高中-数学选修2-1模块复习资料 71页

-模块复习提升课一　常用逻辑用语,　　　　　　　　[学生用书P76])1．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若¬p，则¬q逆否命题若¬q，则¬p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)分类①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；②充分不必要条件：p⇒q，qp；--\n-③必要不充分条件：q⇒p，pq，④既不充分也不必要条件：pq，且qp.3．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，¬p.(2)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断．p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与¬p必定是一真一假．4．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题．全称量词用符号“∀”表示．全称命题用符号简记为∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与特称命题．存在量词用符号“∃”表示．特称命题用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．5．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p，则q”，则该命题的否命题是“若¬p，则¬q”；命题的否定为“若p，则¬q”．2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如“a＝0”是“a·b＝0”的充分不必要条件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分条件．--\n-3．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．　四种命题及其关系[学生用书P76]　设命题为“若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0有实数根”，该命题的否定、逆命题、否命题和逆否命题中假命题的个数为________．【解析】　命题的否定：若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题；逆命题：若关于x的方程x2－x－k＝0有实数根，则k＞0.假命题；否命题：若k≤0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根，则k≤0.真命题．【答案】　3四种命题的写法及其真假的判断方法(1)四种命题的写法①明确条件和结论：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题；②应注意：原命题中的前提不能作为命题的条件．(2)简单命题真假的判断方法①直接法：判断简单命题的真假，通常用直接法判断．用直接法判断时，应先分清条件和结论，运用命题所涉及的知识进行推理论证；　②间接法：当命题的真假不易判断时，还可以用间接法，转化为等价命题或举反例．用转化法判断时，需要准确地写出所给命题的等价命题．　写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x--\n-＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题．否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．　充分、必要条件的判断及应用[学生用书P77]　(1)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(　　)A．充要条件　B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x＜a}，则“a＞5”是“A⊆B”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】　(1)由正弦定理，知a≤b⇔2RsinA≤2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔sinA≤sinB．故选A.(2)A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，所以A⊆B⇔a＞4，而a＞5⇒a＞4，且a＞4a＞5，所以“a＞5”是“A⊆B”的充分不必要条件．【答案】　(1)A　(2)A判断充分、必要条件的方法集合法：即看集合A和B的包含关系．①若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．　②若AB，则A是B的充分不必要条件；③若AB，则A是B的必要不充分条件；④若A＝B，则A，B互为充要条件；⑤若AB，且AB，则A是B的既不充分也不必要条件．--\n-　已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．解：设A＝{x|x2－8x－20>0}＝{x|x<－2或x>10}，B＝{x|x2－2x＋1－a2>0}＝{x|x<1－a或x>1＋a}，由于p是q的充分而不必要条件，可知AB.从而或解得01，logax0＞0(a>1)，所以命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝综上可知，“p或q”是假命题，故选B.(2)若p为真命题，则－2－a＜1＜a，解得a＞1.若q为真命题，则－2－a＜2＜a，解得a＞2.依题意得p与q一真一假，若p真q假，则即1＜a≤2.若p假q真，则a不存在．--\n-综上1＜a≤2.【答案】　(1)B　(2)(1，2]判断含有逻辑联结词的命题真假的方法(1)先确定简单命题p，q.(2)分别确定简单命题p，q的真假．(3)利用真值表判断所给命题的真假．　　1.已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中(其中公差d≠0)，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)，则下面选项中真命题是(　　)A．¬p∧¬qB．¬p∨¬qC．¬p∨qD．p∧q解析：选B.对于命题p，如图所示作出函数y＝ax(a>1)与y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a>1时，函数y＝ax的图象在函数y＝logax图象的上方，即a>1时，ax>logax恒成立，故命题p为真命题．对于命题q，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充要条件，故命题q为假命题．所以¬p为假，¬q为真，所以p∧q为假，¬p∨q为假，¬p∧¬q为假，¬p∨¬q为真．2．设命题p：c2＜c和命题q：∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，则实数c的取值范围是________．解析：解不等式c2＜c，得0＜c＜1，即命题p：0＜c＜1，所以命题¬p：c≤0或c≥1.又由(4c)2－4＜0，得－＜c＜，--\n-即命题q：－＜c＜，所以命题¬q：c≤－或c≥，由p∨q为真，知p与q中至少有一个为真，由p∧q为假，知p与q中至少有一个为假，所以p与q中一个为真命题，一个为假命题．当p真q假时，实数c的取值范围是≤c＜1.当p假q真时，实数c的取值范围是－＜c≤0.综上所述，实数c的取值范围是－＜c≤0或≤c＜1.答案：∪　全称命题与特称命题[学生用书P78]　(1)命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是(　　)A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1(2)若命题“∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】　(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即lnx≠x－1，故选A.(2)因为∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0是真命题，所以方程x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等实根，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1.