2017群竞赛试题 6页

初高中数学讨论群：417312855名单供题人：悟、冰泪草、软妹子、Grade8独孤、九月少年蓝各领队：悟、冰泪草、软妹子、Grade8独孤、九月少年蓝、幼稚园主任闹闹参赛成员：准初二：初一基佬川普、准初三Marsking、初一微光,倾城、静静地守护你@、初一-千勋、~见暮离、初二，，，、格格不入、意&幻无~~桐舞*鳞、初二学者准初三：怠慢与勤劳、幼稚园大班准、初二7、初二傻、初二~大可爱、初三小韩、书幼、芮&琬、准初一幼稚园、幼儿园晴雪初高中数学讨论群准高一：孤月*迥噫、(@*.*@)、高一阿迪力、卧听残夏、高一.欧推、准高一冉、准高一、黄贤程高一、初三Bill、高中一年级（龙、准高一91965、准高一-超大朵朵、高一小小玲、初三。。。、阿猫阿狗准高、准高一NipeSimba、准高一芊芊、准高一-时光、准高一-浙江社平党主席、六年群竞赛试题级、네,어이가없어서、乌鲁木齐市第四十中学初三-在水一方准高二：高一柳、高二狗、高一·离群症、高一闭关涟梦、青志协会长~杂、高二灯盏组别：软妹子：格格不入、意&幻无~~桐舞*鳞、怠慢与勤劳、幼稚园大班准、初二7、初二傻、初二~大可爱、六年级Grade8独孤：初一基佬川普、准初三Marsking、初一微光,倾城、静静地守护你@、初一-千勋、~见暮离、初二，，，、네,어이가없어서九月少年蓝：初三小韩、书幼、芮&琬、准初一幼稚园、幼儿园晴雪、孤月*迥噫、(@*.*@)2017暑期幼稚园主任闹闹：高一阿迪力、卧听残夏、高一.欧推、准高一冉、准高一、黄贤程高一、初三Bill、初二学者冰泪草：高中一年级（龙、准高一91965、准高一-超大朵朵、高一小小玲、初三。。。、阿猫阿狗准高、准高一NipeSimba、准高一芊芊悟：准高一-时光、高一一盏灯、高一柳、高二狗、高一·离群症、高一闭关涟梦、青志协会长~杂、准高一-浙江社平党主席、乌鲁木齐市第四十中学初三-在水一方1\n初高中数学讨论群：417312855T5.（1）如图，正方形ABCD面积为1，E为BC三等分点，则S.（准初二）一、填空题（5’）阴影（Grade8独孤供题）111222T1.（1）实数a,b,c满足abc1,0，则a1b3c5.a1b3c5（准初二，准初三）（准高二-悟供题）1（2）集合x|1log110,xN的真子集个数是.（准高二）（准高二-悟供题）x22（3）对任意实数p，抛物线y2xpx4p1都通过一定点，定点坐标为.（准高一）（准高二-悟供题）222（2）若x,y,z是非负整数，xyz7，求满足此条件的所有x,y,z为.（准初三）T2.如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是.（Grade8独孤供题）（全年级）（冰泪草供题）（3）如图，在ABC中，ABAC,BD平分ABC，ADBDDC,A.（Grade8独孤供题）（在答案后简写过程，否则只1分）（准高一，准高二）2T3.（1）yxmxn与x轴正半轴交于A，与y轴负半轴交于B，AB中垂线交对称轴于M，交AB于N，若MNd,则mn的最大值为.（准高一，准高二）（软妹子供题）nT6.设p为正整数n的最小素因数，若是素数，则p满足p.（全年级）（悟供题）p（2）若x,y,z满足：21cosxx11|x|111T7.试写出5243的所有实数根，为.（全年级）（悟供题）xyz7T8.（阅读D6后做题）（悟供题）111xln1xyzx8（1）求极限lim.（准初二、准初三）x01cosx1111zxy9（2）求dx.（准高二）exln2x2ln13x则x,y,z.（准初二，准初三）（Grade8独孤供题）（3）求极限lim.（准高一）x0sinx22n2nT4.设S(n)为n的各位数字之和，如，S(1932)193215,当p为素数时，存在n使得T9.已知i1,即i1，n为正整数，n2017,满足ii...iii...i0，则所有满足条件的n的和为.（全年级）（悟供题）S(n)n(modp)，写出一个n.（全年级）（准高二-悟供题）T10.设x为x的整数部分，x为x的小数部分，求方程x4x30的所有解为.（全年级）（悟供题）2\n初高中数学讨论群：417312855D2.