2000年全国高中数学联合竞赛试题答案 57页

2000年全国高中数学联合竞赛试题答案1.答案：D由得x=2，故A={2}；由得，故B={-1，2}.所以=φ.2．答案：D由，得从而有∈………………①又因为，所以又有∈…………②如上图所示，是①、②同时成立的公共部分为.3．答案：C如图所示，设BD=t，则OD=t-1，从而B（t-1，t）满足方程，可以得到t=,所以等边三角形，ΔABC的面积是.4．答案：A由题意知pq=a2，2b=p+c,2c=q+b，bc=≥=pq=a2.因为p≠q，故bc>a2，方程的判别式Δ=4a2-4bc<0，因此，方程无实数根.5．答案：B设整点坐标(m,n)，则它到直线25x-15y+12=0的距离为由于m,n∈Z，故5(5m-3n)是5的倍数，只有当m=n=-1，时5(5m-3n)=-10与12的和的绝对值最小，其值为2，从而所求的最小值为.6．答案：B由知，ω，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6，ω7，ω8，ω9，ω10(=1)是1的10个10次方根.从而有(x-ω)(x-ω2)(x-ω3)(x-ω4)(x-ω5)(x-ω6)(x-ω7)(x-ω8)(x-ω9)(x-ω10)=x10-1………①forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n由因ω2，ω4，ω6，ω8，ω10是1的5个5次方根，从而有(x-ω2)(x-ω4)(x-ω6)(x-ω8)(x-ω10)=x5-1………②①÷②得(x-ω)(x-ω3)(x-ω5)(x-ω7)(x-ω9)=x5+1………③③的两边同除以(x-ω5)=x+1，得(x-ω)(x-ω3)(x-ω7)(x-ω9)=x4-x3+x2-x+1.所以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是x4-x3+x2-x+1=0.二、填空题（满分54分，每小题9分）7．答案：-20°sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20°故rcsin(sin2000°)=rcsin(-sin20°)=-rcsin(sin20°)=-20°8．答案：18由二项式定理知，，因此==18.9．答案：=10．答案：90°如图所示，由c2+ac-a2=0，=0则∠ABF=90°.11．答案：[解]如图，设球心为O，半径为r,体积为V，面BCD的中心为O1，棱BC的中心点为E，则AO1===,由OB=O1O+O1B=+O1B得OB+故OB=于是r=OE===V=r==.12．答案：28中恰有2个不中数字时，能组成C=6个不中数字forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n中恰有3个不中数字时，能组成C+=12+4=16个不中数字中恰有4个不中数字时，能组成P=6个不中数字所以，符合要求的数字共有6+16+6=28个13．答案：解由已知，对任何nN,有f(n)====又因n++34+34=50,故对任何nN,有f(n)=由于f(8)=,故f(n)的最大值为14．答案：所求区间为[1,3]或[-2-].解化三种情况讨论区间[a,b].(1)若0a0，方程有两个不相等的实数根．由M有2个元素，得集合M有22=4个子集．2．答】（B）【解】只有命题1对．3．答】（D）【解】y=sin|x|不是周期函数．y=cos|x|=cosx以2为周期．y=|ctgx|在（0，）上单调递减．只有y=lg|sinx|满足全部条件．4．（D）【解】根据题设，△ABC共有两类如图．易得k=或024,4x+5y<22.令6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=,y=.所以2x-3y==0，即2x>3y．也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．．【解】故．从而．8．．【解】由3z1-2z2==可得．本题也可设三角形式进行运9．．【解】作正方体的截面BB1D1D，则A1C1⊥面BB1D1D．设A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为垂足，则OH为A1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半，即OH=．10.．【解】等价于或．即或．此时或或forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n．∴解为x>4或00．由此得a12(a1+2d)2=(a1+d)4化简得2a12+4a1d+d2=0解得d=()a1.………而<0，故a1<0．若d=()a1，则；若d=()a1，则；…………………………………………10分forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n但存在，故|q|<1．于是不可能．从而．所以a1=，d=()a1=()()=．……………………20分14．⑴【解】由消去y得，x2+2a2x+2a2m-a2=0．①设f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，问题⑴转化为方程①在x∈(-a，a)上有唯一解或等根．只须讨论以下三种情况：1°Δ=0得m=．此时xp=-a2，当且仅当-a<-a20，从而取值最大，此时yp=2，∴S=a．当m=时，xp=-a2，yp=，此时S=a．下面比较a与a的大小：令a=a，得a=.故当0R2．R1R3R22°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB：．R3R4R1R2显然R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD：．若记，．则S1、S2为定值．于是．只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R40，得x<－1或x>3．在x∈(－∞，－1)时，u=x2－2x－3单调减，f(x)单调增；在x∈(3，+∞)时，u=x2－2x－3单调增，f(x)单调减．故选A2．解：令x+5=14cosθ，y－12=14sinθ，则x2+y2=196+28(5cosθ－12sinθ)+169=365+364sin(θ+φ)≥1．选B．(亦可用几何意义解：圆上点到原点距离平方的最小值)3．解：f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)；f(x)－f(－x)=－－+=－x=0．即f(x)是偶函数．选A．4．解：直线与椭圆的交线长=5．直线方程3x+4y－12=0．设点P(4cosθ，3sinθ)．点P与直线的距离d=，当0≤θ≤时，d≤(－1)，SABC≤6(－1)<3．即此时没有三角形面积=3；当<θ<2π时，d≤(+1)，SABC≤6(+1)．即此时有2个三角形面积=3．选B．5．解：不妨设b1≤b2≤…≤b50，在a1，a2，…，a100的每两个数间有1个空档，共99个空档，其中任选49个空档插入1条竖杠，把a1，a2，…，a100分成50段，从前向后的第i段中的数映射到bi，即满足要求．共有C种插法，选D．6．解：作平面y=h(0≤h≤4)．与图形⑴交于一个圆环，圆环面积=π(42－x2)=π(16－4h)；与图⑵交得一个圆环，面积=π(16－h2)－π(4－(h－2)2)=π(16－h2－(－h2+4h))=π(16－4h)．