【答案】　(1)A　(2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)全称命题、特称命题真假判断--\n-(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题为假．　　1.已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则¬p为(　　)A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1解析：选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1的否定是¬p：∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.2．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)A．B．C．(0，3]D．[3，＋∞)解析：选D.由函数的性质可得函数f(x)＝x2－2x的值域为[－1，3]，g(x)＝ax＋2的值域是[2－a，2＋2a]．因为∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，所以[－1，3]⊆[2－a，2＋2a]，所以解得a≥3.--\n-,　　　　　　　　[学生用书P147(单独成册)])[A　基础达标]1．命题“若a>0，则a2>0”的逆命题是(　　)A．若a>0，则a2≤0　　B．若a2>0，则a>0C．若a≤0，则a2>0D．若a≤0，则a2≤0解析：选B.交换原命题的条件和结论即可得其逆命题．2．若命题p：x＝2且y＝3，则¬p为(　　)A．x≠2或y≠3B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3D．x≠2或y＝3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p：x≠2或y≠3.故选A.3．下列表述错误的是(　　)A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβB．命题“若a∈M，则b∉M”的等价命题是“若b∈M，则a∉M”C．“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件D．对任意的φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数解析：选D.当α＝0，β＝时，tan＝tan0＋tan成立，故选项A正确．对于选项B、C，显然正确．在D中，存在φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋φ)是偶函数，D错误．4．设p：log2x<0，q：>1，则p是q的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p：log2x<0⇔01⇔x<1，所以p⇒q但qp，所以p是q的充分不必要条件，故选B.5．已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lgx0，命题q：∀x∈R，x2>0，则(　　)A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(¬q)是真命题D．命题p∨(¬q)是假命题解析：选C.当x＝10时，x－2＝8，lgx＝lg10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，可知命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，¬q是真命题，进而得到命题p∧(¬q)是真命题，命题p∨(¬q)是真命题．故选C.6．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac＞0”的一个等价命题：________________．解析：一个命题与其逆否命题是等价命题．答案：若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不均大于07．给出下列三个命题：①当m＝0时，函数f(x)＝mx2＋2x是奇函数；②若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③已知x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1.其中为真命题的是________(填序号)．解析：①中，当m＝0时，f(x)＝mx2＋2x＝2x是奇函数，故①是真命题；②中，取a＝b＝0，c＝1，满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，故②不是真命题；③的逆否命题为“已知x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”是真命题，所以原命题也是真命题，即③是真命题．答案：①③8．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0.若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是________．解析：p：－4＜x－a＜4，--\n-即a－4＜x＜a＋4；q：(x－2)(3－x)＞0，即2＜x＜3，所以¬p：x≤a－4或x≥a＋4，¬q：x≤2或x≥3；而¬p是¬q的充分条件，所以解得－1≤a≤6.答案：[－1，6]9．指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；(3)p：0－2或x<3}＝R，{x|x2－x－6<0}＝{x|－2－2或x<3}⃘{x|－2－2或x<3}．所以p是q的必要不充分条件．(2)因为a、b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数a、b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根⇔⇔⇔⇔0m2＋－1的解集是R；q：幂函数f(x)＝x7－3m在(0，＋∞)上是减函数．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求m的取值范围．解：因为“p且q”是假命题，所以p，q中至少有一个是假命题．因为“p或q”是真命题，所以p，q中至少有一个是真命题．故p和q两个命题一真一假．--\n-若p真，则2m2＋m－2<－1，即2m2＋m－1<0，所以－1.p真q假时，－1.所以m的取值范围是∪.[B　能力提升]11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)＞0的一个必要不充分条件是(　　)A．x＜0B．x＜0或x＞4C．|x－1|＞1D．|x－2|＞3解析：选C.由x2－4x＞0有x＞4或x＜0，故f(x)＞0的必要不充分条件中x的取值范围应包含集合{x|x＞4或x＜0}，验证可知，只有C选项符合．12．下列选项中叙述错误的是(　　)A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为假命题B．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件C．若“p∨q”为假命题，则“(¬p)∧(¬q)”也为假命题D．若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：∃x0∈R，x＋x0＋1＝0解析：选C.对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于B，由x＞2可得x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2)＞0，反过来，由x2－3x＋2＞0不能得知x＞2，因此“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；对于C，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，所以“(¬p)∧(¬q)”是真命题；对于D，命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：∃x0∈R，x＋x0＋1＝0，综上所述，选C.--\n-13．已知a＞0，函数f(x)＝ax－bx2.(1)当b＞0时，若对任意x∈R，都有f(x)≤1，证明：a≤2；(2)当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.证明：(1)此题等价于对所有x∈R有ax－bx2≤1，即bx2－ax＋1≥0，因为b＞0，所以Δ＝a2－4b≤0.又因为a＞0，所以a≤2.(2)①必要性：设对所有x∈[0，1]，有|f(x)|≤1，即－1≤ax－bx2≤1.令x＝1∈[0，1]，则有－1≤a－b≤1，即b－1≤a≤b＋1.