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- 2022-07-27 发布
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高中数学复习资料第一章集合第一节集合的含义、磊及基本关系A组1.已知A={\,2},B={x\x^A},则集合A与3的关系为.解析：由集合B={xLrGA}知，B={1,2}.答案：A=B2.若0宇{jd?Wc,oWR},则实数d的取值范围是.解析：由题意知，/Wo有解，故g2o.答案：a^O3.已知集合A={yly=x2-2x~lfxER},集合B={xl~2^x5},集合B={x\x>a},若命题“兀丘力”是命题的充分不必耍条件，则实数d的取值范围是.解析：命题LWA”是命题的充分不必要条件，・・・AB,・・・qv5.答案：a<56.（原创题）已知M集合A={xix=2afa^Z},B={x\x=2a+ha^Z}f又C={x\x=4a+1,qWZ},判断m+n属于哪一个集合？解：mA,・；设"？=2di，di^Z,又•:nWB,・••设n=2az+1,^2eZ,/.m+n=2（a\+。2）+1，而Qi+dzWZ,Am+n^B.B组1.设o,〃都是非零实数，尸金+岛+务可能取的值组成的集合是.解析：分四种情况：（1加>0且b>0;（2>>0且bvO;⑶avO且b>0;（4）x0且bvO,讨论得y=3或y=-1.答案：{3,—1}丿’M2.已知集合A={—1,3,2加一1},集合B={3,加〜}.若则实数加=.解析：・・n,显然屛工-1且mV3,故加亠2加_1,即（加-1）2=0,:.m=1.答案:13.设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b\a^Pfb^Q}f若{0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是个.解析：依次分别取6/=0,2,5;b=1,2,6,并分别求和，注意到集合元素的互异性，・・・P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案：84.已知集合M={x\x2=1},集合N={xlor=l},若NUM,那么°的值是・解析：M={xlx=1或x=-1},NUM,所以N=0时，a=0；当qHO时，兀=丄=1或一1,1Jaa=1或-1.答案：0,1,—15.满足{1}纭人匸{1,2,3}的集合A的个数是个.解析：A中一定有元素1,所以力有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案：3\n1.已知集合A={x\x=a+^9qGZ},B={兀Lt=£—b^Z},C={xX=》+£,cGZ},则4、B、C之间的关系是•解析：用列举法寻找规律.答案：A^B=C2.集合A={xlLrlW4,%eR},B={x\x5”的.解析：结合数轴若故“AQB”是2>5”的必要但不充分条件.答案：必要不充分条件3.(2010年江苏启东模拟)设集合M={m\m=2n9n^N,且加v500},则M中所有元素的和为解析:V2M<500,:.n=0,1,2,3,4,5,6,78:.M中所有元素的和S=1+2+22+・・・+2—511.答案：5114.(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于胆A,如果k-l^A,且k+1毎A,那么称R是4的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元索构成的所有集合屮，不含“孤立元”的集合共有个.解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案：65.已知A={x,xy9lg(xy)},B={0,Ixl,yj,且A=3,试求x,y的值.解：由lg(xy)知，xy>0,故xHO,xyHO,于是由A=B得lg(xy)=0,=1./.A={x,1,0},B={0,Ixl,-}.于是必有1x1=1,-=x^=l,故x=-1,从而y=-1.XX6.己知集合A={:d?—3x—10W0},(1)若BGA,B={xIw+1Wa:W2加一1},求实数加的取值范围;(2)若4UB,B={xl加一6WxW2加一1},求实数加的取值范围；(3)若A=BfB={刘加一6WxW2加一1},求实数加的取值范围.解：由A=賦一3兀-10W0},得A={划一2WxW5},(1)VB£A,・・・①若3=0,则\>2m~1,即加v2,此时满足BQA.(m+1W2m一1,②若BH0,贝卜一2W加+1,解得2Wn?W3・2n—1W5.由①②得，加的取值范围是(-g,3].rm>一5,解得m-6,⑵若AUB,则依题意应有vm-6W-2,.2m-125.••皿的取值范围是[3,4]・{m~6=-2,解得即不存在加值使得A=B.2m-1=5,12.己知集合A={xlr2-3x+2^0},B={x[x2-(a+\)x+a^0}.(1)若A是B的真了集，求。的取值范围；(2)若B是4的子集，求Q的取值范围；(3)若A=Bf求a的取值范围.解：由F—3x+2W0,即(%-1)(%-2)^0,得1WxW2,故A={xllWxW2},而集合B={x\(x-l)(x-a)W0},⑴若人是B的真子集，即4B,则此时B={xI1WxWq},故q>2.(2)若3是人的子集，即BQA,由数轴可知1WaW2・\n⑶若A=B,则必有d=2第二节集合的基本运算A组1.(2009年高考浙江卷改编)设〃=R,A={x\x>0},B={x\x>\}9则.解析：：uB={xkWl},.\APl={xl01},集合B=解析：设两项运动都喜欢的人数为兀，画出15-x+x+10-x+8=30=>x=3,喜爱篮球运动但不喜为15-3=12（A）.答案：126.（2010年浙江嘉兴质检）已知集合A={xlm^x^m+3}・(1)当加=一1时，求AQB,AUB；（2）若求加的取值范围.\n解：⑴当刃=—1时，B={x\—,.\ADB={x\1<^<2},AUB={x\x^—\}.(2)解析：{1,2,3,4,567,8},A={1,3,5,7},B={3,6},:.AUB={1,3,5,6,7},得(〃(AUB)={2,4,8}.答案：{2,4,8}若EG,则也>1,即/〃的取值范围为（1,+°°)B组Y1.定义A^B={z\z=xy+~x^A9y^B}.设集合A={0,2},B={1,2},C={1},则集合(4®yB)®c的所有元素之和为.