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竞赛模拟试题33一、选择题（本题满分36分，共6小题）1．为互不相等的正数，且，则下列关系式中，成立的是().2．若，则＝（）－11200520073．方程组的实数解共有（）组.43214．集合，，若，则以为三边（）构成锐角三角形构成直角三角形构成钝角三角形不能构成三角形5．给定双曲线，点为双曲线的左右实轴顶点，点，为双曲线的左右焦点，点P为双曲线上一动点，线段分别交双曲线的右准线于点，那么的值（）有最大值而无最小值有最小值而无最大值既有最小值又有最大值，且最大值与最小值不等是一个与点P位置无关的常量6．若是互质的正整数，且满足，则中有理数的个数为（）\n0123二、填空题（本题满分54分，共6小题）7．若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为.8．将这九个数随机填入棋盘的九个格子中，（每格填写一数）则使每行、每列填数和皆为奇数的的概率为.9．已知两点，若有一整点使得的面积最小，则的面积的最小值为.10．函数是定义域为的增函数，且对任意，都有，，则.11．直三棱柱中，平面平面，且，则AC与平面所成角的取值范围是.12．已知集合，A中的所有二元子集之和组成集合B=，则集合A=.三、解答题（每题20分，共60分）13．已知，，且满足：①；②；③.求的解析式.14．已知点分别为椭圆的左顶点和右顶点，点分别为椭圆的两焦点，过椭圆上异于的一点引椭圆的切线，交圆于点（M位于N的左侧），直线的交点为，求证：与轴垂直.15.已知正数数列满足，且，求的通项公式.\n加试一、（本题满分50分）的内心为，是形内的一点，过作，为垂足，若，．证明：四点共圆．二、（本题满分50分）设，求证：(1);(2)三、（本题满分50分）下面是一张具有个空格的表，如果能将前个正整数适当分成两组：和，分别填于上下两行的空格中：123……na1a2a3……anb1b2b3……bn使得，，，…，就称A，B是的一个“友好划分”.（1）证明：这种“友好划分”有偶数个.（2）找出和的所有“友好划分”．另补几题:1．设为大于0的实数，二次函数在区间\n上有两个实根.求证：存在一个以为边长的三角形.2．求证：3.已知函数，数列满足，且（），记数列的前项和为.（1）求证：.（2）求数列的通项公式.4.在直角坐标平面中，点列满足：；.试问：平面中是否存在一点使得对任何均有？若存在，请求出一个点坐标，若不存在，请说明理由.5.已知是单位圆，依如下方法得到平面上的一族圆，，…：对于每个，…，圆位于上半平面中，且与双曲线的两支以及圆均相切.记为圆的半径.（1）求证：是一个整数；（2）求的表达式.