因为b＞1，所以－≤≤＋.这说明∈[0，1]．所以f≤1，即－b·≤1.所以a2≤4b，a≤2.综上所述，有b－1≤a≤2.②充分性：设b－1≤a≤2.因为b＞1，所以＝·＜1.所以当x∈[0，1]时f(x)的最大值为f(x)max＝f＝a·－b·＝＜1.又因为f(x)的图像是开口向下的抛物线，所以当x∈[0，1]时，f(x)的最小值f(x)min＝min{f(0)，f(1)}＝min{0，a－b}≥－1.--\n-所以当x∈[0，1]时，|f(x)|≤1.综合①②可知，当b＞1时，对任意x∈[0，1]有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.14．(选做题)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①对任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②存在x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，求m的取值范围．解：将①转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0解集的子集求解；②转化为f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．若g(x)＝2x－2<0，则x<1.又因为对任意x∈R，g(x)<0或f(x)<0，所以[1，＋∞)是f(x)<0的解集的子集．又由f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0知，m不可能大于或等于0，因此m<0.当m<0时，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0.当2m＝－m－3，即m＝－1时，f(x)<0的解集为{x|x≠－1}，满足条件．当2m>－m－3，即－12m或x<－m－3}．依题意2m<1，即m<，所以－1－m－3}．依题意－m－3<1，即m>－4，所以－40，即f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．又m<0，则(x－2m)(x＋m＋3)<0.由①的解法知，当－1－m－3，即－m－3<－4，所以m>1，此时无解．当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2恒小于或等于0，此时无解．--\n-当m<－1时，2m<－m－3，即2m<－4，所以m<－2.综合①②可知满足条件的m的取值范围是－4b>0)－＝1或－＝1(a>0，b>0)y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x无限延展，没有渐近线，有准线变量范围|x|≤a，|y||x|≥a--\n-≤b或|y|≤a，|x|≤b或|y|≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e＝，且01e＝1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2．椭圆的焦点三角形设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S＝b2tan.(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.3．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x；双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x.(2)如果双曲线的渐近线为±＝0时，--\n-它的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．4．特殊的两个双曲线(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线．与－＝1具有相同渐近线的双曲线系方程为－＝k(k≠0)．(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距．(3)等轴双曲线方程一般设为x2－y2＝a2(或y2－x2＝a2)．5．抛物线方程的设法对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．6．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论．(1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p.(2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p.(3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p(4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a中，应有2a>|F1F2|，双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2a中，应有2a<|F1F2|，抛物线定义中，定点F不在定直线l上．2．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．3．由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时，椭圆看分母的大小，双曲线看x2，y2系数的符号．4．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．　轨迹问题[学生用书P79]　(1)已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P--\n-为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·.则动点P的轨迹C的方程为________．(2)如图所示，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆O：x2＋y2＝t，bb>0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则这一椭圆的离心率是(　　)A．　B．C．D．(2)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(　　)A．2B．2C．4D．4【解析】　(1)ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝＝.--\n-(2)双曲线的一条渐近线方程为－＝0，即bx－ay＝0，焦点(c，0)到该渐近线的距离为＝＝，故b＝，结合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4.【答案】　(1)A　(2)C求解离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．　　1.过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．解析：设直线方程为y＝(x－c)，由得x＝，由＝2a，e＝，解得e＝2＋(e＝2－舍去)．--\n-答案：2＋2．已知抛物线x2＝8y的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离为，点P是抛物线x2＝8y上的一动点，P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为__________．解析：抛物线焦点为F(0，2)，准线为y＝－2，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，依题意可得＝，即＝，又P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，所以|PF|＋|PF2|≥|FF2|＝3，在Rt△FOF2中，|OF2|＝＝，所以c＝，所以a＝2，b＝1，所以双曲线方程为－y2＝1.答案：－y2＝1　直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P81]　已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．