广东省高中数学竞赛试题及详解答案 5页

全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题（考试时间：9月4日上午10：00—11：题号一二合计123得分评卷人复核人注意事项：1.本试卷共二大题，全卷满分12.用圆珠笔或钢笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程在区间上的实根个数为_________________.2.设数列的前项和为，则满足不等式的最小整数是_________________.3.已知（，）是常数，且，，，是区间内任意实数，则函数的最大值等于_________________.4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.6.设是平面上一个定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，其中，则点的轨迹为_________________.7.对给定的整数，符号表示中使能被3整除的唯一值，那么\n_________________.8.分别以直角三角形的两条直角边，和斜边为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为，，，则与的大小关系是_________________.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（本小题满分16分）是否存在实数，使直线和双曲线相交于两点、，且以为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.（本小题满分求证：不存在这样的函数，满足对任意的整数，，若，则.3.（本小题满分设非负实数，，满足，求证：全国高中数学联赛广东省预赛参考答案一、填空题1.设，则，∵，∴，又，∴，即在区间上单调递增，故方程在区间上有且只有一个实根.2.易知数列是首项是，公比是的等比数列，∴，于是，∵，，故最小整数是7.3.∵，∴\n，故所求函数的最大值等于.4.圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有个交点.5.6.∵，∴，即，又，为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点的轨迹为的平分线.7.由二项式定理知，，即被3除余1，∴，，故.8.∵，，∴作商，有，故.二、解答题1.解：设交点、的坐标为、，由消去，得，\n由韦达定理，得，①，②∵以为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴，∴，即，整理，得③将①②代入③，并化简得，∴，经检验，确实满足题目条件，故存在实数满足题目条件.2.证明：假设存在这样的函数，则对任意的整数，设，，其中，由条件知.由于，，∴且，即是除去，后剩下的那个数，不妨设又由于，，∴.以代替，得，但这与矛盾！因此假设不成立，即不存在这样的函数.3.证明：先证左边的不等式.∵，∴再证右边的不等式.不妨设，注意到条件，得，所以，\n综上，.