竞赛复习科目数学高中数学竞赛总复习(一) 15页

竞赛复习科目：数学高中数学竞赛总复习（一）复习内容：高中数学第三章-数列编写时间：2005-5修订时间：总计第一次2005-5一、数列专题（一）数列常见题型形式.一、以极限为载体，考查等比数列中当＞1时，等比数列极限不存在.当＜1时，等比数列极限存在.若等比数列和的极限存在，则一定有＜1.当数列的极限存在是，则.1.设为等差数列，为等比数列，且（a1＜a2），又，试求的首项与公差.2.数列由下列条件确定：.若数列的极限存在，且大于零，求的值.二、以对数为载体，充分考虑比例分数的合比与分比定理.例：等比数列的公比是.三、求参数最值通常考虑判别式法.1.各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有项.四、若以集合形式出现，常常题目要隐藏其集合的包含与被包含关系.1.若和分别表示数列和前项和，对任意正整数，.设集合.若等差数列的任一项是中的最大数，且＜＜，求的通项公式.（二）求常见数列的方法.一、求数列的通项.I.形如的一阶递归式，其通项求法为.II.形如的递归式，其通项求法为.\n注意：①形如当数字特殊时可考虑转化为的形式，再叠乘可求出通项.②形如常需要转化为或.例如：有有有.1.数列确定，求通项.2.在数列中，，且，求.III.形如的递归式，有方法一，两式相减得，故是首项为，且公比为的等比数列，先求出，再求出.有方法二转化等比：.有方法三：迭代法…=有公式，由确定.有方法四：特征根方法.IV.形如的递推式，有方法一两边同除以，得，令，则，仿2求得，再求.有方法二递推法.例如：当为一次函数时与相减有仿III.可求出.1.已知数列，中，且（1）求；（2）求.V.形如或的递推式，方法一两边取对数有，令，则，仿4求得，再求.方法二有1.在数列中，，且，求2.数列满足，求通项.\nVI.高阶等差数列：形如任意两项之差成等差数列不如比等差数列为，则我们可用构造新数列使，最后.高阶等差数列：给定一个数列，令，则称数列为的一阶差数列，而的一阶差数列称为的二阶差数列，递推地，可以定义的阶差数列.如果数列的阶差数列是一非零常数列，则称数列是阶等差数列.=1时，数列就是我们通常所说的等差数列，时，数列称为高阶等差数列.数列是阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于的次多项式.例如：数列2、4、7、11、16……经观察发现成等差，故令.进而有.1.求数列：1，3，8，20，43，81，…的一个通项表达式.VII.不动点法：设数列满足.①若有两个不相等的不动点，则数列是等比数列，可用来求.②若有两个相等的不动点，则数列是等差数列，公差d可用，来求.注：形如亦可用不动点法.证明：令，即，令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2，则有其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=.若x1≠x2则有其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=.1.设满足求通项.2.数列满足求.VIII.裂项法：常见的有等.\n1.数列满足，且，求.IX.取倒法：常用于对复杂分式转化为或等等常见数列形式.1.在数列中，，，求.X.换元法：数列中的通常把将数列通过换元构造位熟悉的等差、等比、或线性递推数列.最重要的是三角换元法的应用.1.已知数列的前项和与之间满足，且，求.2.已知数列中，，求通项.3.数列满足且求通项.4.设正数列满足，且，求.5.已知数列满足，求.二、求数列的和.I.求导法：导数方法用于数列常是以求和形式出现，经常要与二项式定理联系（能够用错位相消法求和的数列问题，都可以用求导方法去做）.1.已知，求数列的前项和.2.已知，求数列的前项和.3.求和.\nII.形如时，则求和变为当为偶，-与+恰好抵消完；当为奇数时，剩一个-，故或.1.已知是由非负整数组成的数列，满足①求；②证明③求的通项公式及其前项和.三、周期数列.1.设数列定义求.2.设数列满足，且对任意自然数都有又，则的值是.【2005高中数学联赛预测】1.各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有项.2.设数列满足.（1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；（2）当时，证明对所有的，有①；②3.数列满足：，求的整数部分.4.3个数列存在下列关系：，这里为正常数.（1）求；（2）证明：若，必有＞0；\n（3）若数列的最小项为求的取值范围.5.两个数列，满足试求通项和6.数列，满足，证明下列命题：（1）＜＜；（2）对任何正整数，有＞；（3）对任意整数，有＜.7.