说明该平面与两个旋转体截得的面积相等．由祖暅原理知，V1=V2，选C．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．解：由余弦定理知|Z1+Z2|==；|Z1－Z2|==，∴==．8．解：前三项系数为1，n，n(n－1)，于是得n=1+n(n－1)，解得，n=8，和n=1(舍去)．当n=8时，Tr+1=C()rx=C()rx，当r=0，4，8时x的指数为整数，∴共有3个．9．解：同在某一侧面上：除P1外另外5点中任取3点与P1共4点组成一个四点组，有3C=30组，每条侧棱上三点与对棱中点：3组．∴共有33组．10．解：由后式，f(x+5)≥f(x+4)+1≥f(x+3)+2≥f(x+2)+3≥f(x+1)+4≥f(x)+5．比较前式得f(x+1)=f(x)+1．∴f(x)=x对一切x∈N*成立，∴对于x∈N*，g(x)=f(x)+1－x=x+1－x=1forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n∴g(2002)=1．11．解：x>－2y，x>2y，x2－4y2=4．由对称性，只考虑x>0，y>0的情况．令x=2secθ，y=tanθ，(0<θ<)，u=x－y=表示点(0，2)与点(－cosθ，sinθ)连线的斜率，当直线与单位圆相切时，u最小为．即所求最小值为．(或用判别式法解)12．解：即(cosx－)2≤a2+()2，若(1－)2≤a2+()2，则a2+a－2≥0．∴a≤－2或a≥1，但a<0，故a≤－2．三．解答题(本题满分60分，每小题20分)：13．解：设B(y02－4，y0)，C(y12－4，y1)．则kAB==．kBC==．由kAB·kBC=－1，得(y1+y0)(y0+2)=－1．∴y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0．∴△=(y1+2)2－4(2y1+1)=y12－4y1≥0，∴y1≤0，y1≥4．当y1=0时，得B(－3，－1)，当y1=4时，得B(5，－3)均满足要求，故点C的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．14．解：⑴对P0操作后，每条边变为4条边，共有4×3条边；对P1操作，也是每条边变为4条边，故P2共有42×3条边，即Pk有3×4k条边．S0=1，S1=S0+3×=1+，S2=S1+4×3×=1++；S3=1+++；依此类推，得Sk=1+++…+=1+·=1+[1－()k]=－()k．用数学归纳法易证上式正确．⑵Sn=．15．解：由f(x－4)=f(2－x)，知f(x)关于x=－1对称．于是－=－1．Þb=2a．此时，f(x)有最小值0，∴a－b+c=0．Þc=a．f(x)=ax2+2ax+a．由⑴f(1)=4a≥1．由⑵4a≤1．∴a=c=，b=．f(x)=(x+1)2．若对于x∈[1，m]，f(x+t)－x≤0，Þf(1+t)－1=(t+2)2－1≤0，得－4≤t≤0．f(m+t)－m≤0，Þm2+2(t－1)m+(t+1)2≤0．解得－(t－1)－2≤m≤－(t－1)+2．∴m≤1－t+2≤9．forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n而当t=－4时，f(x－4)－x=(x2－10x+9)=(x－1)(x－9)在x∈[1，9]时，恒有f(x－4)－x≤0成立．∴m的最大值为9．2003年全国高中数学联赛第一试参考答案一、选择题123456CBACDB提示：1.注意到,,故;2.题设方程可化为和,观察图形可知；3.易知直线AB的方程为,因此A,B两点的横坐标满足方程,从而弦AB中点的横坐标为,纵坐标,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=；4.原函数可化为,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当时，y取最大值;5.消去y之后可得：,用基本不等式可求得函数u的最小值;6.可用等积法求得，过程略。二、填空题7..提示：原不等式可以化为:8.4是直角三角形，故的面积为;9.提示：,令,,则只需forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n在（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是,由此推出;10．93提示：由已知得,,又，故,推得,;11．提示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时A1在底面上的射影M为弧AB的中点。由于A1A=A1B=AB=2,,,求得,故所求的高为；12．提示：,三、解答题13．证明：由可得当且仅当a=b=c=d时取等号……5分则……………………………………………………15分因为不能同时相等，所以……………………………………20分14．设,则代入并由复数相等可得forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n即因为A,B,C不共线，所以,可见所给曲线是抛物线段（图略）…………5分AB,BC的中点分别是,；所以DE的方程为……………………………10分联立两式得,得,注意到,所以抛物线与中平行于AC的中位线DE有且只有一个公共点，此点的坐标为,相应的复数为…………………………………………………………15分15．如图建立直角坐标系，设,MN为AA1的中垂线，设P（x,y）是MN上任一点，则|PA|=|PA1|……5分代入推得………10分可得其中,.所以…………15分平方后可化为所求点的集合为椭圆外（含边界）部分。…………20二○○四年全国高中数学联合竞赛试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、解：因方程有重根，故forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n得，于是。故选B。2、解：相当于点（0，b）在椭圆上或它的内部。故选A。3、解：原不等式等价于设解得。即。故选C。4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则由（1）（2）得，，即共线，且，故选C。5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以，。（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有。但当大数为底时，设a>b，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是a987654321forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\nb4，32，14，32，13，213，211，21，211共20种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况。故。综上，。6、解：。C是PA中点，最大，也即最大。此时，，故选D。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、解：，它的最小正周期为，振幅为。由的图像与的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为、宽为的长方形，故它的面积是。8、解：=即。9、解：连结，垂足为E，延长CE交于F，则，连结AE，由对称性知是二面角的平面角。