高中数学必修4复习资料 14页

高中数学必修4复习资料知识清单：1、任意角的概念、象限角、终边相同的角。2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为二象限第三象限第四象限终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．7、弧度制与角度制的换算公式：，，．8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．PvxyAOMT11、三角函数线：，，．12、同角三角函数的基本关系：；．13、三角函数的诱导公式：（口诀：奇变偶不变，符号看象限．）14\n，，．，，．，，．，，．，．，．14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．函数的性质：①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：14\n函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为的向量．单位向量：长度等于个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．14\n相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：．⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．⑸坐标运算：设，，则．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．19、向量数乘运算：⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．⑵运算律：①；②；③．⑶坐标运算：设，则．20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．23、平面向量的数量积：14\n⑴．零向量与任一向量的数量积为．⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．⑶运算律：①；②；③．⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．若，则，或．设，，则．设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸（）；⑹（）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(1)．（2）(3)(4)（，）．26、，其中．基础训练题一．选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°2、角α的终边落在区间（－3π,－π）内,则角α所在象限是（）14\nA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、已知角α的终边过点P（－1,2）,cos的值为（）A．－B．－C．D．4、如果则的取值范围是（）A．B．C．D．5、函数的图象可看作是函数的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（　　）.　A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位6、与函数图象不相交的一条直线是（）.A．B．C．D．7、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（）A．sinB．cosC．tanD．8、已知sinαcosα=,则cosα－sinα的值等于（）A．±B．±C．D．－9、如果角满足,那么的值是（）A．B．C．D．10、sin·cos·tan的值是（）A．－B．C．－D．11、已知那么（）A．B．C．D．12、已知，那么的值为　（　　）A.　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.14\n13、的值是（）A.2B.4C.8D.1614、函数的定义域为（）.A．B．C.D．且二．填空题15、函数的周期是________________________.16、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是__________．17、若，则的值为____________．18、已知sintan≥0，则的取值集合为．19、函数的图象的对称轴方程是20、函数的最小正周期是21、已知sinθ+cosθ＝(0＜θ＜π，则cos2θ的值为22、记，（、、、均为非零实数），若，则=1---7：BCACDCB8---14:BDACABB15、。16、；17、；18、19、；20、；21、；22、；三.解答题23、若函数，⑴画出函数在区间上的简图；⑵指出函数在区间上的单调区间及单调性，最大值和最小值．解：⑴列表：14\n0010–1010121描点、连线成图：．⑵单调递增区间：；单调递减区间：，．24、已知,求的值.25、已知为第二象限角，解：26、求值:解：原式=14\n27、⑴化简；解：原式===．⑵证明：．证：左边====右边．故原命题成立。28、已知，是方程的两根，求的值．解：∵，是方程的两根，由韦达定理得：∴=．29、已知A、B、C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C，其中，（1）若，求角的值；（2）若，求的值。解：（1）由题意；，化简得14\n又（2）由得：化简得：于是：平面向量基础训练题一、选择题1．