【解】　(1)|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，--\n-所以a＝，e＝＝，所以c＝×＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)由第一问知F2(1，0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为y＝k(x－1)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立直线与椭圆的方程化简得：(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝，所以AB的中点坐标为，①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－＝－，因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：＋＝，即2k2－7k＋＝0，解得k＝或k＝.②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．所以斜率k的取值为0，，.直线与圆锥曲线关系问题的求解方法--\n-(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种：①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故“Δ>0”是“直线与双曲线相交”的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等许多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；(3)在(2)的条件下，求△OAB面积的最大值．解：(1)因为椭圆的右焦点为(，0)，离心率为，所以--\n-所以a＝，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB斜率存在时，直线AB的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程，消元可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，因为以AB为直径的圆经过坐标原点，所以·＝0.所以x1x2＋y1y2＝0，所以(1＋k2)－km×＋m2＝0，所以4m2＝3(k2＋1)．所以原点O到直线的距离为d＝＝，当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1＝x2，y1＝－y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点，所以·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，所以x－y＝0，因为x＋3y＝3，所以|x1|＝|y1|＝，所以原点O到直线的距离为d＝|x1|＝，综上，点O到直线AB的距离为定值．(3)当直线AB斜率存在时，由弦长公式可得|AB|＝|x1－x2|--\n-＝＝≤＝2，当且仅当k＝±时，等号成立，所以|AB|≤2，当直线AB斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|＝<2，所以△OAB面积＝|AB|d≤×2×＝，所以△OAB面积的最大值为.,　　　　　　　　[学生用书P149(单独成册)])[A　基础达标]1．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1，4)，则焦点坐标为(　　)A．(1，0)　B．C．D．(0，1)解析：选C.因为抛物线过点(1，4)，所以4＝2a，所以a＝2，所以抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为.故选C.2．设k<3，k≠0，则下列关于二次曲线－＝1与＋--\n-＝1的说法正确的是(　　)A．它们表示的曲线一条为双曲线，另一条为椭圆B．有相同的顶点C．有相同的焦点D．有相同的离心率解析：选C.当00且3－k>－k，所以＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．a2＝3－k，b2＝－k.所以a2－b2＝3＝c2，与已知椭圆有相同焦点．3．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝|PF2|，则此双曲线的离心率为(　　)A．B．C．＋1D．3解析：选C.由题知PF1⊥PF2，则得＝＋1.故选C.4．已知点P是椭圆16x2＋25y2＝400上一点，且在x轴上方，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为－4，则△PF1F2的面积是(　　)A．24B．12--\n-C．6D．3解析：选C.椭圆16x2＋25y2＝400的标准方程是＋＝1，F1(－3，0)、F2(3，0)．直线PF2的方程为y＝－4(x－3)．由点P在x轴上方和方程组可得P点的坐标是.所以S△PF1F2＝×6×2＝6.5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)A．±B．±C．±1D．±解析：选C.由题设，得A1(－a，0)，A2(a，0)，F(c，0)．将x＝c代入双曲线方程，解得y＝±.不妨设B(c，)，C(c，－)，则kA1B＝，kA2C＝，根据题意，有·＝－1，整理得＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.6．已知直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，椭圆C的上顶点为抛物线x2＝4y的焦点，则椭圆C的方程为________．解析：根据题意，直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：--\n-＋＝1(a>b>0)的右焦点F，所以F(1，0)，所以c＝1.又因为椭圆C的上顶点为抛物线x2＝4y的焦点，所以b＝，b2＝3，所以a2＝b2＋c2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝17．已知点A(4，0)，M是抛物线y2＝6x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为________．解析：设M(，y1)，则|MA|2＝(－4)2＋y＝y－y＋16＝(y－6)2＋15≥15，当且仅当y＝6，即y1＝±，x1＝＝1时，|MA|取最小值，此时M(1，±)．答案：(1，±)8．椭圆＋＝1上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足＝(＋)(O为坐标原点)，则||＝________．解析：设F1为右焦点，因为||＝6，所以||＝10－6＝4，又＝(＋)，所以M为PF的中点，所以OM为△FPF1的中位线，所以||＝||＝2.答案：29．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一内接△OAB，O--\n-为坐标原点，若·＝0，直线OA的方程为y＝2x，且|AB|＝4，求抛物线方程．解：由解得A，又·＝0，所以OA⊥OB，故直线OB的方程为y＝－x.由联立得B(8p，－4p)．因为|AB|＝4，所以＋(p＋4p)2＝16×13，所以p＝，所以抛物线方程为y2＝x.10．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，|AB|＝2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P(x0，y0)满足＝＋2，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－，求证：x＋2y为定值．解：(1)由e2＝＝，得a2＝2b2，因为过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝2，所以由椭圆的对称性，知该直线过点(c，1)或(－c，1)，且点(±c，1)在椭圆上，即＋＝1，--\n-即＋＝1，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则kOM·kON＝·＝－，化简得x1x2＋2y1y2＝0.因为M，N是椭圆上的点，所以＋＝1，＋＝1，即有x＋2y＝4，x＋2y＝4，由＝＋2，得，所以x＋2y＝(x1＋2x2)2＋2(y1＋2y2)2＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)＝4＋4×4＋0＝20.即x＋2y为定值．[B　能力提升]11．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)A．y2＝xB．y2＝－xC．y2＝±xD．y2＝±x解析：选C.因为△AOB为边长等于1的正三角形，所以O到AB的距离为，A或B到x轴的距离为.当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为抛物线过点，--\n-所以＝2p·，所以2p＝.所以抛物线的方程为y2＝x.