连结AC，设AB=1，则forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n中，，在的补角，。10、解：设，从而是平方数，设为。（负值舍去）11、解：设即故数列是公比为2的等比数列，。。12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为：对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得a=1或a=－7。即对应的切点分别为，而过点M，N，forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而，因此，当时，n次出现的点数之和大于已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。.......5分（Ⅱ）设事件为“第n关过关失败”，则对立事件为“第n关过关成功”。第n关游戏中，基本事件总数为个。第1关：事件所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），过此关的概率为：。第2关：事件所含基本事件数为方程当a分别取2，3，4时的正整数解组数之和。即有（个）。过此关的概率为：。........10分第3关：事件所含基本事件为方程当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。即有（个）。过此关的概率为：。.........15分故连过前三关的概率为：。........20分（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）14、解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为圆S：......5分（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：①forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n与双曲线T：②因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为③（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......15分情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是④或⑤解方程④得，解方程⑤得。综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。......20分15、解：（Ⅰ）设forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n则又故在区间上是增函数。.......5分......10分（Ⅱ）证：....15分，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，......20分2005年全国高中数学联合竞赛试题（一）及参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．解：令，则实数k的最大值为选D.forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n2．解：注意到32+112=130=72+92，由于，则DA2==AB2+BC2+CD2+2（+=，即，只有一个值0，故选A.3．解：如图，连BA1，则AA1=2sin(B+同理原式=选A.4．解：将正方体切去两个正三棱锥A—A′BD与C′—后，得到一个以平行平面A′BD与为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故l为定值.当E′位于中点时，多边形W为正六边形，而当E′移至A′处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为，故S不为定值.选B.5．解：，即，又，方程表示的曲线是椭圆.）……（*）forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n即.曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C.6．解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得，M′中的最大数为[6666]7=[2400]10.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400－2004=396，而[396]10=[1104]7将此数除以74，便得M中的数.故选C.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．解：由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令，取有8．解：∵在（0，+∞）上定义，又，仅当或时，在（0，+∞）上是减函数，结合（*）知.9．解：设，即forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n∵，，又另一方面，当，有，记，由于三点构成单位圆上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有即10．解：，即又，等号当且仅当AD=BC=时成立，这时AB=1，AD⊥面ABC，∴DC=.11．解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标C（）、D（），则CD所在直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为a，则①在上任取一点（6，－5），它到直线的距离为②①、②联立解得12．解：∵方程的非负整数解的个数为而使）的整数解个数为现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为P（k）=.∵2005是形如2abc的数中最小的一个“吉祥数”，且P（1）==1，P（2）==7，P（3）==28，对于四位“吉祥数”1abc，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数，forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n即=28个.∵2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即从而n=65，5n=325.又P（4）=，而∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．证明：（1）由题设得且{严格单调递增，将条件式变形得，两边平方整理得①②①－②得③由③式及可知，对任意为正整数.……………………10分　（2）将①两边配方，得。④记从而④式成立.是完全平方数.……………………20分14．解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有种.…………5分forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设是依次排列于这段弧上的小球号码，则上式取等号当且仅当，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此S最小=2·8=16.