解析：由题意可求(恥3)中所含的元素有0,4,5,则(A®B)®C中所含的元素有0,8,10,故所有元素之和为18.答案：182.若集合{(兀，y)\x+y-2=0且兀一2『+4=0}匸{(兀，y)ly=3兀+b},则b=.[x+y-2=0,[x=0,解析：由|今]点(0,2)在y=3x+b上，:・b=2.[x~2y+4=0.[y=2.3.设全集/={2,3,a2+2a-3}9A={2,lo+ll},[ZA={5},M={xk=log2lal},则集合M的所有子集是.解析：・・・AU([»=/,・・・{2,3,疋+2q-3}={2,5,la+II},11=3,且a2+2a-3=5,解得。=-4或a=2,M={log22,log2l-41}={1,2}・答案:0,{1},{2},{1,2}4.设集合A={xte2-3x+2=0},B={x\x1+2(a+l)x+(a2-5)=0}.(1)若AAB={2},求实数a的值；(2)若AU〃=A,求实数d的取值范|韦I.解：由F-3兀+2=0得兀=1或兀=2,故集合A={1,2}.(1)VAAB={2},A2eB，代入B中的方程，得/+牝+3=03°=-1或d=-3;当°=一1时，B={xlx2-4=0}={-2,2},满足条件；当°=一3时，B={xlx2-4x+4=0}={2},满足条件；综上，a的值为-1或-3.(2)对于集合B,A=4(q+1尸一4(/-5)=8(°+3)・VAUB=A,:.B^A.①当A<0,即a<~3时，B=0满足条件；②当△=(),即€/=-30寸，B={2}满足条件；③当A>0,即°>-3时，B=A={1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得矛盾.综上，a的取值范围是aW-3.5.已知函数/(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=\g(—x2+2x+m)的定义域为集合B.(1)当m=3时，求An(CRB)；.—」•*.宀•讨(2)若AQ〃={%|—If（x2yf的是.（W）=（xT）2®fM=e®f（x）=\n（x+l）•A解析：•・•对任意的XI，x2e（0,+8）,当X］Q时，f（x）=eA+贝】瞒足f⑴=e‘-在x丘［0,1］上恒成立.只ee\n需满足。冬（0治n成立即可，故aWl，综上-lWaWl.答案：一lWaWl1.（原创题）如果对于函数/U）定义域内任意的兀，都有/⑴2M（M为常数），称M为沧）的下界，下界的最大值叫做伦）的下确界，下列函数屮，有下确界的所有函数是.\nriu>o)Q/(x)=siiu；(2)/(x)=lgr；(§)/(x)=ev；®f(x)="0U=0)、一1(x<-l)解析：・・・sinx2-1,・・・/U)=siiu的下确界为-1,即f(x)=siiu是有下确界的函数；・・VU)=l&r的值域为(-I+8),：.f(x)=lgr没有下确界；:.f(x)=ex的值域为(0,+®),：.f(x)=e“的下确界为0,即f(x)=eA是有下确界的函数；ri(兀>0)ri(x>o)Z/(x)=v°(兀=0)的下确界为-1,\/(兀)=<°("0)是有下确界的函数•答案：、-1(x<-1)、-1(XV一1)①③④B组1.(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(-oo,0］的是.①y=—丄②y=—(兀一1)®y=x2~2®y=—\x\X解析：由函数}•=-M的图象可知其增区间为(-8,0］.答案：④2•若函数/U)=log2(/—处+3°)在区间［2,+8)上是增函数，则实数。的取值范围是・解析：令g(x)=/一q+3a,由题知呂⑴在［2,+8)上是增函数，且g⑵>0.賽2,.4一2a+3q>0,/•-4vqW4.答案:—4vqW43.若函数心)=%+如>0)在弓，+®)上是单调增函数，则实数g的取值范I韦I—.解析：•.•/⑴=x+f(a>0)在(込，+8)上为增函数，・••込冬才，答案:(0,春］4.(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数/(对，对任意Q,x2e［0,+<-)5=兀2)，有>2)~>1}<0,则下列结论正确的是.兀2—兀1I.L.「.、®f(-2)0恒成立，・・・0vavl.〃=2(兀+土)2-则减区间为(--+).而必然有2x2+x>0,即兀>0或白勺单调递增区间为(-8,-g)・答案：—*)10.(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+8)上的函数金)满足f(-)=f(xl)-f(x2),月•j-兀2•当X>1时，f(X)<0.求/(I)的值;⑵判断/⑴的单调性；(3)若人3)=—1,解不等式/(W)<-2.解：⑴令=%2>0,代入得/⑴=/(兀1)-/Ui)=0,故几1)=0.任取兀1，兀2岂0,+8),且%1>%2>则*>1，由于当Q1时，/Wvo,所以世)V°'即/(小)一/(兀2)<0,因此尢1)今(兀2)，所以函数几兀)在区间(0,+°°)上是单调递减函数.由•住)=畑-畑得雋)=几9)-几3),而几3)=_1,所以/(9)=-2.由于函数兀)在区间(0,+8)上是单调递减函数，由夬Ld)勺(9),得bd>9,・・」>9或x<-9.因此不等式的解集为{x\x>9或xv-9}.+x)(a>0faHl)在区间(0,*)内恒有/(兀)则/⑴的单调递增区间为\nF+cix+b11.己知：/W=log3，xe(o,+s),是否存在实数a,b,使/(x)同时满足下列三•A个条件：⑴在(0,1］上是减函数，(2)在［1,+oo)上是增函数，(3)ZU)的最小值是1.若存在，求出。、b；若不存在，说明理由.1+d+b解：・・7(x)在(0,1］上是减函数，［1,+8)上是增函数，・•・"1时，沧)最小，10g3—j—=1•即a+b=2.“Xl+QX]+Z?X2+CIX2+b.v.设0<兀1<比01，则Ax{)>f(X2).即!—>"—恒成立.XiX2由此得山一切(心”)〉0恒立.X1X2又•.•兀]一兀2<0，尤认2〉0,.•・兀1兀2一〃<0恒成立，/.h^\.设1£兀3<兀4，则M<几也)恒成立..・.(•—4)(Z7”<0恒成立.兀3兀4•.•兀3一也<0，X3X4>0,・*.>b恒成立.「.bWl.由且bWl可知Z?=1,.•・a=l.・••存在a.by使/(x)同时满足三个条件.第二节函数的性质A组1.