当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时，设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．因为抛物线过点，所以＝－2p·，所以2p＝.所以抛物线的方程为y2＝－x.12．点F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线作垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B.若2＝，则双曲线C的离心率是________．解析：由题意得双曲线C的右焦点为F(c，0)，记一条渐近线OA的方程为y＝x，则另一条渐近线OB的方程为y＝－x，设A(m，)，B(n，－)，因为2＝，所以2(c－m，－)＝(n－c，－)，所以2(c－m)＝n－c，－＝－，解得m＝，n＝，所以A(，)．--\n-由FA⊥OA可得·＝－1.所以a2＝3b2，所以e＝＝＝.答案：13．设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．解：(1)因为a2>1－a2，2c＝1，a2＝1－a2＋c2，则a2＝，1－a2＝，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明：设F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x，y)，Q(0，m)，则＝(x－c，y)，＝(c，－m)，＝(x＋c，y)，＝(c，m)．由∥，⊥，得所以(x－c)(x＋c)＝y2，即x2－y2＝c2.由椭圆E的方程可知，c2＝a2－(1－a2)＝2a2－1，所以x2－y2＝2a2－1，即y2＝x2－2a2＋1.将上式代入椭圆E的方程，得＋＝1，解得x2＝a4.因为点P是第一象限内的点，所以x＝a2，y＝1－a2.故点P在定直线x＋y＝1上．--\n-14．(选做题)已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足＝2，·＝0.(1)求点G的轨迹C的方程；(2)过点(2，0)作斜率为k的直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得·≤－1？若存在，求出直线l的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由知Q为线段PN的中点，且GQ⊥PN，则GQ为线段PN的中垂线，故||＝||，所以||＋||＝||＝6.故点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且其长半轴长a＝3，半焦距c＝，所以短半轴长b＝2.所以点G的轨迹C的方程是＋＝1.(2)设l的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2.由⇒(9k2＋4)x2－36k2x＋36(k2－1)＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝[k(x1－2)][k(x2－2)]＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－，--\n-则x1x2＋y1y2＝－＝.由·＝x1x2＋y1y2≤－1，得≤－1，解得k2≤，故－≤k≤.故存在这样的直线l，使得·≤－1，且直线l的斜率k的取值范围是.三　空间向量与立体几何,　　　　　　　1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共线向量定理的推论：若，不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则P，A，B，C四点共面的充要条件是＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，--\n-使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)重要结论a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①|a|＝＝；②cos〈a，b〉＝＝.(2)设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝||＝.4．空间向量的运算与线面位置关系的判定(1)设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．(2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1--\n-与l2的夹角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小．(ⅰ)如图①，AB，CD是二面角α-l-β的两个半平面α，β内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．1．关注零向量(1)由于零向量与任意向量平行，所以由a∥b，b∥c无法推出a∥c.(2)0a＝0，而0·a＝0.2．正确理解数量积的概念和运算性质(1)a·b＝a·c(a≠0)的本质是向量b，c在向量a方向上的投影相等，b与c不一定相等．(2)求两个向量的夹角是求数量积的关键，也是易错点，如等边三角形ABC中，与的夹角为120°而不是60°.(3)两个非零向量a和b的夹角θ是锐角(或钝角)的充要条件是a·b>0(或<0)且a与b不同向(或反向)．3．弄清立体几何中的“空间角”与向量“夹角”的联系与区别(1)利用直线的方向向量求异面直线所成的角，若方向向量的夹角是锐角或直角，则可直接将该结果作为所求角，若方向向量的夹角是钝角，则应将钝角的补角作为所求的角．(2)利用直线的方向向量和平面的法向量求线面角，若两个向量的夹角是锐角，则该锐角的余角为所求的线面角，--\n-若两个向量夹角是钝角，则该钝角减去90°为所求的线面角．(3)利用平面的法向量求二面角时，若法向量的夹角与二面角的平面角同为锐角或钝角，则法向量的夹角就是所求的二面角，否则法向量的夹角的补角才是所求的二面角．　空间向量的运算[学生用书P83]　(1)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________．(2)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0，其中正确结论的序号是________．【解析】　(1)由题意知＝＋＝＋＝＋(＋)，从而有x＝1，y＝.(2)容易推出：－＋－＝＋＝0，--\n-所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】　(1)1　　(2)③④(1)解决空间向量线性运算问题的方法及技巧①进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．　②和空间向量的线性运算相关的结论：a．位置向量：AB＝－.b．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，有＝＋＋.c．若G为△ABC的重心，则AG＋＋＝0.d．若O为空间中任意一点，则点P是线段AB中点的充要条件是OP＝(＋)；若G为△ABC的重心，则OG＝(＋＋)．(2)空间向量数量积的计算问题的解题思路①在几何体中求空间向量数量积的步骤：a．将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；b．利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；c．代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．②长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，--\n-要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件．　平行六面体A1B1C1D1-ABCD，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示.解：如题图，连接AN，则＝＋，由已知ABCD是平行四边形，故＝＋＝a＋b，又＝－＝－(a＋b)．由已知，N分成的比为2，故＝＋＝－＝－＝(c＋2b)．于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c)．　空间向量与线面位置关系[学生用书P83]　如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.