力学竞赛试题 7页

海南大学土木建筑工程学院、海南省力学学会第二届力学竞赛试题1、如图1所示，质量均为m的n（n＞3）个均质圆柱体依次搁置在倾角为30°的斜面上，并用铅垂设置的铰支板挡住。若已知圆柱半径为R，板长为l，各圆柱与斜面和挡板之间的摩擦系数μ＝1/3，且不计各圆柱之间的摩擦，试求维持系统平衡时的最大水平力P。图1【解】先设圆柱，由三力平衡汇交定理知其与斜面间摩擦力为零，依次判断，直到圆柱与斜面间摩擦力均为零。再研究圆柱共n-1个柱体的整体平衡，由有为圆柱与间的作用力。再研究圆柱，受力如图，由有设，由当时，，可知A处先滑动，且。由\n将代入，得所以由最后研究铰支板的平衡，由所以2、如图2所示，偏心轮质量为m，偏心距OC＝e。轮对质心C的回转半径为ρc，置于光滑水平面上。初始时OC呈水平，质心C有一水平初速υ，轮的角速度为零。求当C点运动至最低位置时，水平面对轮的约束反力。图2【解】取质心平动参考系（图7），它以常速度运动。质心的相对速度沿轴。由动能定理，有\n图7其中。当质心C运动至最低点时，有，故有此时运用相对质心的动量矩定理，有故所以C点的加速度向上，为所以有即3、图3所示对称桁架，受载荷P作用，己知各杆材料相同，横截面面积也相同，问有何办法可使各杆同时达到材料的许用应力[σ]?图3\n【解】办法1：利用装配应力改变内力分配。在准确加工、装配的情况下，桁架中各杆的受力为（1）（2）因此，总是杆3先达到。为使各杆的图8应力同时达到，可采用加装配应力的办法，即预先将杆3做长，在强制装配以后，杆3将具有预应力，而杆1、2将具有预拉应力。由图8可知，设外载增至时，各杆的应力同时到达，节点到达。在小变形假设的前提下，叠加原理使用，与各杆伸长量之间应满足下列协调方程(3)各杆的轴力又满足下列物理方程（）（4）由方程（3）、（4）解得杆3长度的过盈量，（5）该桁架的许用载荷为由式（5）可以看出，这个解答的适用范围有一定的限制，即若接近时，就变得相当大，这时，小变形假设就不适用了，因此所得值也就没意义了。办法2：对于短暂加载情况，除了上述办法外，还可以采用加热应力的办法来达到相同的目的，若材料的线膨胀系数为，又假设材料的许用应力不随温度的改变而改变，则杆3所需升高的温度为\n4、物块C的重量为G，置于悬臂梁AB上（图4），梁长L，弯曲刚度EI，物块与梁间的摩擦系数为μ，求：图4（1）物块开始滑动时的位置；（2）物块滑离B端时的速度。【解】（1）设物块开始滑动时的位置为，如图9所示，则AD段的挠度曲线方程为由此可知（1）由静力平衡条件，可求得摩擦力为而物块开始滑动的条件为图9由以上二式易得将式(1)代入上式，即可得到物块开始滑动时的位置为（2）物块由D处滑至B处，在此阶段的始、末两处的挠度分别为，设物块滑离B端时的速度为，W为摩擦力F在此滑动过程中所作的功，由能量守恒定律可得（2）这里假定物块很小，其转动动能可忽略不计。由于而\n故有积分上式，得(3)将式（3）代入式（2），最后得到5、下列结构均为等直杆，各相应载荷为任意分布。证明图5中（a）杆的轴力图、（b）圆轴的扭矩图、（c）梁的剪力图、（d）梁的弯矩图，其图形面积代数和均为零（（c）梁剪力图在受分布和集中力偶矩时例外）。图5【证明】设轴力为，扭矩为，弯矩为，剪力为，E为弹性模量，G为切变性模量，I和分别为轴惯性矩和极惯性矩，A为杆的截面面积。(a)图，受任意分布和集中的轴向力作用。杆的总伸长为。由胡克定律，正应变，故轴力图面积的代数和为(b)图,受任意分布和集中的扭力偶作用。圆轴扭转角的边界条件为\n，根据圆轴扭转变形基本公式，故扭矩图面积的代数和为(c)图，受任意分布和集中的横向载荷作用。对于简支梁，，且在无分布力偶矩的情况下，剪力与弯矩的微分关系为，故有受到分布和集中力偶矩作用时,此值一般不为零，因为关系式中，未考虑分布力偶矩的作用。在这种情况下，应修正为其中与为分布力偶矩和集中力偶矩，逆时针为正。(d)图，受任意分布和集中的横向载荷及力偶矩作用。两端固支梁，转角边界条件为，有微分关系为能够得出以上结论是因为，被积函数是有界且只有有限个间断点，因而总是可积的。在(a)、(b)、(d)三种情况下以及(c)只受横向载荷的情况下，原函数总是连续的，积分值仅与该原函数在两端的函数有关，而不必求出原函数。