设偶函数/U)=logjc—bl在(一8,0)上单调递增,则张+1)与弘+2)的大小关系为解析：由沧)为偶函数，知b=0,：.f(x)=log^lxh又沧)在(-°°，0)上单调递增，所以0vxl,lva+1V2,则几r)在(0,+^)上单调递减，所以f(a++2).答案:j{a+\)>f{b+2)2.(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数/U)既是奇函数乂是以2为周期的周期函数，则X1)+A4)+几7)等于•解析：/⑴为奇函数，且xGR,所以/(0)=0,由周期为2可知，几4)=0,/(7)=几1),又由/(兀+2)=伦)，令兀=-1得几1)=几-1)=-/(1)刊(1)=0,所以/(1)+/(4)〃7)=0.答案：03.(2009年高考山东卷改编)己知定义在R上的奇函数/⑴满足沧一4)=一/(兀)，且在区间［0,2］上是增函数，贝”(一25)、/⑴)、/(80)的人小关系为.解析：因为沧)满足,Ax-4)=所以f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),/(80)=/(0),几11)=几3),又因为./U)在R上是奇函数，几0)=0,得A80)=A0)=0,A-25)=A-1)=-.AD，而由沧-4)=-沧)得.川1)=夬3)=-A-3)=-曲-4)=/(1),又因为/U)在区间［0,2］上是增函数，所以/(1)滋0)=0,所以-X0<0,即几-25)*0)今(11).，J'■-答案：/(-25)0,由/⑴为奇函数知xvO时，f(x)0)在区间［—8,8］上有四个不同的根占，也，兀3，也，则x\+x2+兀3+兀4=・解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=所以f(4-x)=f(x),因此，函数图象关于直线x=2对称且,/(0)=0.由沧-4)=-/U)知沧-8)=沧)，所以函数是以8为周期的周期函数.又因为沧)在区间［0,2］上是增函数，所以沧)在区间［-2,0］上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)=m{m>0)在区间［-&8］上有四个不同的根xi，烁畑兀4，不妨设x\0时,-x<0,由已知f(~x)=xlg(2+x),-fix)=xlg(2+x),即f(x)=一xlg(2+x)(x>0).[一xlg(2-x)(兀vO),・・・/W=—、/即沧)=-兀览(2+出)(用R).I-xlg(2+x)(兀三0).2.已知函数/(兀),当兀，)€R时，恒有J(x+y)=f(x)+fiy).(1)求证:沧)是奇函数;(2)如果%eR+,/(x)<0,并且试求/(兀)在区间[-2,6]上的最值.解：(1)证明：・・・函数定义域为R,其定义域关于原点对称.•・7U+y)=/W+/0)，令厂-兀，・・・几0)=/⑴+几-兀)・令兀=厂0,・・j(o)=/(o)+no),得/(o)=0,・/>)+./(-兀)=0,得/(-兀)=-/⑴，・・・沧)为奇函数.(2)法一：设x,)€R',•・•/(兀+y)=f(x)+fiy),：.f(x+y)-fix)Vx^R\f(x)x>・\/(x)在(0,+8)上是减函数.又・・VU)为奇函数，几0)=0,・・・沧)在(-I+oo)上是减函数.：.f(-2)为最大值，几6)为最小值•・・丁(1)=-“-2)=~f(2)=-2/(l)=l,/(6)=2/(3)=2[/(1)+/(2)]=-3.A所求沧)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.法二：设X\0,：.f(x2-X|)<0.：.f(x2)-/(xi)<0.即/⑴在R上单调递减.・\z(-2)为最大值,/⑹为最小值.V.A1)=-占・\/(-2)=-,A2)=-2AD=h几6)=纽3)=2[/(1)+/(2)]=-3.A所求/U)在区间［-2,6］上的最大值为1,最小值为-3.第三章指数函数和对数函数第一节指数函数1.(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若°>1,bl,bvO,・・・0v?vl,ab>l.又・・・(/+d")2=a"+d也+2=8,・・・戶+/2匚6,・・・(/-八)2=尹+严一2=4,・・・J—q*=一2答案:_21.已知f(x)=ax+b的图象如图所示，则几3)=.3.又几2)=/一3=(),解析：由图象知/(0)=1+/?=-2,.*./?=-・・・a=逗,则f(3)=(V3)3-3=373-3.答案:3击一32.函数y=^x2的值域是•解析：T2兀-=一(尢一1)2+1w],\n1.(2009年高考山东卷)若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且dHl)有两个零点，则实数a的取值范围是.解析：函数/(兀)的零点的个数就是函数,y=aK与函数y=x+a交点的个数，由函数的图象可知°>1时两函数图象有两个交点，01.答案：(1,+\n1.(原创题)若函数fM=ax~l(a>0,dHl)的定义域和值域都是[0,2],则蜩a等于Pvavl解析：由题意知\无解或va°-1=0二CI=帀・答案:V3、/-1=22.己知定义域为R的函数几巧=尹7匸;是奇函数.(1)求方的值；⑵若对任意的圧R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)-2r+k.即对一切reR有3"-2(-心0,从而A=4+12R0,解得R-|.法二由⑴知/⑴=—2匸+1_2，_2/+]产巨，又由题设条件得才_2门+2+即（2住1+2）（-2“力+1）+（2®2广1+2）（-2昭十+1）<0整理得2込2i>],因底数2>1,故3t2-2t-k>Q上式对一切/GR均成立，从而判别式4=4+12A<0,解得k<-B组1.如果函数f(x)=ax+b~l(a>0且dHl)的图彖经过第一、二、四彖限，不经过第三象限，那么一定有.①Ovav1且b>0②Ovav1口01且b<0®a>1且b>0解析：当0<6/<1时，把指数函数f(x)=cf的图象向下平移，观察可知-1切-1<0,即013.已知/(x),g(x)都是定义在R上的两数，且满足以卜•条件®f(x)=ax-g(x)(a>0,aHl)；\n4.(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)=ax(a>0且°工1),其反函数为厂⑴.若几2)=9,则厂百)+几1)的值是・解析：因为/(2)=6f2=9,且a>0,/.a=3,则f[x)=3V=y.