（不等式夹击法找数列范围）设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不小于3，且各项和为，则这样的数列共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个《雷氏笔录》数学组编写2005年5月18日竞赛复习科目：数学高中数学竞赛总复习（二）复习内容：高中数学第七、八章-解析几何编写时间：2005-5修订时间：总计第一次2005-5二、解析几何专题一、关于定值的证明.平面解析几何有方法一：先取特殊位置，求出这个定值，再证明一般情况下也等于这个定值.有方法二：直接证明法.1.已知圆，直线.若连线的中点为M，与的交点为N，求证为定值.\n2.如图，M是圆C：上的动点，O是坐标原点，N是射线OM上的点，，求N点的轨迹方程.二、共线问题经常转化为斜率相等这一重要条件，当然也可以用构造法—大胆设参构造.1.已知抛物线及定点.M是抛物线上的点，设直线AM、BM与抛物线的另一个交点为M1、M2.求证：当M点在抛物线上变动时（只要M1、M2存在且）直线M1、M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.三、看到有长度大小关系的直线方程时，又有动点与定点要考虑直线的参数方程.1.过不在椭圆上任意一点P作两条直线和，分别交椭圆于A、B、C、D四点，若、的倾斜角为且.求证：A、B、C、D四点共圆.四、曲线系方程.1.已知MN是圆O的一条弦，R是弦MN的中点，过R任作两条相交弦AB和CD.过A，B，C，D四点的二次曲线T交MN于P，Q两点.求证：R是PQ的中点.五、涉及整数点问题的最值问题用余数法.1.直角坐标平面内横坐标与纵坐标都为整数的点称为格点，则平面内格点到直线的距离的最小值为.六、移坐标法，我们可把坐标轴平移，可使某个点成为新原点，这样可以减少运算.\n1.已知椭圆C：上存在关于直线对称的两点，试求m的取值范围.【2005高中数学联赛预测】1.是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则的最小值是.2.设双曲线的两支为如图，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上.（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；（2）设P（-1，-1）在上，Q、R在，求顶点Q、R的坐标.3.已知椭圆ε：＝1(a＞b＞0)，动圆Γ：x2＋y2＝R2，其中b＜R＜a.若A是椭圆ε上的动点，B是动圆Γ上的动点，且使直线AB与椭圆ε和动圆Γ均相切，求A、B两点的距离|AB|的最大值.（2004年四川初赛试题）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为:y＝kx＋m因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有将(1)代入(2)得：(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0由于直线与椭圆相切，故△＝(2kma2)2－4(a2k2＋b2)a2(m2－b2)＝0从而可得：m2＝b2＋a2k2，x1＝－(3)同理，由B既在圆上又在直线AB上，可得：m2＝R(1＋k2)，x2＝－(4)由(3)(4)得：k2＝，x2－x1＝∴|AB|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝＝＝a2＋b2－R2－＝(a－b)2－(R－)2≤(a－b)2.即|AB|≤a－b，当且仅当R＝时取等号.所以，A、B两点的距离|AB|的最大值为a－b.《雷氏笔录》数学组编写2005年5月18日\n竞赛复习科目：数学高中数学竞赛总复习（三）复习内容：高中数学第三、七、八章编写时间：2005-5修订时间：总计第一次2005-5三、数列、解析几何热点专题数列一、奇偶数列.若为奇数项的数列，若为偶数项的数列，则有.二、特征方程.形如（p、q为二阶常数）方法一用特征根方法求解.具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.有方法二，.有方法三迭代法，迭代法是解决一切数列问题的通法.三、求和.主要方法：倒序相加、错位相减、数学归纳法.⑴等差数列的前项和为，在＜0时，有最大值.如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使＜0，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：⑶①1+2+3…+n=②③四、等差、等比数列.若，均是等差数列，则也是等差数列.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.\n解析几何一、几种常见的圆锥曲线问题.[题型示例一]若椭圆的左右焦点分别是过且倾斜角为θ的直线交椭圆为两点，若则椭圆的离心率为e=.解：.注：本题变为求直线AB的方程，解法如上，将转为求,则可确定，又过，故直线AB方程可确定.如果采用定比分点，则运算量大，但是若A、B不在椭圆上或者有一个点不在椭圆上，则只有用定比分点了.