1999年全国高中数学联合竞赛试题及解答 7页

1999年全国高中数学联合竞赛试题及解答一、选择题（满分36分，每小题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…，则数列{bn}(   )(A)是等差数列                (B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列    (D)既非等差数列也非等比数列解析：(C).　　由题设，an=a1qn-1，则　　　　因此，｛bn｝是公比为q3的等比数列．2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2＜2的整点(x,y)的个数是(   )(A)16     (B)17      (C)18       (D)25解析：(A)　　由(|x|-1)2+(|y|-1)2<2,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个．3．若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y，则(   )(A)x-y≥0     (B)x+y≥0      (C)x-y≤0       (D)x+y≤0解析：(B)　　记f(t)=(log23)t-(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数．原不等式即f(x)≥f(-y)．　　故x≥-y，即x+y≥0．\n4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么，(   )(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确     (B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确(C)两个命题都正确               (D)两个命题都不正确解析：(D)．　　如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是(   )(A)0        (B)1         (C)2          (D)3解析：(B)　　设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛．由题意，可得，即=44+r．由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数．6．已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是(   )(A)锐角三角形   (B)钝角三角形   (C)直角三角形    (D)答案不确定解析：(C)　　设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为，化得2x-(s+t)y+2st=0．　　由于直线BC过点(5，-2)，故2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即(s+1)(t+1)=-4．　　因此，.　　所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形．\n二、填空题（满分54分，每小题9分）7．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________.解析：6．　　首项为a为的连续k个正整数之和为　　　　　　．　　由Sk≤2000，可得60≤k≤62．　　当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；　　当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952；　　当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953．　　于是，题中的n有6个．8．复数(12+5i)2(239-i)的辐角主值是_________.解析：．　　z的辐角主值　　　　argz=arg［(12+5i)2(239-i)］　　　　　　=arg［(119+120i)(239-i)］=arg［28561+28561i］=．8．在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，则=__________.解析：．　　　\n10．已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_____.解析：．　　记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4,b=3,c=5,,右准线l为.　　如果P在双曲线右支，则　　　　　|PF1|=|PF2|+2a=ed+2a．　　从而，|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d，　　这不可能；故P在双曲线的左支，则　　　　　|PF2|-|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d．　　两式相加得2|PF2|=2a+2d．　　又|PF2|=ed,从而ed=a+d．　　故.　　因此，P的横坐标为．11．已知直线中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______.解析：43　　设倾斜角为θ，则tgθ=->0．不妨设a>0，则b<0．　　(1)c=0,a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0与x-y=0为同一直线)，故这样的直线有3×3-2=7条；　　(2)c≠0，则a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36条．　　从而，符合要求的直线有7+36=43条．12．已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA=2。那么三棱锥S-ABC的体积为__________.\n解析：．　　由题设，AH⊥面SBC．作BH⊥SC于E．由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB．故SC⊥面ABE．设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．同理，BO⊥AC．故O为△ABC的垂心．　　又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=．因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB．所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角．故∠EFC=30°，OC=SCcos60°=，　　　　SO=tg60°=×=3．　　又OC=AB，故AB=OC=×=3．　　所以，VS-ABC=．三、解答题(满分60分，每小题20分)13.已知当x∈[0,1]时，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0，恒成立，试求θ的取值范围。解析：若对一切x∈［0，1］，恒有f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0，　　则　　　　cosθ=f(1)>0,sinθ=f(0)>0.　(1)　　取x0=∈(0，1)，则．　　由于+2x(1-x)，　　所以，00　(2)　　反之，当\n(1)，(2)成立时，f(0)=sinθ>0，f(1)=cosθ>0，且x∈(0，1)时，f(x)≥2x(1-x)>0．先在［0,2π］中解(1)与(2)：　　由cosθ>0,sinθ>0，可得0<θ<.　　又-+>0,>,　　　sin2θ>,sin2θ>,注意到0<2θ<π，故有<2θ<,　　所以，<θ<.因此，原题中θ的取值范围是2kπ+<θ<2kπ+,k∈Z．14.给定A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当|AB|+|BF|取最小值时，求B的坐标。解析：记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，离心率为e．则a=5,b=4,c===3,e==，左准线为x=-．　　过点B作左准线x=-的垂线，垂足为N，过A作此准线的垂线，垂足为M．由椭圆定义，　　　　|BN|==|BF|.于是，|AB|+|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|(定值)，等号成立当且仅当B是AM与椭圆的交点时，此时B(，2)　　所以，当|AB|+|BF|取最小值时，B的坐标为(，2)．15.给定正整数n和正数M，对于满足条件≤M的所有等差数列a1,a2,a3,….，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。解析：设公差为d,an+1=α,则　　S=an+1+an+2+…a2n+1=(n+1)α+d．\n　　故.　　则　　　　因此|S|≤(n+1)，　　且当α=,d=·时，　　S=(n+1)〔+··〕　　=(n+1)=(n+1)　　由于此时4α=3nd,故．　　所以，S的最大值为(n+1)．