【证明】　(1)如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP--\n-所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA＝AD＝a，AB＝b，则有，P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)，因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M，N.所以＝，＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，所以＝＋.又因为MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.(2)由第一问可知＝(b，a，－a)，＝，＝(0，a，－a)．设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则所以令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)．设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，--\n-则所以令z2＝1，则n2＝(0，1，1)．因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2.所以平面PMC⊥平面PDC.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直．(3)线面平行①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(4)线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．　(5)面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．　如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3--\n-，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求证：AC⊥BC1；(2)在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD?(3)在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1?解：(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．因为＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，所以·＝0，所以⊥，所以AC⊥BC1.(2)假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD.设＝λ＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1.则D(3－3λ，4λ，0)，于是＝(3－3λ，4λ，0)，由于＝(－3，0，4)，且AC1⊥CD，所以－9＋9λ＝0，解得λ＝1.所以在AB上存在点D使得AC1⊥CD，这时点D与点B重合．(3)假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，设＝t＝(－3t，4t，0)，其中0≤t≤1.--\n-则E(3－3t，4t，0)，＝(3－3t，4t－4，－4)，＝(0，－4，－4)．又因为＝m＋n成立，所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4，所以t＝.所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时点E为AB的中点．　空间向量与空间角[学生用书P84]　(2017·宁波高二检测)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB1＝BB1＝BA＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面ABC⊥平面ABB1A1；(2)求平面AB1D与平面ACC1A1所成角(锐角)的余弦值．【解】　(1)证明：取AB的中点O，连接OD，OB1，因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，所以AB⊥平面B1OD.因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD，由已知BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1.因为AB∩BB1＝B，所以OD⊥平面ABB1A1，又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1.(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直，以O为坐标原点，--\n-的方向为x轴正方向，||为单位长度，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题设知B1(0，0，)，D(0，1，0)，A(－1，0，0)，C(1，2，0)，C1(0，2，)，则＝(0，1，－)，＝(2，2，0)，＝(－1，0，)，＝(1，1，0)．设平面ACC1A1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m·＝0，m·＝0，即，故取m＝(，－，1)为平面ACC1A1的一个法向量．设平面AB1D的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n·＝0，n·＝0，即，故取n＝(，－，－1)为平面AB1D的一个法向量．设平面AB1D与平面ACC1A1所成的角(锐角)为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝.用向量法求空间角应注意的问题(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者--\n-－〈n，a〉．(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．　　(2017·太原高二检测)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的一点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC，因为AB＝2，AD＝CD＝1，所以AC＝BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，又BC∩PC＝C，所以AC⊥平面PBC，因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.(2)以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)，设P(0，0，a)(a>0)，--\n-则E，＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，＝，＝(1，1，－a)．显然m＝＝(1，－1，0)为平面PAC的一个法向量，设n＝(x，y，z)为平面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即，取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2，于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.,　　　　　　　　[学生用书P151(单独成册)])[A　基础达标]1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝(　　)A．(0，34，10)　　B．(－3，19，7)C．44D．23解析：选C.a＋3b＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a·(a＋3b)＝(－3，2，5)·(0，17，2--\n-)＝0＋34＋10＝44.2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，＋＋－等于(　　)A．B．C．D．解析：选A.＋＋－＝＋＝.3．如图所示，在几何体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为(　　)A．B．C．2D．解析：选B.＝＋＋，因为||＝||＝1＝||，且·＝·＝·＝0.又因为2＝(＋＋)2，所以2＝3，所以AE的长为.故选B.4．在直角坐标系xOy中，设A(2，2)，B(－2，－3)，沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长是(　　)A．B．6C．3D．解析：选A.