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高中数学一轮复习资料第五章三角函数第四节函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像A组1．(2009年高考浙江卷改编)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是________．2π解析：函数的最小正周期为T＝，∴当|a|>1时，T<2π.当0<|a|<1时，T>2π，观察图形中周期|a|与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④2．(2009年高考湖南卷改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(xπ－)的图象，则φ等于________．6ππ11π11π解析：y＝sin(x－)＝sin(x－＋2π)＝sin(x＋)．答案：66663．将函数f(x)＝3sinx－cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．π解析：因为f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－)，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为65π奇函数，则φ的最小值为.65π答案：64．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．π①函数f(x)的最小正周期为；2②函数f(x)的振幅为23；7③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝π；12π7④函数f(x)的单调递增区间为[，π]；12122⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－π)．3T5ππ7π7π解析：据图象可得：A＝3，＝－⇒T＝π，故ω＝2，又由f()＝3⇒sin(2×＋φ)＝1，解26312122π2π2π得φ＝2kπ－(k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－，故f(x)＝3sin(2x－)，依次判断各选项，易知①②3337π是错误的，由图象易知x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多12π7π个，区间[，]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤12125．(原创题)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则ω的最小值为________．解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，\n2ππππ且f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，则2010≥ω⇒ω≥.答案：42010201022π26．(2010年苏北四市质检)已知函数f(x)＝sinωx＋3sinωx·sin(ωx＋)＋2cosωx，x∈R(ω>0)，在y2π轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求ω；6π(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，6纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．313π3解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋，22262πππ令2ωx＋＝，将x＝代入可得：ω＝1.626π3(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋，621π3经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(x－)＋，26245当x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值.32π1π3令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，22624π10∴4kπ＋≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．334π10即x∈[4kπ＋，4kπ＋π]，k∈Z为函数的单调递减区间．33B组1．(2009年高考宁夏、海南卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.T3解析：由图可知，＝2π－π，2452π54∴T＝π，∴＝π，∴ω＝，2ω254∴y＝sin(x＋φ)．543又∵sin(×π＋φ)＝－1，543∴sin(π＋φ)＝－1，533∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.5299∵－π≤φ<π，∴φ＝π.答案：π10102．(2010年南京调研)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.2ππ解析：由图象知T＝2(－)＝π.362πππππ∴ω＝＝2，把点(，1)代入，可得2×＋φ＝，φ＝.答案：T6626π6π3．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数4g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象________．π解析：∵f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，42π∴＝π，故ω＝2.ω\nππππ又f(x)＝sin(2x＋)∴g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x.4842π答案：向左平移个单位长度84．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象π2如图所示，f()＝－，则f(0)＝________.23T117π2π解析：＝π－π＝，∴ω＝＝3.212123T7又(π，0)是函数的一个上升段的零点，1273ππ∴3×π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，1224π22222代入f()＝－，得A＝，∴f(0)＝.答案：23333ππ5．将函数y＝sin(2x＋)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－，0)312中心对称．πππ解析：由y＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)可知其函数图象关于点(－，0)对称，因此要使平移后的图366πππ象关于(－，0)对称，只需向右平移即可．答案：右121212a1a23cosx6．(2010年深圳调研)定义行列式运算：||＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝||的图象向左平a3a41sinx移m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．31π解析：由题意，知f(x)＝3sinx－cosx＝2(sinx－cosx)＝2sin(x－)，226πππ其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－＋m)，平移后其对称轴为x－＋m＝kπ＋，k∈Z.6622π2π2π若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋(k∈Z)，故m的最小值为.答案：333ππ7．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数46πy＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为________．6ππππ解析：y＝tan(ωx＋)向右平移个单位长度后得到函数解析式y＝tan[ω(x－)＋]，即y＝tan(ωx4664ππωππωπ1＋－)，显然当－＝＋kπ(k∈Z)时，两图象重合，此时ω＝－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0时，46466211ω的最小值为.答案：22ππ3π3π8．给出三个命题：①函数y＝|sin(2x＋)|的最小正周期是；②函数y＝sin(x－)在区间[π，]上单32225π5π调递增；③x＝是函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．46πππ解析：由于函数y＝sin(2x＋)的最小正周期是π，故函数y＝|sin(2x＋)|的最小正周期是，①正3323π3π5π5π5π确；y＝sin(x－)＝cosx，该函数在[π，)上单调递增，②正确；当x＝时，y＝sin(2x＋)＝sin(224625ππ5π5π35π5π＋)＝sin(＋)＝cos＝－，不等于函数的最值，故x＝不是函数y＝sin(2x＋)的图象的一6266246条对称轴，③不正确．答案：2πx9．(2009年高考上海卷)当0≤x≤1时，不等式sin≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．2πx解析：当0≤x≤1时，y＝sin的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]2之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．\nπx当k>0，kx≤sin时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．2πx故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sin≥kx.答案：k≤12222π10．(2009年高考重庆卷)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)＋2cosωx(ω>0)的最小正周期为.(1)求ω的值；3π(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．222π解：(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin(2ωx＋)42π2π3＋2，依题意，得＝，故ω＝.2ω32ππ5π(2)依题意，得g(x)＝2sin[3(x－)＋]＋2＝2sin(3x－)＋2.244π5ππ2π27π由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．242343122π27π故g(x)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．34312π11．(2009年高考陕西卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的周期为π，且图22π象上一个最低点为M(，－2)．3π(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最值．122π2π2π解：(1)由最低点为M(，－2)得A＝2.由T＝π得ω＝＝＝2.3Tπ2π4π4π由点M(，－2)在图象上得2sin(＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，3334ππ11πππ∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)，即φ＝2kπ－，k∈Z.又φ∈(0，)，∴φ＝，32626π∴f(x)＝2sin(2x＋)．6πππππππ(2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋＝12663666ππ，即x＝时，f(x)取得最大值3.312π12．(2009年高考福建卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.2π3π(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；44π(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；3并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．π3πππ解：法一：(1)由coscosφ－sinsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0，4444πππ即cos(＋φ)＝0.又|φ|<，∴φ＝.424πTπ2π(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋)．依题意，＝，又T＝，故ω＝3，423ωπ∴f(x)＝sin(3x＋)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为4πππg(x)＝sin[3(x＋m)＋]，g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，442kπππ即m＝＋(k∈Z)．从而，最小正实数m＝.31212法二：(1)同法一．πTπ2π(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋)．依题意，＝.又T＝，故ω＝3，423ω\nπ∴f(x)＝sin(3x＋)．4π函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．4g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，ππ亦即sin(－3x＋3m＋)＝sin(3x＋3m＋)对x∈R恒成立．44ππ∴sin(－3x)cos(3m＋)＋cos(－3x)·sin(3m＋)44ππ＝sin3xcos(3m＋)＋cos3xsin(3m＋)，44ππππkπ即2sin3xcos(3m＋)＝0对x∈R恒成立．∴cos(3m＋)＝0，故3m＋＝kπ＋(k∈Z)，∴m＝＋44423ππ(k∈Z)，从而，最小正实数m＝.1212