…………………………………………………………10分由上知，当每个弧段上的球号{1，，9}确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在1，2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是26种，故所求概率………………………………20分15．解一：过抛物线上点A的切线斜率为切线AB的方程、D的坐标为B（0，－1），D（，0），∴D是线段AB的中点.……………………5分设P（、C）、E（、F（，则由知，;，得.∴EF所在直线方程为：，化简得……①……10分当时，直线CD的方程为：……②forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为：.……15分当时，EF方程为：，CD方程为：，联立解得也在P点轨迹上，因C与A不能重合，.∴所求轨迹方程为…………………………20分解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点.……5分令，则因AD为△ABC的中线，而，∴P是△ABC的重心.……………………………………………………10分设P（、C），因点C异于A，则，故重心P的坐标为消去，得故所求轨迹方程为………………………………20分2006年全国高中数学联赛试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.【答】（C）【解】令，过A作于D。由，推出　,令，代入上式，得forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n，即,也即。从而有。由此可得。2.【答】（B）【解】因为，解得.由解得；或解得，所以的取值范围为.3.【答】（C）【解】　；。要使，则，即。所以数对共有。4.【答】（A）【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则（），，，（）。所以，。因为，所以，由此推出。又，，从而有。5.【答】（A）【解】显然为奇函数，且单调递增。于是若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出，即。6.【答】（B）【解】出现奇数个9的十进制数个数有。又由于以及forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n，从而得。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.【解】　。令，则。因此。即得。　　　　　　　　　　　　　　　　8.【解】依题意，得（）（对任意实数成立）.故的取值范围为。9.【解】由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A，则，即，即（1），又由圆幂定理，（2），而，，A，从而有，。代入（1），（2）得。10.【解】设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为。故应注水＝。　　　　　11.【解】forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n要使等号成立，必须　，即。但是时，不满足原方程。所以是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为1。12.【解】第4次恰好取完所有红球的概率为=0.0434.三.解答题（本题满分60分，每小题20分）13.【证明】因为与的交点为.显然有。…（5分）若为抛物线与直线的一个交点，则.…（10分）记，则，　　　　（13.1）由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数，是正整数.现在对于任意正整数，取，使得与的交点为.…………………（20分）14.【解】（1）首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。若,且使取到最大值，则必有………（5分）(*)事实上，假设（*）不成立，不妨假设。则令，forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n,()有，。将S改写成同时有。于是有。这与S在时取到最大值矛盾。所以必有.因此当取到最大值。……………………（10分）（2）当且时，只有（I）402，402，402，400，400；（II）402，402，401，401，400；（III）402，401，401，401，401；三种情形满足要求。……………………（15分）而后面两种情形是在第一组情形下作，调整下得到的。根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式变大。所以在情形取到最小值。…………………（20分）15.【证明】（１）如果，则，。………………………（5分）（２）如果，由题意，,.则①当时，（）.事实上，当时，,设时成立（为某整数），则对，.②当时，（）.事实上，当时，,设时成立（为某整数），则对，有forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n.注意到当时,总有，即.从而有.由归纳法，推出。……………（15分）（3）当时，记，则对于任意，且。对于任意，,则。所以，。当时，，即。因此。综合（１）（２）（３），我们有。…………………………（20分）2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角A−PB−C的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在△AMC中，由余弦定理得。2.解：令，则有，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立。由于，所以，从而上述不等式等价于。forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n3.解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不等式a−2b+10>0得2b0…(1)，…(2)，…(3)，由此解得。对求导，得，则，，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为…(4)。同理可求得直线l2的方程为…(5)。(4)−(5)得，因为x1≠x2，故有…(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得…(7)，其中，forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n，代入(7)式得2yp=(3−2k)xp+2，而xp=2，得yp=4−2k。又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。15.证明：记，，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令，，，，其中k为任意整数。