\x=-1,故厂(|)=-1•又如)=3,所以f岭+如)=2.答案:25.(2010年山东青岛质检)己知于(兀)=(分，若/U)的图象关于直线x=l对称的图象对应的函数为g(x),则g(x)的表达式为・解析：设y=g(x)上任意一点、P(x,y),P(x,y)关于x=l的对称点P(2-x,y)在=(*)•'上,・・・尹=6)2飞=3"2.答案：v=3-2(%eR)6.(2009年高考山东卷改编)函数的图象大致为・・e—e5)为奇函数,排除④.j■在(0)、(0,+8)上都是减函数，排除②、③.答案：①7.(2009年高考辽宁卷改编)已知函数/U)满足:当心4时，他=(新;当x<4HJ-,f(x)=f(x+1),则X2+log23)=.J"解析：V2<3<4=22,Al0,且a^l)在区间［—1,1］上的最大值为14,求实数a的值.解:f(x)=alv+2aA-I=(ax+I)2-2,［-1,1J,(1)当Ovavl时，aWaW*,・■•当ax=~时,/(兀)取得最大值.A(~+I)2-2=14,=3,/.a=(2)当a>\时，丄Wq'Wg,・••当=d时，/(兀)取得最大值.\n・・・(a+1)2-2=14,:.a=3.综上可知，实数Q的值为*或3.第二节对数函数A组1.(2009年高考广东卷改编)若函数y=/(x)是函数y=aXa>0,且qHI)的反函数，其图象经过点(迈，G),则兀X)=•丄1解析：由题意f(x)=logax,.\a=logd«2=夕••JU)=log-x.答案：log丄X乙222.(2009年高考全国卷II)设a=log37c"=log2d，c=log3U^,则a、b、c的大小关系是.解析：a=log37c>1,b=log2帀=|log23G(-,1),c=log3迈=*log32G(0,*),故有a>b>c.答案：a>b>c(j1.若函数沧)=<、4丿”曰则/(log43)=4\xg[0,1]解析:01.又士是单调递减的，故g⑴递减且过(0,0)点，・・・④正确.答案:④XJL3.(原创题)已知函数.f(x)=alog2x+blog3x+2,且则f(2Q10)的值为_・解析：设F(x)=/(x)-2,即F(x)=alog2X+&log3X>贝UF(+)=alog2++勿0诘=_(alog2兀+勿0少)=-F(x),AF(2010)=-=-~2]=一2,即X2010)-2=-2,故/(2010)=0.答案：0B组兀+31.(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y=lg—旷的图象，只需把函数y=l&r的图彖上所有的点.x+3、解析：■・)=lg|Q=lg(x+3)-1,・••将y=Igx的图象上的点向左平移3个单位长度得到y=lg(兀+3)的图象，再将y=lg(%+3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y=lg(x+3)-1的图象.答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度\n1.(2010年安徽黄山质检)对于函数/U)=lgx定义域屮任意xi，疋(兀1工也)有如下结论：+x2)=fM+f(X2)；②/g•兀2)=心1)+沧2)；③恥)[恥)>0；④斤琴3丿切了⑴).上述结论X\X2乙厶\n中正确结论的序号是.解析：由运算律f(X\)+f(X2)=lgxi+lgr2=l&V|%2=f(X\X2)>所以②对；因为/(X)是定义域内门皿亍Q亦1+兀2、、兀1+疋Ari)+./(兀2)lgX]+lg¥2、I・・兀1+兀2、的增函凌攵，所以③正确；/(~-—)=lg—-—,==1典兀1兀2，・—2—上勺兀1兀2,且X1工兀2，・°・lg"2">1凶X1X2'所以④错误.答案：②③1.(2010年枣庄第一次质检)对任意实数°、b,定义运算“*”如下：=，则函数/(x)=logl(3x—2)*log2X的值域为•[b(a>b)2解析：在同一直角坐标系中画出y=log^(3x-2)和y=log2%两个函数的图象，由图象可得卩Og2X(01)2.已知函数y=f(x)与y=ev互为反函数，函数y=g(x)的图象与=fM的图彖关于兀轴对称，若g@)=l，则实数a的值为•解析：由丁=/(兀)与『=『互为反函数，得f(x)=lnx,因为y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于兀轴对称，故有=-lnx,g(6z)=l=>lntz=-1,所以a=e答案：I3.(2009年高考辽宁卷改编)若兀i满足2x+2x=5,比满足2x+21og2(x-l)=5,则xi+x2=解析：由题意2尤1+2兀1=5,①2比+21og2(^2一1)=5,②所以2xi=5-2%i,Xi=log?(5-2%i),即2xi=21og2(5一2xi).令2兀i=7-2r,代入上式得7-2/=21og2(2z-2)=2+21og2(?-1)，、一卩亠7/.5-2t=21og2(r-1)与②式比较得f=尤2，于是2兀1=7-2x2.+也=空答案：㊁]+兀4.(2010年天津和平质检)己知/W=log订匸(d>0,qHI).⑴求/⑴的定义域；1X(2)判断沧)的奇偶性并给予证明；(3)求使/(x)>0的x的取值范围.1+X解：⑴由_0，解得%e(-u).1一x\~X(2)/(-x)=\oga——=-./U),且%e(-l,l),A函数y=/U)是奇函数.\nJLX]+x(3)若a>l,f(x)>0,则]_t>|+x1,解得00,则00且oHl.d1\n(1)对于函数兀)，当1,1)时，f(1—m)+f(1—m2)<0,求实数加的集合；(2)%e(-oo,2)时，.心)一4的值恒为负数，求a的取值范围.解：令log^=/(fGR),贝»]x=J”_厂),・・・/U)="^―f(亍_61')•_x)=~x-ax)=_./(兀)，a-la~l：.f(x)是R上的奇函数.当q>1时，，是增函数，-0祕是增函数，・・/>)是R上的增函数；C/JL当0<6/<1,^—<0,亍是减函数，-1厂是减函数，・・・沧)是R上的增函数.JL综上所述，°>0且°工1时，几兀)是R上的增函数.(1)由/(I一加)+/(1-m2)<0有/(I-m)<~~m2)=/(m2一1),1-m)-4今⑵-4,要使金)-4的值恒为负数,只需几2)-4£0,即/2)_4£0,解得2-书WdW2+V^,:.a的取值范围是2-书WaW2+帀且°H1.第三节幕函数与二次函数的性质A组1.若。>1且Ovbvl,则不等式alogbCx—3)>1的解集为.