（平面几何）（1）设P为等腰三角形ACB斜边AB任意一点，PEAC,PFBC,PGEF，延长GP二、解答题（25’）并取一点D使得PDPC，求证：BCBD,BCBD.（准初二，准初三）（九月少年蓝供题）D1.平面几何阅读题（准高二-悟供题）“四点共圆”是平面几何中几乎最重要的求解技术之一，对解题往往可以做到“秒解”的作用，下面我们来介绍这种技术：1.四点共圆定义：若四个点在同一个圆周上，则这四个点共圆.2.四点共圆的判别方法（如右图）（逆命题也成立）：（1）如图，若ADBACB,则A,B,C,D四点共圆.（2）若DABDCB，则A,B,C,D四点共圆.（3）若存在一点O使得AOBOCODO，则A,B,C,D四点共圆.（2）如图,正方形ABCD中DEDC，DHCE,求证：BQ∥CE.（准高一）（悟供题）3.举个栗子，如图，已知E,F为AD,DC中点，AF,BE交于G，（提示：与前面四点共圆有关）连接GC，求证：CGBAEB.【证明】连接BF，导角得BGF90，且BCF90，则有B,G,F,C共圆，则BGCBFCAFDAEB.【证毕！】那么请回答下面的问题：（1）如图，在三角形ABC中，ADBC,DEAB,DFAC,求证：B,E,F,C四点共圆.（准初二，准初三）（3）ABC外接圆圆O中，AD平分BAC，EF∥BC,G圆DEF圆O,P圆OGQ,求证：AP∥BC.（准高二）（提示：与前面四点共圆有关）（悟供题）（2）如图，在圆O上取E点，作CEADEB，求证：C,O,E,D共圆.（准高一，准高二）3\n初高中数学讨论群：417312855D3.（不等式阅读题）（悟供题）D5.（解析几何）（九月少年蓝冰泪草悟供题）不等式问题是初等数学中最重要的一部分，下面介绍两个不等式：（有关下面符号请自行百度）（1）在直角坐标系xOy中，有一菱形ABCD，其边长为4，已知OBOD6，求证：OAOC为定值.1.均值不等式：（准初二，准初三）ab1二元形式：a,b0ab.22（2）如图1，二次函数yxbxc的图象过点A(3，0)，B(0，4)两点，动点P从点A出发，在线段AB上nnai沿AB的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PDy轴于点D，交抛物线于点C.设运动时间i12n元形式：a,a,...,ana.12nii1n为t(秒).（准高一）2.柯西不等式：2i.求二次函数yxbxc的表达式;222221.a,b,c,d为实数abcdacbd.5nnn2ii.连接BC,当t时,求BCP的面积;2.a,a,...,a,b,b,...,ba2b2ab.612n12niiiii1i1i1iii.如图2,动点P从点A出发时,动点Q同时从点O出发,在线段OA上沿OA的方向以每秒1个单位长度的请回答下列问题：xyz3速度运动，当点P与点B重合时,P,Q两点同时停止运动.连接DQ,PQ,将DPQ沿直线PC折叠得到DPE.（1）已知x,y,z0,求证：.（准初二，准初三，准高一）yzzxxy2在运动过程中,设DPE和OAB重合部分的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.abcd2（2）已知a,b,c,d0,abcd4,求证：.（准高二）3333b4c4d4a43D4.如图，ABC内接于圆O，BE,CF分别平分ABC，ACB，直线EF交圆O于M,N，求证：BTCSABAC.（各年级压轴几何）（悟供题）图2图1（3）设曲线C：f(x,y)1,曲线C：g(x,y)1，P是C上一点，O为坐标系原点，射线OP交C于R,又12212点Q在OP上，且满足OPOQkOR,当点P在曲线C移动时，若对任意实数t都有：22f(tx,ty)tf(x,y),g(tx,ty)tg(x,y),则求证：点Q的轨迹方程是f(x,y)kg(x,y)0.（准高二）4\n初高中数学讨论群：417312855xxaD6.Calculus阅读题（悟供题）5.adxC6.cosxdxsinxC7.sinxdxcosxC8.lnxdxxlnx1ClnaCalculus（微积分）是近代数学中最为璀璨的部分，也是现代数学最重要的基础，学好微积分对于我们来19.logxdxxlnxxC.