--\n-过A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，则||＝2，||＝2，||＝5，〈，〉＝60°，所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＝4＋25＋4＋2×2×2cos60°＝37.||＝.故选A.5．已知在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，给出下列两个命题：①·＝·＝·；②(＋＋)2＝2＋2＋2.则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为(　　)A．①真、②真B．①真、②假C．①假、②假D．①假、②真解析：选A.由AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，得AB⊥平面ACD，故AB⊥CD，即有·＝0.同理，·＝·＝0.于是，命题①为真命题．以AB、AC、AD为同一顶点出发的三条棱，构造长方体，则＋＋为自点A出发的长方体的对角线所在的向量，从而易知命题②亦真．6．已知平行六面体OABCO′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则＝________．--\n-解析：＝－＝(＋)－＝a＋c－b.答案：a＋c－b7．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为________．解析：y轴的一个方向向量s＝(0，1，0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.答案：8.如图所示，设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是__________．解析：由题设可知，以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，--\n-1)．由＝(1，1，－1)得＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1，0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0，1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角⇔cos∠APC＝cos〈，〉＝<0⇔·<0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，得<λ<1，所以λ的取值范围是.答案：9．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，--\n-所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设OA＝1，则由题设知A(1，0，0)，A1(0，，0)，C(0，0，)，B(－1，0，0)．则＝(1，0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n＝(，1，－1)．故cos〈n，〉＝＝－.所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.10．(2017·武汉高二检测)在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．--\n-(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求二面角EBCA的余弦值．解：(1)证明：由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC的中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC.又平面ACD⊥平面ABC，所以DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，因为BE和平面ABC所成的角为60°，所以∠EBF＝60°，因为BE＝2，所以EF＝DO＝，所以四边形DEFO是平行四边形，所以DE∥OF.因为DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(0，，0)，C(－1，0，0)，E(0，－1，)，所以＝(－1，－，0)，＝(0，－1，)，平面ABC的一个法向量为n1＝(0，0，1)，设平面BCE的法向量为n2＝(x，y，z)，--\n-则，所以，取z＝1，所以n2＝(－3，，1)．所以cos〈n1，n2〉＝＝，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角EBCA的余弦值为.[B　能力提升]11.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连接NE，则N，E(0，0，1)，所以＝.又A(，，0)，M，--\n-所以＝.所以＝，且NE与AM不共线．所以NE∥AM.又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)设P(t，t，0)(0≤t≤)，因为F(，，1)，则＝(－t，－t，1)，＝(，0，0)．又因为与所成的角为60°，所以＝，解之得t＝或t＝(舍去)．故点P为AC的中点．12．(2017·南京模拟)在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB＝CD＝1，AC＝，AD＝DE＝2.(1)在线段CE上取一点F，作BF∥平面ACD(只需指出F的位置，不需证明)；(2)对(1)中F，求直线BF与平面ADEB所成角的正弦值．解：(1)--\n-取CE的中点F，连接BF，BF∥平面ACD(如图)．(2)由已知AC＝，CD＝1，AD＝2，得AC2＋CD2＝AD2.所以AC⊥CD，以C为原点，CD，CA分别为x，y轴，过C垂直于平面ACD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，，0)，D(1，0，0)，B(0，，1)，F，所以＝(1，－，0)，＝(0，0，1)，＝.设n＝(x，y，z)是平面ADEB的法向量，则，即，所以可取n＝(，1，0)，故|cos〈n，〉|＝＝，--\n-所以BF与平面ADEB所成角的正弦值为.13．(选做题)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角FBCA的余弦值．解：(1)证明：设FC的中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，OB∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(0，2，0)，--\n-C(－2，0，0)．过点F作FM垂直OB于点M，所以FM＝＝3，可得F(0，，3)．故＝(－2，－2，0)，＝(0，－，3)．设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量，由可得可得平面BCF的一个法向量m＝.因为平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1)，所以cos〈m，n〉＝＝.所以二面角FBCA的余弦值为.模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)A．不存在x0∈R，x－x＋1≤0B．存在x0∈R，x－x＋1≤0C．存在x0∈R，x－x＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0--\n-解析：选C.先变换量词，再否定结论，即“存在x0∈R，x－x＋1>0”．2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由(2x－1)x＝0可得x＝或x＝0.因为“x＝或x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．3．若空间三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)共线，则(　　)A．p＝3，q＝2　B．p＝2，q＝3C．p＝－3，q＝－2D．p＝－2，q＝－3解析：选A.＝(1，－1，3)，＝(p－1，－2，q＋4)，因为∥，所以＝＝，所以p＝3，q＝2.4．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1C1与B1D1交于点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中，与相等的是(　　)A．a＋b＋cB．a＋b－cC．a－b＋cD．a－b－c解析：选C.依题意得＝－＝＋－＝＋(＋)－＝－＋＝a－b＋c，故选C.--\n-5．