解析：a>\,Q101ogb(x-3)>0^1og/,(x-3)>logblOO1时，各=”>],・・・兀>",.・.排除①•答案：④1.(2010年江苏海门质检)若xe(0,l),则下列结论正确的是.1111①2、兀2>lgx②2v>lgx>x2③兀2>2v>lgx@lgx>x2>2Y丄\n解析：VxE(0,l),・・・2>2、l,00,即avO.由/Mi知-1.因此，°的取值范围为(一g,—1］・(2)记冷)的最小值为g(a)・则有.心)=2x2+(兀-a)\x-a\一a72a2厂、13(x-+~^~^qg，①,(x+tz)2一2a2,兀Wa,②(i)当时，/(-①二-加?，由①②知几兀)上-2/,此时=-2a2.(ii)当avO时，眉)=亍？.若则由①知17若xWa,贝Ux+aW2avO,由②知/(x)^26z2>^2.此时g(a)=^2-[-2a2,a上0,综上，得g(a)={2/ov0・(3)(i)当aW(-g+8)时,解集为(d,+CO)；(ii)当圧［-¥，平)时，解集为f*逬-空,+呵；+8).(iii)当呻-芈，-略时，解集为(°,日尹］U［心尹,B组1.(2010年江苏无锡模拟)幕函数y=/(兀)的图象经过点(一2,则满足f(x)=27的兀的值是.解析：设幕函数为y",图象经过点、(-2,-£)，则-±=(-2)—=-3,Vx_3=27,/•X=冷答案：12.(2010年安徽蚌埠质检)已知慕函数f(x)=xa的部分对应值如下表:X112\nfM12贝怀等式/(Lrl)W2的解集是・\[21111解析：由表知2=a=2"・；/W=X2・・：(kl)2W2,即lxlW4,故-4WxW4.答案：{刘一4W兀W4}(—2a>o),1.设函数fM=[x2+bx+cawo)若/(—4)=/(0)，/(—2)=o,则关于兀的不等式/⑴W1的解集为.(xWO,仪>0,解析：由A-4)=/(0),得X4.又/(-2)=0,可得c=4,・・・仁,y或[x+4x+4Wl1-2W1,可得-3WxW-1或x>0.答案：{划一3WxW—1或x>0}fx2+4x,兀$0,_2.(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)=\2若f(2~a2)>f(a),贝I挟数。的[4x~x,xvO.取值范围是.fx2+4x,兀20,解析：函数f(x)=?的图象如图.4x~x,x<0,知./U)在R上为增函数.•・刃2-/)和)，即2-a2>a.解得-2vqv1.答案：一2vovl第四节函数的图像特征A组1.命题甲：已知函数.心）满足/（1+兀）=./（1—町，则几¥）的图象关于直线兀=1对称.命题乙：函数f（l+x）与函数的图象关于直线兀=1对称•则甲、乙命题正确的是.解析：可举实例说明如f{x）=2\依次作出函数几1+兀）与函数山-X）的图象判断.答案:甲2.（2010年济南市高三模拟考试）函数y=^.a\a>l）的图彖的基本形状是③④\n解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y=ax（x>0）zc、，由指数函数图象易知①正确•一ax（x<（j）\n答案：①1.已知函数怠）=（分一10g3X，若Xo是方程/U）=0的解，且0<¥]<¥（）,则/U1）的值为（正负情况）.11I解析：分别作与y=log3%的图象，如图可知，当0<¥]<%0时，（§）T>log3%i，・・・沧]）>0.答案：正值2.（2009年高考安徽卷改编）设xb,函数y=（x-a）\x-h）的图象可能是解析:•:x>h时，）〉0•由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确.答案：③〔3—亍，x[—1,2],5-已知函数妙%_3,x（2,5].⑴画出沧）的图象;（2）写出几Q的单调递增区间.解：⑴函数.心）的图象如图所示・，（2）由图象可知，函数7U）的单调递增区间为[-1,0],[2,5J.B组[•丄]—X•'丿1•【1.（2010年合肥市高三质检）函数./（兀）=lny眉的图象只可能是1解析：本题中/U）的定义域为｛x\~l0时，g(x)=log2x,则函数y=fM-g⑴的大致图象为・解析：/(X)为偶函数，g(x)是奇函数，所以为奇函数，图象关于原点对称，当兀f+°°时，yu)fg(x)f+8,所以./u)・g(兀)-8答案:②2.已知函数y=f(x)(xeR)满足f(x+2)=f(x),且x$(—1,1]时，f(x)=\x\,贝打=心)与〉=log7%的交点的个数为•的部分图象如图所的是解析：由./U+2)=沧)知函数)；=/(兀)为周期为2的周期函数，作图.答案：63.(2009年高考福建卷改编)定义在R上的偶函数/U)示，则在(一2,0)上，下列函数屮与心)的单调性不同®y=x2+\①y=Ld+l(2x+1,②尸D+l,x<0®y=er,诊0e_v,x<0解析：・・7U)为偶函数，由图象知，/U)在(-2,0)上为减函数，而y=?+1在(-8,0)上为增函数.答案:③第四章函数应用A组[x(x+4),x<0,_'>'I*:1.己知函数fM=\则函数几兀)的零点个数为•I兀(兀_4),兀N0.解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与X轴有三个交点，即函数的零点有3个.答案：31.根据表格屮的数据，可以判定方程er-x-2=0的一个根所在的区间为—•X-10123eA0.3712.727.3920.09x+212345解析:据题意令/U)=*-x-2,曲,/(l)=e1-1-2=2.72一3<0,几2)=e2-4=7.39-4>0,故函数在区间(1,2)内存在零点，即方程在相应区间内有根.答案:(1,2)\n1.偶函数/⑴在区间［0,a］(a>0)±是单调函数,K/(0)»<0,则方程沧)=0在区间［一。,加内根的个数是・解析：由题意函数7U)在区间［0,a］(a>0)上是单调函数，且./(0)：@)<0,根据零点存在定理知：在区间［0,⑴内函数/U)—定存在惟一零点且几0)工0,又函数/U)是偶函数，故其在［-°,0］也惟一存在一个零点，所以方程/U)=0在区间［-°,加内根的个数为2.答案：22.(2009年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价•该地区的电网销售电价表如'F:高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为7L解析:高峰时段电费a=50X0.568+(200-50)X0.598=118.1(元).