说有着重大意义，下面我们介绍一下有关的内容，让大家稍微领略一下其风采.alna微积分，是由“微分”和“积分”组成，由牛顿和莱布尼兹先后独立创造的，但现代数学中所用符号与莱布尼兹的记号相近.3.定积分：好久以前，人们总想解决有关“曲边梯形”面积的问题，就有了定积分的思想.1.微分：谈到微分，我们先引入导数的定义，如图，把曲面边梯形分成一个个小矩形在求和就是曲边梯形的近似，当矩形的底0时，就得到其精确解了.yyyy00图中直线的斜率为k，想象一下，当我们直接取无穷小的微分，就避免了算积分定义和求和求极限的过程xxxx00了.S为面积，取dx为底，高为f(x)，则小矩形的面积为：x越来越小时，此直线应该越来越接近函数在x点的0bbf(x)dx，从a到b加起来就得到了Sf(x)dx，这里注意，此时的...aa切线，当x0时（记作lim），此直线就为函数在x点的0x0与不定积分的不是一个概念，但是牛顿和莱布尼兹将定积分与不定积分联y切线，此切线的斜率为klim，k就是函数在00x0x系在一起，称作牛顿-莱布尼兹公式（NL公式），为：dyx的导数，若函数为yf(x)，记作,若x不在是b00dxxx若f(x)dxF(x)C，则f(x)dxF(b)F(a).（a和b称为积分上下限.）0adyx一个数，而变成自变量x时则称或y'或f'(x)为y的导函注1.当积分的上限或下限不是常数，而是变量时，即f(t)dt则其求导公式为：dxaxb数，这里的dydf(x)g(x)dx即为“微分”，下面为部分求导公式：（对x求导）df(t)dtdf(t)dtaxf(x),f(x).aa1xxxx1dxdx1.k'0(k为常数)2.x'ax3.a'alnx4.e'ee2.718...5.logx'axlnaf(x)f'(x)1dy注2.当求极限时，当limf(x)0,limg(x)0时，有limlim.6.lnx'7.sinx'cosx8.cosx'sinx（注：若f(x),dyf(x)dx.）x0x0x0g(x)x0g'(x)xdx注3.当x0时，当全是乘积形式时，可以用sinxx,ln(1x)x.uu'vuv'若u,v是两个关于x函数，则：uv'u'v'，uv'u'vuv'，'.2注4.f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.vv请回答下列问题：df(g)dfdgdf若复合函数f(g(x))（用f,g表示），则有，为将g看为整体求导.xdxdgdxdg2tln(1tsint)dt0（1）求极限lim，并写出详细过程，写出所用公式.（准高一，准高二）4x0x2.不定积分：不定积分就是微分的逆运算，用记号表示，也就是f'(x)dxf(x)C，其中C是积分常数，lncosx（2）求极限lim，，并写出详细过程，写出所用公式.（准初二）2x0x由于C'0.若f(x)dxF(x)C，则称F(x)是f(x)的原函数.这里我们不再赘述，下面为部分积分公式：2（3）求yx与yx所围面积，并写出详细过程.（准初三）a1ax1xx1.kdxkxC(k为常数)2.xdxC(a1)3.dxlnxC4.edxeCa1x5\n初高中数学讨论群：4173128552bD7.（1）设a,b为正数，证明：kaabk2a.（悟供题）b2ab2a2aab（注：不可用后式推出前式.）（准初二准初三）3n1（2）设x23...n,n2,3,...求证：xx,n2,3,....（冰泪草供题）nn1n12...n（准高一，准高二）D8.（1）求函数y1512cosx423sinx743sinx1043sinx6cosx的最小值.（注：数形结合）（准高一）n10,当n100时，（2）设nZ函数f:ZR满足f(n)证明：对于任意的n100都有ffn11，当n100时.f(n)91.（准高二）（3）已知一直线yaxb(a0)，试推导其有关ycxdc0对称的函数解析式.（准初二，准初三）222D9.设函数f(x,y,z)在区域x,y,z|xyz1上有连续二阶偏导数，且满足：222fff222fffxyz.计算Ixyzdxdydz.（悟供题）222xyzxyzD10.已知x为下取整函数，即1.51，53.853，3.254，求下式的值：20172017201720172017123...2017？（全年级）（悟供题）6