[题型示例二]已知抛物线，当一条过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,求的值.解（一）：当k存在时，代入则，，当k不存在时，，成立.故成立.解（二）：[题型示例三]如图，一条过焦点F的直线与抛物线交于A，B.A,M,O三点共线，MN是抛物线的准线.求证：MB∥x轴.证：为过O点直线，kAO=kOM，所以.综上：，.故MB为平行x轴直线.变题：若证AOM共线呢？提示：要证AOM共线，即证kAO=kOM，下面就如上法炮制了.[题型示例四]如下图，抛物线的焦点为F，CD为准线，P为AB的中点.求证：AMB共圆，∠CFD为直角.证（1）：因为，故AF=AC,DF=DB.又因为PM为梯形CABD的中位线，故PM=,故MP=AP=BP,所以AMB共圆，且P为三角形AMB外心.证（2）：.注：[题型示例四]拓展1：根据上述证明，可以推导以双曲线焦点弦，为直径为圆与准线是相交关系；以椭圆焦点弦为直径的圆与准线是相离关系.拓展2：ABM中最大角为90°，这时是的临界条件，这条准线上其它的点与A、B构成的三角形是锐角，故若要使ABM为钝角，只需或为锐角.过A作垂直于AB的直线交L于E，则在E上方（不包括E）的点与A、B构成三角形为钝角，但是由于AB这条直线与准线要相交（这里要检验，是否在所求范围内），同理过B作垂直于AB的直线交L于F，则在F下方（不包括F）与A、B构成的三角形都是钝角.[题型示例五]如下图，抛物线，一直线交抛物线于A，B，且AO⊥BO.求证：直线AB过一定点.证：设,令lOA：y=kx\n令lOB：y=，故，故lAB可求得恒过(2P,0).[题型示例六]已知抛物线，焦点为F，一直线交抛物线于A，B，求证：.证：，.二、区域问题：当求整点个数常用数列逼近法.1.直角坐标平面上，求满足不等式组的整点的个数.2.一张纸上画有半径为R的圆O及圆O内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上，某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕.当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.（2003全国高中联赛）三、圆的幂与根轴.过定点A任作直线交定圆于B、C两点，则为定值，该定值称为定点A对定圆的幂1.向以原是为圆心，半径为1的圆A和另一圆B所引切线长相等的点在直线上，求圆心B的轨迹方程.四、与数论结合.若g是质数，P是正整数，若构造出了10g+13p巧妙的解出p=11，g=143或p=23时g=23.1.一次函数的图象经过点（10，13），它与x轴的交点为（p，0），与y轴的交点为（0，q），其中P是质数，q是正整数，则满足条件的所有一次函数为.【2005高中数学联赛预测】1.(数形结合)已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆上的任意一点，则的面积最小值是（）A.B.C.D.2.(立体几何与余弦定理综合)设A，B，C，D是空间四个点，满足AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，则△BCD是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定《雷氏笔录》数学组编写2005年5月24日\n竞赛复习科目：数学高中数学竞赛总复习（四）复习内容：高中数学第二章-函数编写时间：2005-5修订时间：总计第一次2005-5四、函数专题一、函数与方程.I.发现和利用函数的奇偶性，函数的奇偶性常常与函数方程结合.1.求的图象与x轴的交点坐标.II.三元二个方程一定不能求出解，若要求出解一定是（无交叉项时）或（有交叉项时）或者是以x为主元，其判别式只有k=0故可求出其一变量的值.2.已知且则.3.求三个实数x，y，z，使得它们同时满足下列方程：\nIII.求选对偶式解方程题或者利用不等式来凑，即凑出原方程小于某一常数，但此方程又等于这一常数.则等号成立条件即为方程的解.例如：，则必有.1.求所有的实数x，使得.二、函数的最值，对二次函数的值域属于R的充要条件是.1.若k是实数，，对任意三个实数a，b，c，存在一个以为三边长的三角形，求k的取值范围.三、函数与不等式.1.设时，恒有，求证：当时，有.《雷氏笔录》数学组编写2005年5月24日\n竞赛复习科目：数学高中数学竞赛总复习（五）复习内容：高中数学第四章-三角函数编写时间：2005-5修订时间：总计第一次2005-5五、三角函数专题一、求三角函数的最值.1.刑如.1.如果，则的最大值是.2.设，求证：.2.三角函数中的连体常常是首尾相乘为一常数，连加常常是裂项相消法.1.求值.2.化简.3.三角代换.1.设，试求的最大值.2.函数的值域是.3.已知求tanxtanytanz的最大值.4.，求的最小值.\n5.化简.二、反三角函数.1.函数的值域是.四、与解析几何综合.1.△ABC的内角满足试判定△ABC的形状.