低谷时段电费b=5QX0.288+(100-50)X0.318=30.3(元).故该家庭本月应付的电费为a+b=148.4(元).答案：148.43.(原创题)已知X^)=M+Lv-ll,若ga)=/(x)—a的零点个数不为0,则d的最小值为解析：作/⑴的图象，如图，g(x)=f(x)-a=0,即f(x)=a,当*1时，g⑴有无数个零点；当。>1时，g⑴有2个零点；・・・a的最小值为I.答案：10.1+151n——a~x6.(2009年高考上海卷)有时可用函数/(x)=Sx—4.4亠x~4x>6,描述学习某学科知识的掌握程度，其中兀表示某学科知识的学习次数(xeN*),/U)表示对该学科知识的掌握程度，正实数Q与学科知识有关.⑴证明：当心7时，掌握程度的增长量金+1)-/(兀)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121］,(121,127］,(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%,请确定相应的学科.解：(1)证明:当x^7时，夬兀+1)-/(%)=0.4(x一3)(兀一4).而当x却时,函数y=(x~3)(%-4)单调递增，且(x-3)(x-4)>0,故f(x+单调递减.・••当兀27,掌握程度的增长量几兀+1)-沧)总是下降.\n⑵由题意可知小151店55,0.05解得a=o()5r6^20.50X6=123.0,123.0e(121,127J.e*-1由此可知，该学科是乙学科.B组1.(2010年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了卜…面的一组试验数据:X1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是®y=2x~2②)‘=(分®j=log2x©y=|(x2-l)解析：代入点(2,1.5),(3,4)检验.答案：④2.(2010年安徽省江南十校模拟)函数fM=2x+x~7的零点所在的区间是・①(0,1)②(1,2)③(2,3)@(3,4)解析：因为/(0)=一6<0,几1)=2+1-7=-4<0,/(2)=22+2-7=一1<0,/(3)=23+3-7=4>0?所以函数的零点在区间(2,3)内.答案：③3.已知函数./U)=x+log2兀，则尢)在［*，2］内的零点的个数是・解析：易知g(x)=x与力⑴=log2兀均为增函数，故函数沧)为增函数，且故函数有且只有一个零点.答案：14.(2010年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻/(单位：分钟)与细胞数“(单位：个)的部分数据如下：t02060140n128128根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻f最接近于分钟.解析：由表格中所给数据可以得出n与/的函数关系为“2打令“1000,得2二1000,又2,0=1024,所以时刻f最接近200分钟.答案：2005.某化丄厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.己知该生产线连续生产〃年的累计产量为和)=寺25+1)(2斤+1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是年.解析：由题知第一年产量为t/］=|xiX2X3=3;以后各年产量分别为an=f(n)~f(n~1)=|n-(n+1)(2〃+l)-|n«(n-1)(2」1)=3n2(nEN*),令3/W150,得1迈故生产期限最长为7年.答案：76.(2010年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃汕附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为/U)元，由题意可得：\n「8+1,x（0,3]/（X）m9+（x—3）x2.15,x（3,8][9+5x2.15+（x—8）x2.85,x（8,+oo）令心）=22.6,解得x=9.答案：91.（2010年绍兴第一次质检）一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以4、3一B、C、Z）为圆心，以b（00,则a是第答案：三函数畀+等*晋的值域为.•sinxIcosxltaru解析：当x为第一象限角时，sirtv>0,cosx>0,tartv>0,y=3；当x为第二象限角时，siiu>0,cosxvO,taru<0,y=当兀为第三象限角时，siru<0,cosx<0,tanr>0,y=当兀为第四象限角时，siru<0,cosx>0,tanr<0,y=3.COSX5.象限的角.-1；-1；-1.答案：{—1,3}（原创题）若一个a角的终边上有一点P（—4,。），且sincc-cosa=\n6.1.2-3.4.,a/3解析：依题意可知a角的终边在第三象限，点P(-4,°)在其终边上且sina-cosa=?易得tana=,则a=-4^3或-計5.答案：一或一訝5已知角a的终边上的一点P的坐标为(_£,y)(yH0),且sina=^y,求cosa,tanc(的值.解：因为sina=¥y=/匚’所以严=5,4V(-V3)2+/当y=y[5时,cosa=-tana=-当)‘=-诉时，cosa=-乎,tana=B组己知角a的终边过点P(a,lai),且aHO,则since的值为.J2解析：当a>0时，点P(a,a)在第一象限，sina=»当avO时，点、P(a,-a)在第二象限，sina=¥.答案：已知扇形的周长为6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是•解析：设扇形的圆心角为arad,半径为/?,则2R+a-R=6T少，解得a=l或“4.答案：1或4=2如果一扇形的圆心角为120°,半径等于10cm,则扇形的而积为解析：S=^\a\r2=X100=^y^7r(cm2).答案：cm2若角0的终边与168。角的终边相同，则在0。〜360。内终边与亍角的终边相同的角的集合为・答案：{56°,176°,296°}1.若么=乩180。+45。伙GZ),则a是第象限.解析：当k=2m+l(mez)时，a=2/n-180°+225°=m-360°+225°,故a为第三象限角;当R=2m(m丘Z)时，a=;?2-360°+45°,故a为第一象限角.