二数学竞赛试题 5页

数学联赛试题考生注意：本卷共三大题（18个小题），全卷满分150分，考试时间为120分钟．一、选择题（本大题共有8小题，每小题6分，满分48分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．）1．设，若，且，则下列结论中，一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）2．设是椭圆（>>0）的长轴，若把线段100等分，过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于，为椭圆的左焦点，则的值是（）（A）98（B）99（C）100（D）1013．一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体的棱长为a，则球的体积是（）（A）（B）（C）（D）4．已知，，映射：，若当时，为奇数，这样的映射的个数为（）（A）32（B）24（C）20（D）125．点是直线上一点，且在第一象限，点的坐标为（3，2），直线交轴正半轴于点，那么三角形面积的最小值是（）（A）（B）（C）（D）6．满足a>b>2且使ab、、a—b、a+b可以按照某一顺序排列，构成一个等比数列的实数对（a，b）（）（A）不存在（B）恰有1个（C）恰有2个（D）至少有3个7．方程的解集为（其中是无理数，=2.71828…，为实数）则中所有元素的平方和等于（）（A）0（B）1（C）2（D）48．已知方程组，对该方程组的每一组正实数解，其中，都存在正实数，满足，则的最大值是（A）1（B）（C）（D）二、填空题（本大题共有6小题，每小题6分，满分36分，要求直接将答案写在横线上．）9．在正△中，、分别是、的中点，则以、为焦点且过点、的双曲线的离心率是．10．设，其中为常数．如果，，，那么的值是．11．对所有，使不等式成立的最大正整数是．12．满足方程，且的所有正整数解为.13．递增的正整数数列，满足，，则的值是．14．一个圆柱体可以放在一个棱长为1高二数学竞赛·第5页共5页\n的正方体内部，使得该圆柱体的中轴线与该正方体的一条体对角线重合，则此圆柱体的体积的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，满分66分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分15分）把关于的多项式表示为两个次数不同的实系数多项式的平方差的形式．16．（本小题满分15分）已知函数，设集合，集合，且，求实数的取值范围．高二数学竞赛·第5页共5页\n17．（本小题满分18分）已知曲线，，为正常数．直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于、、、4个点，为坐标原点．（1）若，求证：的面积为定值；（2）若的面积等于面积的，求证：．AxyOBCD18．（本小题满分18分）在中，AP平分，AP交BC于P，BQ平分，BQ交CA于Q，已知，且AB+BP=AQ+QB，求各内角的度数的可能值．高二数学竞赛·第5页共5页\n参考答案一选择题：（本大题共有8小题，每小题6分，满分48分．）题号12345678答案DDCAABCC二、填空题(本大题共有6小题，每小题6分，满分36分．)9．；10．28；11．3；12．（2，5，10），（2，4，20）；13．194；14．三、解答题（15、16题每题15分，17、18题每题18分）15．设，由题意，为二次多项式，的次数低于2次，故可设，，，上式为完全平方式，得，得，故可得：。16．由得：，设，则必有，故；又中元素为方程的实根，整理得：，由知，上式含有因子，由辗转相除法或待定系数法可知上式可因式分解为，要使，方程无实根或实根为的实根，分别讨论得。17．解：（1）设直线：代入得：，得：，设，，则有，，设，，易得：，，由得，故，代入得，整理得：，又，，，=为定值。（2）设中点为，中点为则，，所以，、重合，从而，从而，又的面积等于面积的，所以，从而。18．解：设Δ三边长为，考虑到，∴，∴=高二数学竞赛·第5页共5页\n，又平分∠ABC，∴，，∴，同理又由余弦定理知，，，∴，，∴，解之得：或，∴或=120°，∴或=120°，=2或=120°若=2时，=30°，=100°，=50°；若=120°时，=30°，=120°，=30°高二数学竞赛·第5页共5页