容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当时，显然成立；当时，因为，而，故对任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当时，显然成立；当x=kπ时，h(x)=h(kπ)=h(kπ−2kπ)=h(−kπ)=−h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当时，，故，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。于是，对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。2008年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1[解]当时，，因此，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n上的最小值为2．2．[解法一]因有两个实根，，故等价于且，即且，解之得．[解法二]（特殊值验证法）令，排除C，令，排除A、B，故选D。[解法三]（根的分布）由题意知的两根在内，令则解之得：3．[解法一]依题意知，的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为　　　　．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有　　　　，　　　　，　　　　，故．[解法二]依题意知，的所有可能值为2，4，6.令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜．forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n由独立性与互不相容性得，，，故．4．[解]设这三个正方体的棱长分别为，则有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．若，则，易知，，得一组解．若，则，．但，，从而或5．若，则无解，若，则无解．此时无解．若，则，有唯一解，．若，则，此时，．故，但，故，此时无解．综上，共有两组解或体积为cm3或cm3．5．[解]若，则解得或若，则由得．①由得．②将②代入得．③由①得，代入③化简得.forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n易知无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或6．[解]设的公比为，则，而　　．因此，只需求的取值范围．因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．[解]由题意知，由得，，因此，，．8．[解]，(1)时，当时取最小值；(2)时，当时取最小值1；(3)时，当时取最小值．forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n又或时，的最小值不能为，故，解得，(舍去)．9．[解法一]用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额．如　　表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二]　设分配给3个学校的名额数分别为，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程　　　　　．的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．10．[解]，即2=，由此得2．令，()，forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n有，故，所以．11．[解法一]由题设条件知，因此有，故．[解法二]令，则，，即，故，得是周期为2的周期函数，所以．12．答12图2[解]如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，答12图1故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）．　　　　　　　　　又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数的图像与直线有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：答13图　　　　　　．[证]的图象与直线的三个交点如答13图所示，且在内相切，其切点为，．…5分由于，，所以，即．…10分因此…15分forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…20分14．解不等式．[解法一]由，且在上为增函数，故原不等式等价于．　　　　　　　　　　　　　　即　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　…5分分组分解　　　，，　　　　　　　　　　　　…10分所以　　　，　　　　　．…15分所以，即或．故原不等式解集为．　…20分[解法二]由，且在上为增函数，故原不等式等价于．　　　　　　　　　　　　　　…5分即，，　…10分令，则不等式为，显然在上为增函数，由此上面不等式等价于forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n，…15分即，解得　(舍去)，故原不等式解集为．　…20分题15图15．如题15图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．[解]设，不妨设．直线的方程:，化简得．又圆心到的距离为1，，…5分故，易知，上式化简得，同理有．　　　　　　　　　　　　　…10分所以，，则．因是抛物线上的点，有，则，．　　　　　　…15分所以　　．当时，上式取等号，此时．因此的最小值为8．…20分2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n1．若函数且，则．【答案】【解析】，……．故．2．已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为．【答案】【解析】设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得．3．在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数．【答案】【解析】由题意知4．使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为．【答案】【解析】设．显然单调递减，则由的最大值，可得．5．椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为．forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n【答案】【解析】设，．由，在椭圆上，有①②得．于是当时，达到最小值．1．若方程仅有一个实根，那么的取值范围是．【答案】或【解析】当且仅当①②③对③由求根公式得，④或．(ⅰ)当时，由③得所以，同为负根．又由④知所以原方程有一个解．(ⅱ)当时，原方程有一个解．(ⅲ)当时，由③得所以，同为正根，且，不合题意，舍去．综上可得或为所求．2．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n【答案】【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为，，，…，(ⅲ)为所求．