答案:一或三•'；.；；：•■：?■•)2.设角a的终边经过点P(—6a,—86/)(gH0),则sina—cosa的值是.解析：Vx=-6a,y=-8a,/.r=^/(-6tz)2+(-8^)2=1OltzI,・.y%一8a+6a-a1小左.1..sina-cosa=r-；=1Qb|=—=±-^：±53.(2010年北京东城区质检)若点A(x,y)是300。角终边上界于原点的一点，则上的值为解析：=tan300°=-tan60°=-Q5.答案：一帀3兀3兀4.(2010年深圳调研)已知点P(siny,cos"落在角&的终边上，且0丘[0,2兀)，则〃的值为\n3兀3兀3tiC0ST7ti解析：由sin~^->0,cos才v0知角0在第四象限，—=-1,0E[O,27t）,=sin才答案：y21.己知角a的始边在尢轴的非负半轴上，终边在頁线y=kx±,若sina=〒，且cosavO,则k的值为.解析：设a终边上任一点P（x,y）,且QPIH0,・・・）了化丫，r=y/F+（&y=冷i+Q|x|.又sina>0,cosavO./.^<0,y>0,・\r=-p]+Ox、Xk<0..\sina=一—~—752I]，又since=—f=.-yjl+k?16432一扇pa=刃亍厂a+一+4ax寸1+<52・・/-~j=>・°・k=一2•答案:—2VI+k2V52.己知一扇形的中心角是a,所在圆的半径是/?.若a=60°,/?=10cm,求扇形的弧氏及该弧所在的弓形面积.解：设弧长为/,弓形面积为S弓，•/a=60°=7?=10,/.I=^7i(cm)S弓=S扇一Sa=*¥兀°1°一^-102sin60°=50(申一¥)(cm?)・3.扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2,求圆心角的大小；圆心角为a,(2)求这个扇形的面积取得最人值时圆心角的人小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为厂，弧长为2,2r+/=8,⑴由题意可得<=3,解得r=3,1=2、I=6,\n⑵V2r+/=2r+ar=8，•5’解析：cosa=兀a^（2，K）,贝I」tana=・3匸严、舒宀•4•+since4一三,«e（—,兀）,所以sina=w，・・tana==一厅.525coset3cosa4答案：-342.（2009年高考北京卷）若sin0=—g,tanft>0,则cos0=\n43解析：由sin0=-§<0,tanft>0知，0是第三象限角，故cos0=-.3答嶷飞3.4.兀371若sin（g+a）=g,贝【Jcos（亍一a）=.解析:cos（彳-a）=cos［号一（?+«）］=sin《+a）弓答案：|5^inr—coqy（2010年合肥质检）已知sinx=2coM,则=.2sinx+cosx么5siav一cosx5tanr-19角牛析:Tsinx=2cosx,•；tarn=2,/•=r=£2sinx+cosx2taiu+1□9答案：55.（原创题）若cos20+cos&=O,则sin20+sin0=.解析：由cos20+cos0=0,得2cos2〃-1+cos0=0,所以cosO=-1或cosO专，当cosO=-1时，有sin。=0,当cos。=*时,有sin<9=±半.于是sin20+sin。=sin0（2cos&+1）=0或书或-荷・答案：0或书或-需6071兀、1.己知sin（兀一a）cos（—8兀一c（）=y^,且（才，㊁），求cosa,sina的值.12（）解：由题意，得2sincos«>0.即since+cosa>0,sina一cosa>0,177/.since+cos«=③since-cosa=厉，④「一12s②+④得:sina=•③-④得：cosa=言.B组I•已知sim=2cosx,贝I」sin2x+1=.2'•o.I2g丄严】r,e~999\2sin^x+cos^x-i2tanx+19tanx+1解析：由已知，Rtaru=2,所以sinx+1=2sinx+cosx==?=T-sirrx+cosntan^x+1□9答案：52.（2010年南京调研）cos^=・\ncos*的+10兀4兀711处左1篦牛初•：cos"^-=cos^"=_cos〒=•合茱：—23.（2010年西安调研）已知since=7I，且&丘（乡兀），那么黯的值等于2x3s亠匕r-4sin2a2sinacosct2sina53cosaMivT：cos«=一yjl-sirra=—三，—=2==—=v5cosacosacosa42\n答案：一二—+工丄入比lfrsina+cosa,?1.（2010年南昌质检）若tana=2,则+cos2«=.sina—cosaA”丄厂since+cosa7sina+cosacos2«tanct+1116“亠16解析：+cosa=+=+―=〒誉案：VC0S6Csince-cos«sina一cosasina+cosatana-1tana+1''7T2.（2010年苏州调研）已知tam=sin（x+㊁），则sinx=.解析：Vtaiu=sin（x+*9）=cosx,Asiiu=cos2x,・*.sin2x+siwe-1=0,解得sinr=_答案:导3.若0丘［0,兀），且cos0（sin0+cos&）=l,则0=.解析：由cosO（sin0+cos0）=1今sin&・cos0=1-cos2。=sin20=>sin0（sin0-cos0）=0今sin0=07TIT或sin〃一cosO=0,又；•〃丘［0,兀），.•・〃=0或才.答案：0或二7-JT17兀己知sin（a+y^）=§,则cosS+巧）的值等于.解析：由已知，得cos（a+普）=cos［（tx+令）+号］=一sin（a+为）=答案：8.解析：由（2008年高考浙江卷改编）若cosa+2sin«=―肃,则tana=cosa+2sinot=-诉，①sin2a+cos%=1,②将①代入②得（Vasina+2）2=0,/.sin«=-cosa=-书’/.tana=2.答案:2171sin（兀一a）cos（2兀一a）tan（—a+丁）$.9.已知夬°=）=cosC-TT-a）'则人_手匹）的值为_COS§=.答案:解沁竺迪…豳，・・・/（-%）=八-cosa八31.求sin（2m+辛）・cos（〃兀+¥）（〃WZ）的值.2兀4兀2兀it解：（1）当/?为奇数时，sin（2/?7T+~^-）-cos（H7i:+丁）=sin^--cos[（n+1）兀+3].z兀、兀•兀兀VIXZ1=sin（7t-亍）・co吁=sin亍cos亍=x2=4*2兀4兀2兀4tt兀兀兀\n（2）当刃为彳禺数时，sin（2/i兀+丁）•cos（/27i+-y）=sirr亍・cos了=sin（7i一亍）・cos（兀+亍）=siny（一cos|）=^X（-|）=-普.1.