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- 2022-07-27 发布
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高中数字复习资料高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则2．能够合理，正确地求解有关问题命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.重点题型分析:例1．解关于x的不等式:解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a2)<0（下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a2?a2-a<0即00即a<0或a>1时，不等式的解为:x?(a,a2)（3）当a=a2?a2-a=0即a=0或a=1时，不等式为x2<0或(x-1)2<0不等式的解为x??.综上，当01时，x?(a,a2)当a=0或a=1时，x??.评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.例2．解关于x的不等式ax2+2ax+1>0(a?R)解:此题应按a是否为0来分类.（1）当a=0时，不等式为1>0,解集为R.（2）a?0时分为a>0与a<0两类①时，方程ax2+2ax+1=0有两根\n.则原不等式的解为.②时，方程ax2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-?，+?）.③时，方程ax2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-?,-1)∪(-1,+?).④时，方程ax2+2ax+1=0有两根，此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:.⑤综上:当0≤a<1时，解集为（-?，+?）.当a>1时，解集为.当a=1时，解集为(-?,-1)∪(-1,+?).当a<0时，解集为.例3．解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R)(西城2003’一模理科）解:原不等式可化为?ax2+(a-2)x-2≥0,(1)a=0时，x≤-1，即x∈(-∞,-1].(2)a?0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.①a>0时，不等式化为，当，即a>0时，不等式解为.当，此时a不存在.②a<0时，不等式化为，当，即-20时，x∈.-22时，t=1，解方程得:（舍）.(2)当时，即-2≤a≤2时，,,解方程为:或a=4（舍）.(3)当即a<-2时，t=-1时，ymax=-a2+a+5=2即a2-a-3=0∴,∵a<-2,∴全都舍去.综上，当时，能使函数f(x)的最大值为2.例5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:.证明:（1）当q=1时，Sn=na1从而（2）当q≠1时，，从而由（1）（2）得:.∵函数为单调递减函数.∴.例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0,2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.\n解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为，一条渐近线的斜率为，∴b=2.∴.（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为，此时.综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于.评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x的不等式.解:原不等式由(1)a=1时，x-2>0,即x∈(2,+∞).由(2)a<1时，，下面分为三种情况.①即a<1时，解为.②时，解为?.③?即01时，的符号不确定，也分为3种情况.①?a不存在.②当a>1时，原不等式的解为:.综上:a=1时，x∈(2,+∞).a<1时，x∈a=0时，x??.01时，x∈.评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:10:明确讨论的对象，确定对象的全体；20:确定分类标准，正确分类，不重不漏；30:逐步进行讨论，获得结段性结记；40:归纳总结，综合结记.\n课后练习:1．解不等式2．解不等式3．已知关于x的不等式的解集为M.（1）当a=4时，求集合M:（2）若3?M，求实数a的取值范围.4．在x0y平面上给定曲线y2=2x,设点A坐标为(a,0),a?R，求曲线上点到点A距离的最小值d，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1.2.3.(1)M为(2)4..2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。复习难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。主要内容：（一）基本问题1.定义域2.对应法则3.值域4.图象问题5.单调性\n6.奇偶性（对称性）7.周期性8.反函数9.函数值比大小10.分段函数11.函数方程及不等式（二）基本问题中的易错点及基本方法1．集合与映射<1>认清集合中的代表元素<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。2．关于定义域<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。<2>应用问题实际意义。<3>求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。