与双曲线－x2＝1共焦点，且过点(1，2)的椭圆的标准方程为(　　)A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：选C.由题知，焦点在y轴上，排除A，B，将(1，2)代入C，D可得C正确，故选C.6．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±4xD．y＝±x解析：选A.由椭圆的离心率e＝＝，可知＝＝，所以＝，故双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.7．已知命题p：若方程ax2＋x－1＝0有实数解，则a≥－且a≠0；命题q：函数y＝x2－2x在[0，3]上的最大值与最小值之和为2.则下列为真命题的是(　　)A．p且qB．p且¬qC．p或¬qD．p或q解析：选D.由于a＝0时，方程ax2＋x－1＝0有实数解x＝1，故p是假命题；函数y＝x2－2x在[0，3]上的最小值为－1，最大值为3，最大值与最小值之和为2，--\n-故q是真命题，在四个选项中，只有p或q是真命题．8．若命题“∃x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)A．1≤a≤3B．－1≤a≤3C．－3≤a≤3D．－1≤a≤1解析：选B.根据题意可得∀x∈R，都有x2＋(a－1)x＋1≥0，所以Δ＝(a－1)2－4≤0，所以－1≤a≤3.9．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为(　　)A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：选B.由已知可得，抛物线的焦点坐标为.又直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2，则|OA|＝，故S△OAF＝··＝4，解得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.10．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)A．30°B．60°C．90°D．45°解析：选B.由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝＝1，由cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°，故直线a，b所成的角为60°.11．椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B--\n-两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为(　　)A．B．C．1D．2解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则mx＋ny＝1，mx＋ny＝1，两式相减得mx－mx＋ny－ny＝0，即m(x1－x2)(x1＋x2)＝－n(y1－y2)(y1＋y2)，所以＝－·＝－1，①又＝，②由①②得＝.12．若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1，F2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若·＝0，则＋＝(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选B.设椭圆的方程为＋＝1(a1>b1>0)，双曲线的方程为－＝1(a2>0，b2>0)，它们的半焦距为c，不妨设P为它们在第一象限的交点，因为·＝0，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.①由椭圆和双曲线的定义知，解得|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，代入①式，得(a1＋a2)2＋(a1--\n-－a2)2＝4c2，即a＋a＝2c2，所以＋＝＋＝＝2.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出下列四个命题：①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角为60°；④正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．解析：①设正方体的棱长为1，则(＋＋)2＝2＝3，32＝3，故①正确；②中－＝，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0，故④不正确．答案：①②14．已知Ω为xOy平面内的一个区域．命题p：点(a，b)∈；命题q：点(a，b)∈Ω.如果p是q的充分条件，那么区域Ω的面积的最小值是__________．解析：依题意知，区域Ω的面积的最小值即为--\n-表示的区域(如图中阴影部分所示)的面积，即S＝×4×3－×2×2＝4.答案：415．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为__________．解析：由已知得＝2，所以b＝2a.在y＝2x＋10中令y＝0得x＝－5，故c＝5，从而a2＋b2＝5a2＝c2＝25，所以a2＝5，b2＝20，所以双曲线的方程为－＝1.答案：－＝116．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于__________．解析：依题意，得kAB＝＝－1，而y2－y1＝2(x－x)，得x2＋x1＝－，且点(，)在直线y＝x＋m上，即＝＋m，得y2＋y1＝x2＋x1＋2m，所以2(x＋x)＝x2＋x1＋2m，得2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，得2m＝3，解得m＝.答案：三、解答题：解答应写出文字--\n-说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知p：“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交”；q：“mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根”，若p∨q为真，¬p为真，求实数m的取值范围．解：因为直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，则<1，所以m∈(1－，1＋)．因为mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根，则<0，即00，解得k<－或k>，即k的取值范围为--\n-∪.(2)不存在．理由如下：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，得x1＋x2＝－②.又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2③.而A(，0)，B(0，1)，＝(－，1)，所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝.由第一问知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，F为其焦点，点E的坐标为(2，0)，设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，连接ME，NE并延长分别交抛物线C于点P，Q.(1)当MN⊥x轴时，求直线PQ与x轴交点的坐标；(2)当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k1＝2k2.解：(1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)．当MN⊥x轴时，直线MN的方程为x＝1.将x＝1代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±2.不妨设M(1，2)，N(1，－2)，则直线ME的方程为y＝－2x＋4，由解得x＝1或x＝4，于是得P(4，－4)．同理得Q(4，4)，所以直线PQ的方程为x＝4.--\n-故直线PQ与x轴的交点坐标为(4，0)．(2)证明：设直线MN的方程为x＝my＋1，并设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由得y2－4my－4＝0，于是y1y2＝－4，①从而x1x2＝·＝1.②设直线MP的方程为x＝ty＋2，由得y2－4ty－8＝0.所以y1y3＝－8，③x1x3＝4.④同理y2y4＝－8，⑤x2x4＝4.⑥由①②③④⑤⑥，得y3＝2y2，x3＝4x2，y4＝2y1，x4＝4x1.所以k1＝kMN＝，k2＝kPQ＝＝＝，所以k1＝2k2.--