直线交椭圆于A，B两点，D为右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过，求a的值。解答：。设，由得----10分设。由M、A、D共线。又，得=整理得。--------------17分