若向量=（1，1），=（1，-1），=（-1，2），则等于（）A．B．C．D．2．若取两个互相垂直的单位向量i，j为基底,且已知a=3i+2j,b=i-3j,则5a与3b的数量积等于（）A．–45B．45C．–1D．13．O是ΔABC所在的平面内的一点，且满足（-）·（+-2）=0，则ΔABC的形状一定为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．斜三角形4．下面的四个命题：①；②；③若；④若其中真命题是（）A．①②B．③④C．①③D．②④5．将抛物线的图象按向量平移，使其顶点与坐标原点重合，则=（）A．（2，-3）B．（-2，-3）C．（-2，3）D．（2，3）6．下列四个命题，其中正确的个数有（）①对于实数m和向量②对于实数m,n和向量③若④若A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知，则向量在向量上的投影为（）A．B．3C．4D．58．已知向量=（3，-2），=（-5，-1），则等于（）14\nA．（8，1）B．（-8，1）C．（4，-）D．（-4，）9．已知|p|=，|q|=3，p，q的夹角为，则以a=5p+2q，b=p-3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A．15B．C．14D．1610．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a·b等于（）A．1B．2C．-1D．-211．若|a|=|b|=1，a⊥b且2a+3b与ka-4b也互相垂直，则实数k的值为（）A．-6B．6C．-3D．312．设a、b、c为平面向量，下面的命题中：①a·（b-c）=a·b-a·c；②（a·b）·c=a·(b·c)；③（a-b）2=|a|2-2|a|·|b|+|b|2；④若a·b=0，则a=0或b=0。正确的个数是（）A．3B．2C．1D．0BACBACADACBC二、填空题13．已知e是单位向量，求满足a∥e且a·e=－18的向量a=_______.14．设a=(m+1)i－3j，b=i+(m－1)j，(a+b)⊥(a－b),则m=______.15．若·+=0，则ΔABC的形状为。16．把函数的图象按向量a平移，得到的图象，且a⊥b，c=（1，-1），b·c=4，则b=。13．－18e14．－215．直角三角形16．（3，-1）17、若，，则的数量积为.18、向量与共线且方向相同，则=　　　　　　.19、已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_________.20、已知=(－3，4)，若＝1，⊥，则=.21、非零向量和满足：，则与的夹角等于.22、已知||=10，||=12，且（3）·（）=－36，则与的夹角是.23、如果＝1，＝2，与的夹角为，则等于.三、解答题24．已知向量a=e1-e2，b=4e1+3e2，其中e1=（1，0），e2=（0，1）。（Ⅰ）试计算a·b及|a+b|的值；（Ⅱ）求向量a与b的夹角的余弦值。解：（Ⅰ）a=（1，0）-（0，1）=（1，-1），b=（4，0）+（0，3）=（4，3）。a·b=（1，-1）·（4，3）=1；|a+b|=|（5，2）|=。（Ⅱ），。25．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.（Ⅰ）求证：（a－b）⊥c；（Ⅱ）若|ka+b+c|>1（k∈R），求k的取值范围.解（Ⅰ）且a、b、c之间的夹角均为120°，…3分.14\n（Ⅱ）26．已知f（A,B）=。（Ⅰ）设A、B、C为ΔABC内角，当f（A,B）取得最小值是，求∠C；（Ⅱ）当A+B=且A、B∈R时，y=f（A,B）的图象通过向量p的平移得到函数y=2cos2A的图象，求向量p。解：（Ⅰ）f（A·B）=。由题意∴∠C=或∠C=。（Ⅱ）∵A+B=，∴2B=-2A，∴f（A·B）=cos2A-sin2A+3=2cos（2A+）+3=2cos2（A+）+3，∴p=（，-3）。27．平面直角坐标系内有点P（1，cosx），Q（cosx，1），。（Ⅰ）求向量和的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；（Ⅱ）求θ的最值。解：（Ⅰ）∵·=2cosx，||·||=，∴cosθ==f（x）。（Ⅱ）cosθ=f（x）=。∵，∴，2≤≤，≤f（x）≤1，即≤cosθ≤1。arccos，=0。28．已知a=（cos，sin），b=（cos，sin），a与b之间有关系式|ka+b|=|a-ka|，其中k>0。（Ⅰ）用k表示a·b；（Ⅱ）求a·b的最小值，并求此时a与b的夹角θ的大小。解：（Ⅰ）由|ka+b|2=|a-ka|2得，8ka·b=（3-k2）a2+（3k2-1）b2。14\n∴a·b=。∵a=（cos，sin），b=（cos，sin），∴a2=1，b2=1，∴a·b=。（Ⅱ）∵k>0，k2+1>2k，即≥，∴a·b的最小值为。∵a·b=|a|·|b|cosθ，∴cosθ=，θ=，此时a与b的夹角为。29．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（Ⅰ）若||，且，求的坐标；（Ⅱ）若||=且与垂直，求与的夹角θ.解：（Ⅰ）设由∴　或∴（Ⅱ）……（※）代入（※）中,30、已知函数（1）求函数f(x)的单调递增区间（2）若求的值14\n31、已知（其中函数，若直线是函数图像的一条对称轴，（1）求的值（2）作出在区间的图像32、已知（1）若求的值（2）记，在中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，且满足求的取值范围14