概率高中数学专题复习资料 10页

高三数学专题复习专题25：概率【复习要点】本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化.主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维.【例题】【例1】已知甲、乙两名篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.8．（1）如果每人各投篮一次，求甲、乙两人中至少一人进球的概率；（2）如果两人比赛，各投篮2次，求甲战胜乙的概率．解：设甲、乙两名篮球运动员投篮进球分别记为事件，则为独立事件．（1）或（2）甲战胜乙有1比0、2比0、2比1三种情形，．【例2】排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率都相等且分别为和.（1）前2局中B队以2:0领先，求最后A、B队各自获胜的概率；（2）B队以3:2获胜的概率．解：（1）设最后A获胜的概率为设最后B获胜的概率为（2）设B队以3:2获胜的概率为．【例3】如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2.\n解：记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C，由已知条件P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90.(1)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N1正常工作的概率为0.648(2)系统N2正常工作的概率P2=P(A)·［1－P()］=P(A)·［1－P()P()］=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792故系统N2正常工作的概率为0.792【例1】有A、B两个箱子，A箱中有6张相同的卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；B箱中有7张相同的卡片，其中四张写有0，一张写有1，两张写有2，现从A箱中任取1张，从B箱中任取2张，共3张卡片。求：（1）3张卡片都写有0的概率；（2）3张卡片中数字之积为0的概率。解：（1）（2）【例2】袋里装有35个球，每个球上都标有从1到35的一个号码，设号码n的球重（克）．这些球以等可能性（不受重量的影响）从袋里取出．（1）如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果同时任意取出二球，试求它们重量相同的概率．解：（1）由不等式得n＞15，n＜3，由题意知n＝1，2，或n＝16，17，…，35．于是所求概率为　（2）设第n号与第m号的两个球的重量相等，其中n＜m，则有，所以，因为n≠m，所以n＋m＝15，（n，m）＝（1，14），（2，13），…（7，8），\n但从35个球中任取两个的方法数为，故所求概率为【例1】已知：有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（Ⅰ）事件A：指定的4个房间各有1人；（Ⅱ）事件B：恰有4个房间各有1人；（Ⅲ）事件C：指定的某个房间有2人。解：由于每人可进住任1房间，进住哪间房是等可能的，每人都有6种等可能的方法，根据乘法原理，4人进住6个房间共有64种方法（1）指定的4个房间各有1人，有种方法，（2）从6间中选出4间有种方法，4个人每人去1间有种方法，（3）从4人中选2个人去指定的某个房间，共有种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任1间,因而有52种种方法。【例2】一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m（0＜m＜1如图，有如下三种联接方法：①②③（1）分别求出这三种电路各自接通的概率；（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.解：（1）三种电路各自接通分别记为事件A1、A2、A3，则P（A1）=m3P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m）∵0＜m＜1∴P（A2）＞P（A1）P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0∴P（A2）＞P（A3）三个电子元件并联接通的概率最大，故性能最优\n【例1】某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．解：(1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为种，＇其中次品数不超过1件有种，被检验认为是合格的概率为．(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为．答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为．【例2】某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班.若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为\n=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]=1－；同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P（路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小.（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3.答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为【例1】某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ζ是一个随机变量，它的分布列如下：ζ123……12P……设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费用100元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？解：设x为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑1≤x≤12的情况，设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量ζ的函数且y=,电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为：Ey=300x(Px+Px+1+…+P12)+［300－100(x－1)］P1+［2×300－100(x－2)］P2+…+［300(x－1)－100］Px－1\n=300x(12－x+1)+［300×］=(－2x2+38x)由于x∈N,故可求出当x=9或x=10时，也即电器商月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.【例1】袋中装有3个白球和4个黑球，现从袋中任取3个球，设ξ为所取出的3个球中白球的个数．（I）求ξ的概率分布；（II）求Eξ．解：（I）ξ的可能取值为0，1，2，3.∵P（ξ＝0）＝＝；P（ξ＝1）＝＝；P（ξ＝2）＝＝；P（ξ＝3）＝＝.∴ξ的分布列为：ξ0123P（II）Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.【例2】甲，乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环。他们的这次成绩画成频率直方分布图如下：击中频率击中频率0.30.20.150.350.278910击中环数78910击中环数甲乙（1）根据这次比赛的成绩频率直方分布图推断乙击中8环的概率\n，以及求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；（2）根据这次比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.解（1）由图可知，，所以=1—0.2—0.2—0.35=0.25同理，，所以因为所以甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率P==0.65×0.55=0.3575(2)因为=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7>所以估计甲的水平更高.【例1】有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下：［10，15］4［30，359［15，205［35，408［20，2510［40，453［25，3011(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.解：(1)由所给数据，计算得如下频率分布表数据段［10,15［15,20［20,25［25,30［30,35［35,40［40,45总计频数45101198350频率0.080.100.200.220.180.160.061累积频率0.080.180.380.600.780.941(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下：\n【概率练习】一、选择题1、甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()2、已知随机变量ζ的分布列为：P(ζ=k)=,k=1,2,3,则P(3ζ+5)等于()A.6B.9C.3D.4二、填空题3、1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望Eζ=_________.4、某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________.三、解答题5、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率.6、已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f(x)=(1)求常数a的值，并画出ζ的概率密度曲线；(2)求P(1＜ζ＜）.7、设P在［0,5］上随机地取值，求方程x2+px+=0有实根的概率.\n参考答案一、1.解析：设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生.故目标被击中的概率为1－P(··)=1－答案：A2.解析：Eξ=(1+2+3)·=2，Eξ2=(12+22+32)·=∴Dξ=Eξ2－(Eξ)2=－22=.∴D(3ξ+5)=9Eξ=6.答案：A二、3.解析：由条件知，ξ的取值为0，1，2，3，并且有P(ξ=0)=,答案：0.34.解析：因为每组人数为13，因此，每组选1人有C种方法，所以所求概率为P=.答案：三、5.解：(1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A，“乙射击一次击中目标”叫做事件B.显然事件A、B相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36答：两人都击中目标的概率是0.36(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是P(A·)=P(A)·P()=0.6×(1－0.6)=0.6×0.4=0.24甲未击中、乙击中的概率是P(·B)=P()P(B)=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件A·与·B互斥，所以恰有一人击中目标的概率是P(A·)+P(·B)=0.24+0.24=0.48答：其中恰有一人击中目标的概率是0.48.\n(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P=P(A·B)+［P(A·)+P()·B］=0.36+0.48=0.84答：至少有一人击中目标的概率是0.84.6.解：(1)因为ξ所在区间上的概率总和为1，所以(1－a+2－a)·1=1,∴a=概率密度曲线如图：(2)P(1＜ξ＜)=7.解：一元二次方程有实数根Δ≥0而Δ=P2－4()=P2－P－2=(P+1)(P－2)解得P≤－1或P≥2故所求概率为P=