<4>方程，不等式问题先确定定义域。3．关于对应法则注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同<2>联系函数性质求解析式4．值域问题基本方法：<1>化为基本函数——换元（新元范围）。化为二次函数，三角函数，……并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。<2>均值不等式：——形如和，积，及形式。注意识别及应用条件。<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。易错点：<1>考察定义域<2>均值不等式使用条件5．函数的奇偶性，单调性，周期性。关注问题：<1>判定时，先考察定义域。<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。<3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。<4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。\n<5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。6．比大小问题基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。<2>搭桥<3>结合单调性，数形结合<4>比差、比商<5>利用函数图象的凸凹性。7．函数的图象<1>基本函数图象<2>图象变换①平移②对称（取绝对值）③放缩易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下：取绝对值（对称）与平移例：由图象，经过如何变换可得下列函数图象？<1><2>分析：<1><2>评述：要由得到只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。平移与关于y=x对称变换例：y=f(x+3)的反函数与y=f-1(x+3)是否相同？分析：①的反函数。②∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。）（三）本周例题：例1．判断函数的奇偶性及周期性。分析：<1>定义域：∴f(x)定义域关于原点对称，如图：又∴f(-x)=-f(x),∴f(x)周期?的奇函数。评述：研究性质时关注定义域。例2．<1>设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x，求f(113.5)的值。\n<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解：<1>∵∴，∴f(x)周期T=6，∴f(113.5)=f(6?19-0.5)=f(-0.5).当x∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).∵x∈(2,3)时，f(x)=f(-x)=2x.∴f(x+3)=-2(x+3).∴,∴.<2>（法1）（从解析式入手）∵x∈(1,2),则-x∈(-2,-1),∴2-x∈(0,1),∵T=2.∵f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.∴f(x)=3-x,x∈(1,2).小结：由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。（法2）（图象）f(x)=f(x+2)如图：x∈(0,1),f(x)=x+1.x∈(-1,0)→f(x)=-x+1.x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x.注：从图象入手也可解决，且较直观。例3．<1>若x∈(1,2)时，不等式(x-1)2已知二次函数f(x)=x2+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在闭区间Z[m,0]上有最大值5，最小值1，求m的取值范围。分析：<1>设y1=(x-1)2,y2=logaxx∈(1,2)，即x∈(1,2）时，曲线y1在y2的下方，如图：∴a=2时，x∈(1,2)也成立，∴a∈(1,2].小结：①数形结合②变化的观点③注意边界点，a=2，x取不到2，∴仍成立。\n<2>∵f(t)=f(-4-t),∴f(-2+t)=f(-2-t)∴f(x)图象关于x=-2对称，∴a=4,∴f(x)=x2+4x+5.∴f(x)=(x+2)2+1,动区间：[m,0],∵x∈[m,0],[f(x)]max=5,[f(x)]min=1,∴m∈[-4,0].小结：函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题，定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。例4．已知函数(I)判定f(x)在x∈(-∞,-5)上的单调性，并证明。(II)设g(x)=1+loga(x-3)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围。分析：(I)任取x10且(x1+5)(x2-5)>0,∴当a>1时，f(x1)-f(x2)<0,∴f(x)单调递增，当00,∴f(x)单调递减。(II)若f(x)=g(x)有实根，即：。∴∴即方程：有大于5的实根。（法1）（∵x>5）∴.（法2）（实根分布）(1)有大于5的实根，方程(1)化为：ax2+(2a-1)x-15a+5=0.∵a>0,∴Δ=64a2-24a+1≥0.①有一根大于5.\n②两根均大于.小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中，也可以用韦达定理解决。小结：函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。练习：已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈[-1,1]，m+n≠0时,有。<1>用定义证明f(x)在[-1，1]上是增函数。<2>若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。参考答案：(2)|t|≥2或t=0.2006年高三数学第三轮总复习排列与组合押题针对训练授课内容：复习排列与组合考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。\n试题安排：一般情况下，排列组合为一道以选择或填空题的形式出现的应用题。有时还另有一道排列、组合与其他内容的综合题（大都与集合、立体几何、不等式证明等相综合）。重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。难点：不重不漏。知识要点及典型例题分析：1．加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式；分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”\n因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=53（种）。2．排列数与组合数的两个公式排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。连乘积的形式阶乘形式Pnm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=Cnm=例3．求证：Pnm+mPnm-1=Pn+1m证明：左边=∴等式成立。评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质。n!(n+1)=(n+1)!.可使变形过程得以简化。例4．解方程.解：原方程可化为：???解得x=3.评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。3．排列与组合的应用题历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。一般方法有：直接法和间接法\n（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪=I且A∩=?的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。特殊方法：（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。（4）其它方法。例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。（1）甲排中间；（2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻；（4）甲在乙的左边（不要求相邻）；（5）甲，乙，丙连排；（6）甲，乙，丙两两不相邻。解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720种不同排法。（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种，其余6人可任意排列有种，故共有?=3600种不同排法。（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有?=1400种不同的排法。（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有=2520种。（5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有?\n=720种不同排法。（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有?=1440种不同的排法。例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个数的位置上，由乘法原理共有=388（个）。（2）5的倍数：按0作不作个位来分类第一类：0作个位，则有=120。第二类：0不作个位即5作个位，则=96。则共有这样的数为：+=216（个）。（3）比20300大的数的五位数可分为三类：第一类：3xxxx,4xxxx,5xxxx有3个；第二类：21xxx,23xxx,24xxx,25xxx,的4个；第三类：203xx,204xx,205xx,有3个，因此，比20300大的五位数共有：3+4+3=474（个）。（4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。例7．直线与圆相离，直线上六点A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上四点B1，B2，B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？\n解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=24；第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=6；第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N1=++1=31（条）。所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：N2=N1-2=31-12=19（条）。2006年高三数学第三轮总复习三角函数的定义与三角变换押题针对训练内容：三角函数的定义与三角变换重点：任意角的三角函数定义难点：三角变换公式的应用内容安排说明及分析：本部分内容分为两大块，一块是三角的基础与预备知识，另一块是三角变换公式及其应用。把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习，其目的是突出“工具提前”的原则。即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具，也是进一步研究三角函数的图象和性质的重要工具。由于本部分内容的基础性与工具性，这是高中数学的重要内容之一，因此，最近几年的高考试题中占有一定的比例，约占13%左右。有试题多为选择题，有时也有解答题，难度多为容易题与中等题。知识要点及典型例题分析：一、三角函数的定义1．角的概念（1）角的定义及正角，负角与零角（2）象限角与轴上角的表达（3）终边相同的角（4）角度制（5）弧度制2．任意角的三角函数定义\n任意角的6个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。由任意角的三角函数定义直接可以得到：（1）三角函数的定义域（2）三角函数值在四个象限中的符号（3）同角三角函数的关系（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。3．诱导公式总共9组共36个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：??，??）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于：当需要改变函数名称时，比如：由于“和差化积”公式都是同名函数的和差。使用时，对于不同名的函数先化为同名函数，又如：复数化三角形式，有时也需要改变函数名称，如：sin?-icos?=cos(+?)+isin(+?)。“偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时（包括5组：2k?+?,???,2?-?,-?）,函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。二、典型例题分析：例1．（1）已知-B B、A≥B C、Acosx成立的x取值范围为（）。A、B、C、D、解：在内，sinx>cosx，在内sinx>cosx；在内，sinx>cosx；综上，∴应选C。2．（2001年全国）的值为（）。A、B、C、D、解：∴应选B。3．（1998年全国）已知点P(sin?-cos?,tg?)在第一象限，则在[0，2?]内?的取值范围是（）A、B、C、D、解：由题设，有在[0，2?）的范围内，在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像，可在??时，sin?>cos?。∴??应选B。4．（1998年全国）sin600?的值是（）。A、B、C、D、解：sin600?=sin(360?+240?)=sin240?\n=sin(180?+60?)=-sin60?=∴应选D。2006年考前必练数学创新试题数列经典题选析数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.一、等差数列与等比数列例1．A＝{递增等比数列的公比}，B＝{递减等比数列的公比}，求A∩B．解：设q∈A，则可知q>0（否则数列为摆动数列）．由an＋1－an＝a1?qn－a1?qn－1＝a1?qn－1(q－1)>0，得当a1＞0时，那么q＞1；当a1＜0时，则0＜q＜1．从而可知 A＝{q|01}．若q∈A，同样可知q>0．由an＋1－an＝a1?qn－a1?qn－1＝a1?qn－1(q－1)＜0，得当a1＞0时，那么0＜q＜1；当a1＜0时，则q＞1．亦可知 B＝{q|01}．故知A∩B＝{q|01}．说明：貌似无法求解的问题，通过数列的基本量，很快就找到了问题的突破口！例2．求数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，……，(1＋2＋22＋……＋2n－1)，……前n项的和．分析：要求得数列的和，当务之急是要求得数列的通项，并从中发现一定规律．而通项又是一等比数列的和．设数列的通项为an，则an＝1＋2＋22＋……＋2n－1＝1?(1－2n)1－2＝2n－1．从而该数列前n项的和\nSn＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝2?(1－2n)1－2－n＝2n＋1－n－2．说明：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、常用的数列求和方法有：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相加法求和；分组法求和；裂项法求和；合并法求和；利用数列的通项求和等等。例3．已知等差数列{an}的公差d＝12，S100＝145．设S奇＝a1＋a3＋a5＋……＋a99，S＇＝a3＋a6＋a9＋……＋a99，求S奇、S＇．解：依题意，可得 S奇＋S偶＝145，即S奇＋(S奇＋50d)＝145， 即2S奇＋25＝145， 解得，S奇＝120．又由S100＝145，得(a1＋a100)1002＝145，故得a1＋a100＝2.9S＇＝a3＋a6＋a9＋……＋a99＝(a3＋a99)332＝(a2＋a100)332＝(0.5＋a1＋a100)332＝(0.5＋2.9)332＝1.7?33＝56.1．说明：整体思想是求解数列问题的有效手段！例4．在数列{an}中，a1＝b(b≠0)，前n项和Sn构成公比为q的等比数列。（1）求证：数列{an}不是等比数列；（2）设bn＝a1S1＋a2S2＋…＋anSn，|q|<1，求bn。解：（1）证明：由已知S1＝a1＝b∵{Sn}成等比数列，且公比为q。∴Sn＝bqn－1，∴Sn－1＝b?qn－2(n≥2)。当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bqn－1－bqn－2＝b?(q－1)?qn－2故当q≠1时，an＋1an＝b(q－1)?qn－1b(q－1)?qn－2＝q，而a2a1＝b(q－1)b＝q－1≠q，∴{an}不是等比数列。\n当q＝1，n≥2时，an＝0，所以{an}也不是等比数列。综上所述，{an}不是等比数列。（2）∵|q|<1，由（1）知n≥2，a2，a3，a4，…，an构成公比为q的等比数列，∴a2S2，a3S3，…，anSn是公比为q2的等比数列。∴bn＝b2＋a2S2?(1＋q2＋q4＋…＋q2n－4)∵S2＝bq，a2＝S2－S1＝bq－b∴a2S2＝b2q(q－1)∴bn＝b2＋b2q(q－1)?1－q2n－21－q2∵|q|<1∴q2n－2＝0∴bn＝b2＋b2q(q－1)?11－q2＝b21＋q说明：1＋q2＋q4＋…＋q2n－4的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n→∞时，数列变化的趋势。二、数列应用题例5．(2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?解：第1年投入800万元，第2年投入800×(1－15)万元……，54第n年投入800×(1－15)n－1万元所以总投入an＝800＋800(1－15)＋……＋800×(1－15)n－1＝4000［1－(45)n］同理：第1年收入400万元，第2年收入400×(1＋14)万元，……，第n年收入400×(1＋14)n－1万元bn＝400＋400×(1＋14)＋……＋400×(1＋14)n－1＝1600×［(54\n)n－1］(2)∴bn－an＞0，1600［(54)n－1］－4000×［1－(45)n］＞0化简得，5×(45)n＋2×(54)n－7＞0设x＝(45)n，5x2－7x＋2＞0∴x＜25，x＞1(舍)即(45)n＜25，n≥5.说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：(1)事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；(2)文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；(3)数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。例6．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。(1)设全县面积为1，2001年底绿化面积为a1＝310，经过n年绿化总面积为an＋1求证an＋1＝425＋45an(2)至少需要多少年(年取整数，lg2＝0.3010)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？(1)证明：由已知可得an确定后，an＋1表示如下：an＋1=an(1－4%)＋(1－an)16%即an＋1=80%an+16%=45an+425(2)解：由an＋1=45an+425可得：an＋1－45=45(an－45)=(45)2(an－1－45)=…=(45)n(a1－45)故有an＋1＝－12(45)n＋45，若an＋1≥35，则有－12(45)n＋45≥35即12≥(45)n－1两边同时取对数可得－lg2≥(n－1)(2lg2－lg5)＝(n－1)(3lg2－1)故n≥lg21－3lg2＋1＞4，故使得上式成立的最小n∈N＋为5，故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.\n三、归纳、猜想与证明例7．已知数列{an}满足Sn＋an＝12(n2＋3n－2)，数列{bn}满足b1＝a1，且bn＝an－an－1－1(n≥2).(1)试猜想数列{an}的通项公式，并证明你的结论;解：（1）∵Sn＋an＝12(n2＋3n－2)，S1＝a1，∴2a1＝12(1＋3×1－2)＝1，∴a1＝12＝1－12.当n＝2时，有12＋2a2＝12(22＋3×2－2)＝4，∴a2＝74＝2－122猜想，得数列{an}的通项公式为an＝n－12n(2)若cn＝b1＋b2＋…＋bn，求的值.当n＝3时，有12＋74＋3a3＝8，∴a3＝238＝3－.123用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，a1＝1－12＝12，等式成立.②假设n＝k时，等式ak＝k－12k成立，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝[(k＋1)2＋3(k＋1)－22－ak＋1]－[k2＋3k－22－ak],.∴2ak＋1＝k＋2＋ak，2ak＋1＝k＋2＋(k－12k)，∴ak＋1＝(k＋1)－12k＋1，即当n＝k＋1时，等式也成立.综上①、②知，对一切自然数n都有an＝n－12n成立.(2)∵b1＝a1＝12，bn＝an－an－1－1＝[n－12n]－[(n－1)－12n－1]－1＝12n.∴cn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－(12)n，∴＝[1－(12)n]＝1.例8．已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1)an2＋anan＋1－nan＋12＝0.又知数列{bn}满足：bn＝2n－1＋1..(Ⅰ)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn；(Ⅲ)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.\n解：(n＋1)an2＋anan＋1－nan＋12＝0.是关于an和an＋1的二次齐次式，故可利用求根公式得到an与an＋1的更为明显的关系式，从而求出an．(Ⅰ)∵an＞0（n∈N），且(n＋1)an2＋anan＋1－nan＋12＝0，∴(n＋1)(anan＋1)2＋(anan＋1)－n＝0．∴anan＋1＝－1或anan＋1＝nn＋1．∵an＞0（n∈N），∴anan＋1＝nn＋1．∴ana1＝anan－1?an－1an－2?an－2an－3?……?a3a2?a2a1＝nn－1?n－1n－2?n－2n－3?…?32?21＝n．又a1＝2,所以，an＝2n．∴Sn＝a1＋a2＋a3＋……＋an＝2(1＋2＋3……＋n)＝n2＋n．(Ⅱ)∵bn＝2n－1＋1，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋……＋bn＝20＋21＋22＋……＋2n－1＋n＝2n＋n－1(Ⅲ)Tn－Sn＝2n－n2－1．当n＝1时，T1－S1＝0，∴T1＝S1；当n＝2时，T2－S2＝－1，∴T2＜S2；当n＝3时，T3－S3＝－2，∴T3＜S3；当n＝4时，T4－S4＝－1，∴T4＜S4；当n＝5时，T5－S5＝6，∴T5＞S5；当n＝6时，T6－S6＝27，，∴T6＞S6；猜想：当n≥5时，Tn＞Sn.即2n＞n2＋1.下用数学归纳法证明：1°当n＝5时，前面已验证成立；2°假设n＝k（k≥5）时命题成立，即2k＞k2＋1.成立，那么当n＝k＋1时，2k＋1＝2?2k＞2(k2＋1)＝k2＋k2＋2≥k2＋5k＋2＞k2＋2k＋2＝(k＋1)2＋1．即n＝k＋1(k≥5)时命题也成立．由以上1°、2°可知，当n≥5时，有Tn＞Sn.；综上可知：当n＝1时，T1＝S1；当2≤n＜5时，Tn＜Sn.，当n≥5时，有Tn＞Sn.．\n说明：注意到2n的增长速度大于n2＋1的增长速度，所以，在观察与归纳的过程中，不能因为从n＝1到n＝4都有Tn≤Sn.就得出Tn≤Sn.的结论，而应该坚信：必存在，使得2n＞n2＋1，从而使得观察的过程继续下去．例9．已知函数f(x)＝x2－3，(x≤－3)(1)求f(x)的反函数f－1(x);(2)记a1＝1,an＝－f－1(an－1)(n≥2),请写出a2,a3,a4的值并猜测想an的表达式.再用数学归纳法证明.解：(1)设y＝f(x)＝x2－3，(x≤－3)，由y2＝x2－3(x≤－)，x＝－y2＋3即f－1(x)＝－x2＋3(x≥0).(2)由a1＝1且an＝－f－1(an－1)(n≥2的整数)，a2＝－f－1(a1)＝－(－a12＋3＝4，a3＝3＋4＝7，a4＝3＋7＝10.依不完全归纳可以猜想到：an＝3n－2(n自然数)下面用数学归纳法予以证明：当n＝1时,a1＝3×1－2＝1命题成立假设n＝k(1≤k≤n)时,命题成立：即ak＝3k－2那么当n＝k＋1时,ak＋1＝－f－1(ak)＝ak2＋3＝(3k－2)＋3＝3(k＋1)－2综上所述,可知对一切自然数n均有an＝3n－2成立.例10．已知数列{an}中，a7＝4，an＋1＝3an＋47－an，．（Ⅰ）是否存在自然数m，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2？（Ⅱ）是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有an－1＋an＋12＜an？解：（Ⅰ）首先考虑能否化简已知条件an＋1＝3an＋47－an，但事实上这一条路走不通，于是，我们转而考虑通过计算一些ak的值来寻找规律．不难得到：\na8＝163，a9＝12，a10＝－8，a11＝－43，a12＝0，a13＝47，可以看出：a8，a9均大于2，从a10到a13均小于2，但能否由此断定当n＞13时，也有an＜2？这就引导我们去思考这样一个问题：若an＜2，能否得出an＋1＜2？为此，我们考查an＋1－2与an－2的关系，易得an＋1－2＝3an＋47－an－2＝5(an－2)7－an．可以看出：当an＜2时，必有an＋1＜2．于是，我们可以确定：当n≥10时，必有an＜2．为了解决问题（Ⅰ），我们还需验证当n＝1，2，……，9时，是否均有an＞2．方法之一是一一验证．即通过已知条件解出：an＝7an＋1－4an＋1+3．由此，我们可以从a7出发，计算出这个数列的第6项到第1项，从而得出结论．另外，得益于上述解法，我们也可以考虑这样的问题：“若an＋1＞2，能否得出an＞2”？由an－2＝7an＋1－4an＋1+3－2＝5(an＋1－2)an＋1+3不难得知：上述结论是正确的．所以，存在m＝10，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2．（Ⅱ）问题等价于：是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有an－1－an＋1－2an＜0．由（Ⅰ）可得：an－1－an＋1－2an＝2(an＋1－2)3(7－an＋1)(3＋an)．我们已经知道：当n≥10时，an＜2，于是(an＜2)3＜0，（7－an）＜0，所以，我们只需考虑：是否存在不小于10的自然数p，使得当n≥p时，总有an＞－3？观察前面计算的结果，可以看出：a10＜－3，a11，a12，a13均大于－3，可以猜想：p＝11即可满足条件．这样的猜想是否正确？我们只需考查an＋1＋3与an＋3的关系：由an＋1＋3＝3an＋47－an＋3＝257－an可知：上述结论正确．另外，如果我们注意到从a11到a13，数列的项呈递增的趋势，则也可以考虑an＋1－an．\n由an＋1－an3an＋47－an－an＝(an－2)27－an＞0，从而得出结论．说明：（1）归纳、猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的，并非无源之水、无本之木．（2）上述分析的过程如果用数学归纳法写出，则相当简洁，但同时也掩盖了思维的过程．四、由递推公式探求数列问题例11．设An为数列{an}的前n项的和，An＝32(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝4n＋3。（1）求数列{an}的通项公式；（2）把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明数列{dn}的通项公式为dn＝32n＋1;（3）设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和，Dn为数列{dn}的前n项和，Tn＝Br－Dn，求Tnan4。解：（1）由An＝32(an－1)，可知An＋1＝32(an＋1－1)∴An＋1－An＝32(an＋1－an)＝an＋1，即an＋1an＝3而a1＝A1＝32(a1－1)，得a1＝3所以数列{an}是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式为an＝3n。（2）∵32n＋1＝3?32n＝3?(4－1)2n＝3×（42n＋C12n?42n－1(－1)＋…＋C2n2
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