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竞赛模拟试题32一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．在直角坐标平面中，由不等式所限定的图形面积为（）.2．圆台的两底面半径分别为和，平行于底面的截面将圆台的侧面分成面积相等的两个部分，那么截面圆的半径是（）.以上答案都不对3．如果关于的方程至少有一个模等于1的根，那么实数的值有（）个.1个2个3个4个4．已知正实数，以及某个自然数，满足条件：，则的大小关系是（）5．若的展开式为，则的值为（）.6．方程的所有正整数解的组数是（）.1357\n二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设，函数在上是增函数，则的取值范围是.8．已知正三棱锥的侧棱长为,点在平面内的射影恰为的垂心,则三棱锥的体积的最大值为.9．满足的锐角＝.10．设函数满足，则.11．设，且，则抛物线被轴截得的弦长的取值范围是.12．有个六位数，其中每一个中的任何一个数字均至少出现两次.三、解答题（每题20分，共60分）13．过点作斜率为的直线交抛物线于两点，分别过点作抛物线的切线，两切线相交于点，求证：的取值与无关.14．设是所有形如，，且当时满足的多项式的集合.求证：必有某一个数，使得对所有的，都有，并求最小的.\n15.已知函数，数列满足，且（），记数列的前项和为.（1）求证：；（2）求数列的通项公式.全国高中数学联赛全真模拟题一加试一、（本题满分50分）如图，将圆内接四边形的对边与,与分别延长交于、，又对角线与交于,为圆心，为半径.(1)求证：；(2)过作圆的切线,切点为,则、、三点共线.二、（本题满分50分）已知实数，试求函数的最小值.三、（本题满分50分）一次数学竞赛共有道试题，考试的结果是每道题恰有4个学生解出，且任意两题均恰有1个学生同时解出.试求的最小值,使得总有一个学生解出全部题目.全国高中数学联赛全真模拟题一加试解答（2007年10月1日10：00－12：00）\n一、（本题满分50分）如图，将圆内接四边形的对边与,与分别延长交于、，又对角线与交于,为圆心，为半径.(1)求证：；(2)过作圆的切线,切点为,则、、三点共线.证明：(1)与延长线交于点，，故线段上存在一点E,使得，也即P，A，D，E四点共圆，从而①――――10分又，则Q，C，D，E四点也共圆，从而②――――20分两式相加，得由圆幂定理，有，，故.――――――――30分(2)③④⑤⑥三、（本题满分50分）一次数学竞赛共有道试题，考试的结果是每道题恰有4个学生解出，且任意两题均恰有1个学生同时解出.试求的最小值,使得总有一个学生解出全部题目.解：题目编号为1,2,…,n,记全体学生的集合为A.由(2),A有n个4元子集A1,A2,…,An(Ai的4个学生解出第i题).由(3),每两个不同的Ai有且只有1个公共元.――――――――――10分\n若有一个学生a属于5个子集Ai(不妨设是A1,A2,A3,A4,A5),则a必属于所有Ai,即他解出全部题目(反设有另一子集Aj不含a,则Aj应与A1,A2,A3,A4,A5各有一个不同于a的公共元,这5个公共元互不相同,得出|Aj|≥5,矛盾).―――――――――――20分当n≥14时,A1∩Ai(i≥2)不少于13个,故必有一个a∈A1至少属于5个子集,从而属于所有Ai.―――――――――――30分3≤n≤13时可按下表取适当的n列,满足题给条件但无人解出全部题目.故n的最小值是14.――――――――50分12345678910111213a1√√√√a2√√√√a3√√√√a4√√√√a5√√√√a6√√√√a7√√√√a8√√√√a9√√√√a10√√√√a11√√√√a12√√√√a13√√√√