竞赛加试试题 11页

2013年全国高中数学联合竞赛加试试题一、(木题满分40分)如图，是圆血的一条弦，P为弧内一点，为线段AB上两点，满足AE=EF=连接PE,PF并延长，与圆血分别相交于点C,D.求证:EFCD=ACBD证明辻找.3・BC・DE.lht==从而BC“n/JCE点B到咒线C用J相离二BEJCsinZJCT~点用线CFft勺帥囲~AL同样.0sm3F,也4到H线加的沖离_.47BD，血£RDF~点〃到仃线加的护离一血刃访而・【tnZ3C£=LBCP=£BDP=^BDF・LACE=LACP=LADP=^ADF.故将①・②两成相集町得些竺=4,SUBJ4D=4」CBD.③30分ACBD由扎韧密定理HDBC"CBD+4BCD・曲故ill③•④刘ABCD=3ACBD.即EFCD^ACBD・40分二、(本题满分40分)给定正整数数列｛色｝定义如卜■:d]=u+y,对整数m>1,»2”严~+",丄丄丄,〔°、<记»”=4+°2+…+。加(加=1,2,…).0加=%+认_证明：数列｛S”｝中冇无穷多项是完全平方数.证明对正療Cl加fiS严“=佝和勺+①片帆4角)*…+(4广1+JJ="十\・+(5十"+坷十'卄十"+角十计*…+(<7尸］+4+V)=2"(M+V)+2Sj.r…••…10分所以5“二21(卄巧*2斗*二21(““)+2(21(“")+23尹])=227("+、”2、严7二…一1卜2・“("4、)4广丫“竹)=(“")刃・2*~'20分设”仆”？•其中*是非负幣散，g足命数.取xgf・其中/为鱗足/=t-l(mod2)的任恿止*散.此时5“二弄】才7・注意斜q是奇数・故+jj2=ir-|+/2=Jl•!+(£-1)2k上伏-1)=0(mod2)・術以.二七忆完全¥方数.由1/^无另多卜，故数列｛»｝中肖无穷多项足左全平方故……U)分\n三、(本题满分50分)一次考试共有加道试题，〃个学生参加，其中777,72>2为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有兀个学生没有答对，则每个答对该题的学生得兀分，未答对的学生得零分•每个学生的总分为其加道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为P{>p2>••>pn,求px+pn的最大可能值.解对任愈的^=1.2.UH・设^kSS没白答对者叭人.则和题各对音刊”一儿人.由得分摆则口1・这川一耳个人在第r題均得到岭分.设旷卜学生的得分之和为S•则有R・■”=$=Ev>^-v*)=wEx>■Ex*■10分因为M-个人在和逋题上至$部《分.故a工•“.M・所以M—1寸一<—|r£rt.fid=27.1.-w-lM-r*台«-lIMuaIuf由柯西不等式得UlmI>.|J十足p卄噜诰山于故有必叱丹4PS必+几SK+—=—A•|》2总=_需士{£再-刚+酬"_1)三则仿.|)10分另一方而.若有一个学生上部善对•梵他川“】个学生全部善協•则Pi+P.=Pi=E"T)=*KH)・综上所述.丹+以的於人値为卿仿・1)・50分四、(木题满分5()分)设“北为大于1的整数，n<2'.iJE明：存在2R个不被斤整除的整数，若将它们任意分成两组，则总冇一组冇若干个数的和被〃整除.证明先考虑用为2的毎的情形.»M=2r./2l,収3个2^及”-3个1・显然U些数均不被"幣陥将这2片个®(任意分成两组•则总百组中含2个严・它们的和为2'・被〃察除.……】0分现在设”不足2的幕.取M牛数为・1,・L・2・y,…・・2“，】.2,2UX因为幵不是2的显,故上述2片个数均不被"整除•20分并可将这趟数分成两俎.便得毎TH中任慰若干个《(的和均不能被”整除•不妨设1在第一组・rtlr(-l)+l=0.般"滋除.故两卜-1必垃在第：组；因(-1)-(-1|+2=0・般力张除.故24第•组・进而推出・2在第■组•现归纳假设1.2..2,均在第一组・而77・2•…・』朗在U一组・这甲lS/<*-2•山)(一1)+(-1)+卜2)十…+(-丁)十严匸0•帔"於除.故屮在第组.从何一屮音第•.织.故由数学腐郸知•1,2,2丄,…,2戸在第一组・-L-1.-X-22.曲于H)+(-l)+(-2)+…+(-2")+2i“・被”乂除•故严在弟一紅因此1.2.*…，护均在笫•组，Itl正整數的Jil制表示可知,棉一个不趨过2*-1的正整數韵可表示为L12\・2m中杆于个救的和•特别地，凶为略2卜-1,故第干个故的和为"・当然被〃整陥fft；ta此•将冊述廿f整《(任倉分成两紅M•arm」卜敷之和被丹整除.旳分\n2012年全国高中数学联赛加试试题—、（本分40分）如图，在锐角LLSC中，是福的两点，極得也:LM=ZC>LV.设X4BC和LLMV的夕心>别为0宀求证=04/主卓b莎帀c■_PMN【解析】证明=如图•岐.均过刃点作刃O］的垂线TP交PC的延长錢于点乙A则.妒是二q的切线•因Utz艮=二只乂因为^bam=ZC4A：所以£AMP=ZB+/.BAM=aPAC^tZC£V=zP-£\r因而AP是二九IV的夕Mt圜0、的切线故AP_且0、.■▲所l^01：02；A三点共线.二、（本題満分40分）试证明=集合川二#』］…』；…序足（1）对每个q芒川，及方若方<2匕一1,则方（方+1）—定不是2d的倍娄6（2）对每个aE川（其中川表示川在N中的^K）,且a工1,必存在bw.V\bk+\,则2/r=l（modm）存在方=（2"—l）—g・（2"】M）>0,qwN,使0vbv2d—1,此时m\h,2a+,|m+1,因而b（b+1）是2d的倍数.40分三、（本题满分50分）设几，片，马，…，化是平面上〃+1个点,它们两两间的距离的最小值为d（d>0）求证：附|•阳…・|肚|〉（分血+1）!\n【解析】证法一：不妨设|P7?|<|P^|<.-.<|^Pj.先证明：对任意正整蠻k,都有显然,\P:P]>d>^4M对上=12・「8均成立只有上=8时右边取等号所以，只要证明当19时,有TT+lBP可.以加=0丄2「・因沟園心，消半径画上+1个虱它们两两相离或外切；以乙园心，•■-•/巴+二为半径画园，这个隔覆盖±述k+1个隔所以班/£|+分a(上+1)x4)2=區円〉耳(#71-1)由住王9易知、^刁_]>進三]■士b所以\P：P.\A[奸！对上N9时也成立.综上，对任意正整都有/£IA2・因而/目I便刊…・>G)”歼血证法二不妨设|^7?|<|^|<...<|^|.UJlP(z=Osls2s.-.5Af)为圆心,4为半径画k+1个風它(D两两相离或夕沏；设O是是园P:上任意一点，由于°|£Q|勻E£|+|PQ|=|££|+f勻鸟+=因而山疋为圆心s打乙牡內半径的廖盖±述个凰故兀G闪£尸>伙+1)班£)2=R旬>£^71(*=12…用)■■二所以/刊便刊…•『耳>(纹/河四、(本题满分50分)设S”=l+丄+•••+丄，斤是正整数.证明：对满足OVdVbW1的任意实”2n数a,b,数列｛S“-[S”]｝小有无穷多项属于(a,b).这里，[兀]表示不超过实数兀的最人整数.、〒/、cI111,1,11、/11、2n证：(1)Sn=]111=1F(—:1+(；11)2232"22'+1222心+12".1z11、|111122"2"2222因此，当川充分大时，S”可以大于如何一个正数，令Nq=[―]+1;则.v0>5当b—ab—a时，S.-S-.1=-<—Nq恵S^-Yn己(q=即叨+avS；：.VOs使S—iw+d5这样就有S｛-a而S；：一S：.1=T<工:康得初+avS.‘SVq=故一定存在nx>Ng使血f+a：—w.=—[S｝,]4,存在一个川次多项式f(x)=xn+an_}xn~l+--+a]x+a0具有如下性质:.：均为正整矢(2)对任意正整数林及任意輕“2)个互不相同的正簸”：m均有/(加)…/(冬)・【解析】令/(x)=(x+1)(jv+2)--(jc+m)+2,①将①的右边展开即知/(兀)是一个首项系数为1的正祭数系数的斤次多项式.卜•面证明/⑴满足性质(2).对任意整数r,山于心4,故连续的n个整数f+lj+2,…,r+n中必有一个为4的倍数，从而由①知/⑴三2(mod4).因此，对任意R伙22)个正整数人,®…山，有f(r{)f(r2y-f(rk)^2k^0(mod4).但对任意正整数加,有/(加)三2(mod4),故f(m)丰/(^)/(r2)f(rk)(mod4),从而/(〃?)Hgg…fg•所以符合题设要求.\n3・(50分)设％勺：…：$.(沦4)是给定的正实取，[<〜<・'、<□.■对任意正实敗r満足=r(].?=2w>则有，二狞*心渎“三“)辽円+丈》沪宁十宁“：*宀缶当并为奇数时，设>?=2力+1,则有.匚（尸）=丈£.（尸）=£^.（尸）+•A■厶、•■•f*J••2,设正实数a[9a2,---,an满足兔S1,E=1,2,…，几,\nnAk=l记4=~,k=\,2，…小・求证：工绞一工k=ln-1<•2【解析】由0＜匕＜1知，对1WR＜〃一1,有0＜工5§k,/=100一时，有兀一y\