设第行的第一个数为，则……故．1．某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】27【解析】旅客候车的分布列为候车时间（分）1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题1．（本小题满分14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由消去化简整理得设，，则forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n①………………………………………………4分由消去化简整理得设，，则②………………………………………………8分因为，所以，此时．由得．所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．………14分1．（本小题15分）已知，是实数，方程有两个实根，，数列满足，，(Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）；(Ⅱ)若，，求的前项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以，整理得令，则．所以是公比为的等比数列．数列的首项为：．所以，即．所以．①当时，，，变为．整理得，，．所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．所以．于是数列的通项公式为；………………………5分forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n②当时，，．整理得，．所以，数列成公比为的等比数列，其首项为．所以．于是数列的通项公式为．………10分(Ⅱ)若，，则，此时．由第(Ⅰ)步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以．……………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以，．特征方程的两个根为，．①当时，通项由，得解得．故．………………5分②当时，通项．由，得解得，．故．…………………10分(Ⅱ)同方法一．forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n1．（本小题满分15分）求函数的最大和最小值．【解析】函数的定义域为.因为当时等号成立．故的最小值为．…………5分又由柯西不等式得所以．……………10分由柯西不等式等号成立的条件，得，解得．故当时等号成立．因此的最大值为．…………………………15分2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数的值域是.解：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2.已知函数的最小值为，则实数的取值范围是.解：令，则原函数化为，即.由，，及知即（1）当时（1）总成立；对；forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n对.从而可知.1.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是9800.解：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.2.解：设的公差为的公比为，则（1），（2）（1）代入（2）得，求得.从而有对一切正整数都成立，即对一切正整数都成立.从而，求得，.3.解：令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以；forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n当时，，，所以.综上在上的最小值为.1.解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.2.解一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，则由此可设，所以，即.所以.forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n解二：如图，.设与交于点则.从而平面.过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即.又..1.解：首先易知的正整数解的个数为.把满足的正整数解分为三类：（1）均相等的正整数解的个数显然为1；（2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设两两均不相等的正整数解为.易知，，forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n.从而满足的正整数解的个数为.二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数，当时，，试求的最大值.解一：由得（4分）.（8分）所以，.（12分）又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.（16分）解二：.设，则当时，.设，则..（4分）容易知道当时，.forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n（8分）从而当时，，即，从而,，由知.（12分）又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.（16分）10.解一：设线段的中点为，则，.线段的垂直平分线的方程是.（1）易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.由（1）知直线的方程为，即.（2）（2）代入得，即.（3）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,.forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n.定点到线段的距离..当且仅当，即,或时等号成立.所以面积的最大值为.解二：同解一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.（5分）设，则forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n的绝对值,,,当且仅当且，即,或时等号成立.所以面积的最大值是.11.（本小题满分20分）数列满足.求证:.（1）证明：由知，.（2）所以即.从而forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\n.所以（1）等价于，即.（3）由及知.当时，，，即时，（3）成立.设时，（3）成立，即.当时，由（2）知；（15分）又由（2）及知均为整数，从而由有即，所以，即（3）对也成立.所以（3）对的正整数都成立，即（1）对的正整数都成立.（20分）www.zxsx.comforthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57\nforthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans57