高中数学复习资料20139 35页

高中数学复习资料陈驭贤35\n目　　　　录一、三角函数公式　-----------------------------　　3二、求数列通项公式方法-------------------------　　5三、三角函数的最值问题-------------------------　　14四、二面角大小的求法---------------------------　　27五、函数解析式的七种求法-----------------------3335\n一、三角函数公式1.正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）2.余弦定理：a=b+c-2bcb=a+c-2acc=a+b-2ab3.S⊿=a=ab=bc=ac==2R====pr=(其中,r为三角形内切圆半径)4.诱导公试sincostancot--+---+---+--++2--+--2k+++++sincostancot+++++-----++-+--三角函数值等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限35\n5.和差角公式①②③④6.二倍角公式：(含万能公式)①②③④⑤7.半角公式：（符号的选择由所在的象限确定）①②③④⑤⑥⑦⑧8.积化和差公式：9.和差化积公式：①②③④35\n二、求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）例：1已知等差数列满足：，求；2.已知数列满足，求数列的通项公式；（2）累加法1、累加法适用于：若，则两边分别相加得例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。2.已知数列满足，求数列的通项公式。（3）累乘法适用于：若，则两边分别相乘得，例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。2.已知数列满足，，求。（4）待定系数法适用于解题基本步骤：35\n1、确定2、设等比数列，公比为3、列出关系式4、比较系数求，5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例：1.已知数列中，，求数列的通项公式。3.（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足求数列的通项公式；4.已知数列满足，求数列的通项公式。解：设递推公式为（其中p，q均为常数）。先把原递推公式转化为其中s，t满足9.已知数列满足，求数列的通项公式。（5）递推公式中既有分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。1.（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．35\n2.（2005山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．（6）根据条件找与项关系例1.已知数列中，，若，求数列的通项公式2.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，（I）设，求数列的通项公式（7）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。（8）对无穷递推数列消项得到第与项的关系例：1.（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。2.设数列满足，．求数列的通项；（8）、迭代法例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以35\n又，所以数列的通项公式为。（9）、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例：已知数列满足，，求数列的通项公式。解：因为，所以。两边取常用对数得2、换元法适用于含根式的递推关系例：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则二、数列求和1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。公比含字母时一定要讨论(理)无穷递缩等比数列时，35\n例：1.已知等差数列满足，求前项和2.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（　　）A．9B．10C．11D．123.已知等比数列满足，求前项和2．错位相减法求和：如：例：1．求和2.求和：3.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：35\n数列是等差数列，数列的前项和例：1.数列的前项和为，若，则等于（　B　）A．1B．C．D．2.已知数列的通项公式为，求前项的和；3.已知数列的通项公式为，求前项的和．4.已知数列的通项公式为＝，设，求．5．求。6．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。4．倒序相加法求和例：1.求2.求证：3．设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：35\n综合练习：1.设数列满足且（1）求的通项公式（2）设记，证明：2.等比数列的各项均为正数，且，（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前n项和3.已知等差数列满足,.(1)求数列的通项公式及（2）求数列的前n项和4.已知两个等比数列，，满足，，，（1）若求数列的通项公式（2）若数列唯一，求的值5.设数列满足，（1）求数列的通项公式（2）令，求数列的前n项和6.已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；（3）记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.35\n7.已知等差数列满足：，的前n项和（1）求及（2）令（），求数列前n项和8．已知数列中，前和①求证：数列是等差数列②求数列的通项公式③设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。9.数列满足=8，（），（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．35\n三、三角函数的最值问题一、知识要点求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理.基本类型（1）（或）型，利用（或），即可求解，此时必须注意字母的符号对最值的影响.（2）型，引入辅助角，化为，利用函数即可求解.（3）（或）型，可令（或），，化归为闭区间上二次函数的最值问题.（4）（或）型，解出（或）利用（或）去解；或用分离常数的方法去解决.（5）（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当时，还可以利用数形结合的方法去处理.（6）对于含有的函数的最值问题，常用的方法是令将转化为的关系式，从而化归为二次函数的最值问题.（7）在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行讨论.二、例题精析例1、已知，若且，求的取值范围.35\n练习1、函数有最大值2，最小值-1，则实数=，=.练习2、已知函数.（1）若，求函数的值；（2）求函数的值域.例2、求函数的最大值.练习3、求函数的值域.35\n例3、求函数（为常数）的最大值；并求出当时，的最小值.练习4、求函数的最大值与最小值.例4、求函数的最大值练习5、函数的最大值为最小值为35\n例5、若，且和满足条件.（1）用表示；（2）求的最大值.练习6、已知是关于的方程的两个实根，求的最小值.例6、实数满足，设，则的值为.35\n例7、设实数满足，求的最值.练习7、实数满足方程，则的最大值与最小值的和等于.练习8、求函数的最大、最小值.例8、设，使不等式成立，求的取值范围.35\n练习9、定义在上的减函数使得对一切成立，求实数的范围.三、巩固练习：1、当时，函数的最小值为（）（A）2（B）（C）4（D）2、已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是()(A)1(B)－1(C)2k＋1(D)－2k＋13、设，对于函数，下列结论正确的是（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值4、已知函数,则的值域是（）(A)(B)(C)(D)35\n5、函数y=sin2+4sinx,x的值域是（）(A)［-,］(B)［-,］(C)［］　(D)［］6、设函数为常数）的最大值为1，最小值为-7，那么的最大值是.7、设实数x,y,m,n满足m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是常数，且ab)，那么mx+ny的最大值是.8、已知函数，.求:(I)函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；(II)函数的单调增区间.9、求函数＝2＋的值域和最小正周期．35\n三角函数的最值参考答案二．例题精析例1、解：因为，所以所以又因为，所以于是解得练习1、解：（其中）当时，有，即，当时，有，即，解得。练习2、解：（1），.（2），，函数的值域为.例2、解法一：将原函数变形得35\n得（其中由决定），，应用，解得。又，则，故欲求函数的最大值为。解法二：设则原函数变成，得利用判别式即又解得，故的最大值为。此时，即解法三：由解法二，设则即易知函数在区间为减函数，在上为增函数，故的最小值为。的最大值为，此时，即。解法四：的值可看作是过点和两点的直线的斜率，点A在半圆上运动，作图可知的范围是所以的最大值为。练习3、解答：例3、解：，故当最小时，最大。35\n（1）若，则当时，最小，所以；（2）若，则当时，最小，此时；（3）若，则当时，最小，此时。练习4、解：当，即时，，当，即时，。例4、解：令，则，的最大值为练习5、解：最大值为，最小值为0。例5、解：（1）（2）令，则，即且，解得。故的最大值是。35\n练习6、解法一：由及可得①另外，由题意还可知解得②再由①可得结合②，可知，当时，有最小值例6、解：填。理由：易知设，代入，得于是得，从而故。例7、解：设，得，即，则，于是从而35\n（1）当时，即或，因此，当时，；当时，（2）当时，即时，，因此，当时，；当时，。综上可知，，练习7、解：填24。理由：题设方程配方为，于是可设，即，则，故练习8、解：因，可令，则原函数式变为，其中由确定，从而例8、解：由题意得恒成立，35\n所以所以的取值范围为练习9、解：只要恒成立，由得，由，只要不小于的最大值0和不大于的最小值，解，得三、巩固练习：1、D2、A3、B4、解析：即等价于，故选择答案C。5、解：，故选择C。6、57、8、(I)解法一:当,即时,取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为.解法二:35\n当,即时,取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为.9、解∴函数的值域是,最小正周期是；35\n二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：　　　　　　　　　　　　一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；POBA例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。35\n二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。　　例、(2003北京春)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.ABCDA1B1C1D1EO35\n例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小CDPMBA例、(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：二面角A1－AB－B1的大小.图4B1AA1BLEF35\n三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；PlCBA例、空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。　　　　　　　35\n例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。AHMD1C1B1A1BCD五、平移或延长（展）线（面）法对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。35\n函数解析式的七种求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1设是一次函数，且，求解：设，则二、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。例2已知，求的解析式解：，三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3已知，求解：令，则，35\n四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式解：设为上任一点，且为关于点的对称点则，解得：，点在上把代入得：整理得五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5设求解①显然将换成，得：②解①②联立的方程组，得：例6设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式35\n解为偶函数，为奇函数，又①，用替换得：即②解①②联立的方程组，得，六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例7已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求解对于任意实数x、y，等式恒成立，不妨令，则有再令得函数解析式为：七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数都有，求解，不妨令，得：，又①分别令①式中的得：35\n将上述各式相加得：，35