在厶ABC中，若sin（27i—A）=—迈sin（兀一B）,Q5cos4=—迈cos（兀一3）,求ZX4BC的三内角.\n解：由已知，得sinA=V^sinB,①羽cosA=迈cosB,②①2+②2得：2cos?4=1,即cosA=±*.(1)当cosA=,cosB=¥，又A、3是三角形内角，/.A=^,B=冬/.C=k-(A+7a/335B)=诃c.(2)当cosA=-，cosB=-专.又A、B是三角形内角，.•・/4=2兀，B=不合题意.综上知，A=中,B=*,C=召兀.1.已知向量a=(Q5,1),向量b=(s\na—m,cosa)・⑴若a〃比且aW[0,2兀)，将加表示为a的函数，并求加的最小值及相应的a值；(2)若兀a丄比.ft777=0,求cos(2_cc)-sin(7r+2a)——:—-——的值.cos(兀一a)解:(\y：a//b.・\y[3cosa-1-(sina-m)=0,・*.m=since一V^cosa=2sin(a-彳).又V«e［0,2K）,7T3止匕时a-^=孑兀，艮卩二当sin(a-?)=一1时，77?min=_2.11a==ti.6(2)Ta丄方，且m=0,.\y[3sina+cosa=0.Atana=一专•cos(^-a).sin(K4-2a)畑・(一或伽)_…:;==tana・2sina・cosacos(7i-a)一cosa2sina・cosa2tana1=tancc・=tana•■:=sms+coss1+tansL第三节正弦函数与余弦函数的图像与性质A组1.（2009年高考四川卷改编）已知函数f（x）=sin（x—^）（xR）,下面结论错误的是.①函数/（兀）的最小正周期为2兀②函数./U）在区间［0,自上是增函数③函数/U）的图象关于直线兀=0对称④函数.心）是奇函数解析：Ty=sin（x-号）=一cosx,y=-cosx为偶函数,7T:.T=2ti,在［0,寸上是增函数，图象关于y轴对称.答案:④2.（2009年高考广东卷改编）函数y=2cos2（x—^）—1是•①最小正周期为兀的奇函数②最小正周期为7i的偶函数③最小正周期为号的奇函数②最小正周期为号的偶函数\n解析：y=2cos?(兀-号)-1=cos(2x-号)=sin2x,:・T=it、且为奇函数.答案：①1.(2009年高考江西卷改编)若函数/(%)=(1+V3tanx)cosx,OWxv号，则乐)的最大值为I—sinx厂71解析：f(x)=(1+73・^^)・cosx=cosx+p3sinx=2sin(x+g),TOWxv*,+•:当兀+?=号时,./U)取得最大值2.答案：2JT4.己知函数f(x)=asin2x+cos2x(aeR)图象的一条对称轴方程为兀=巨，则a的值为7T7T7T兀、/3解析：•••兀=巨是对称轴，・\/(0)=血)，即cosO=asin亍+cos亍a=-答案：申1.(原创题)设f(x)=Asin(cox+(p)(A>0r3>0)的图象关于直线尤=彳对称，它的最小正周期是兀，则几0图象上的一个对称屮心是(写出一个即可).9,71TTTT解析：VT=—=TT,.\co=2,又T函数的图象关于直线兀=勺对称，所以有sin(2X~+(p)aa=±1,：・(p=k\Tt-評1WZ),由sin(2x+k\Tt-g)=0得2x+k\it一石=层兀伙2GZ),Ax=巨+(雇-们芳，当k\=k2时，兀=令，••JU)图象的一个对称中心为(令，0).答案：(令，0)2.(2010年宁波调研)设函数f(x)=V3cos2x+sirLYCO&¥—(1)求函数/(兀)的最小正周期八并求出函数/U)的单调递增区间；(2)求在［0,3兀)内使/(x)取到最大值的所有x的和.解：(1)/(%)=爭(cos2x+1)+*sin2x-=申cos2x+*sin2x=sin(2x+彳)，7TJCJC57T故7L由2R兀一㊁W2x+亍W2Rti+㊁伙WZ),得ht-+〒牙STT所以单调递增区间为伙兀-右7T,比兀+巧］伙WZ).TT'JiTT(2)令f(x)=1,即sin(2兀+§)=1,则2兀+§=2£兀+尹:WZ).于是兀=加+巨伙$乙)，TTTTTT13兀V0^x<3ti,且RGZ,.\k=0,1,2,则巨+(兀+巨)+(2兀+巨).13・••在［0,3兀)内使/⑴取到最大值的所有X的和为才7LB组1.函数f(x)=sin(|x+9+sin|x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是・解析:2兀c亍3兀,f(x)=cos^+sin^=V2sin(^+,相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T.T3n竺玄3兀••22•口宋•22.(2010年天津河西区质检)给定性质：a最小正周期为心b图象关于直线兀=扌对称.则下列四个函数中，同时具有性质ab的是・X7T7T7T①y=sin(^+&)②y=sin(2兀+g)③y=sinlxl④),=sin(2兀一g)解析：④中，VT=—=7c,.•.e=2.又2X壬-殳=弓，所以x=为对称轴.oj3o23答案:④3.(2009年高考全国卷I改编)若扌<%<^,则函数y=tan2xtaiA的最大值为—•如工717L，人cm小32tan4x2(/+I)?1解析：~7l,令tan~x一1=r>0,贝Uy=tan2xtanx=■:==一2(/+一12"1-tanx-1t+2)W-8,故填-&答案：-82\n2.(2010年烟台质检)函数Ax)=sin2x+2cosx在区间［—尹，甸上的最大值为1,则&的值是解析：因为f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-l)2+2,又其在区间［-丁'创上的最大值为1,可知&只能取-乡答案：一号2it2兀3.(2010年苏北四市调研)若函数/(x)=2sinex(®>0)在［一丁，丁］上单调递增，则①的最大值为•解析：由题意，得瓷上¥，・・.0sW扌，则co的最大值为扌.答案：|7T7T4.(2010年南京调研)设函数y=2sin(2x4-j)的图象关于点P(xo,O)成中心对称，若兀()丘［一㊁，0］,则也=・TT7T解析：因为图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y=2sin(2x()+亍)=0，［-乞0］,得无0=-答案：一殳7T・7T5.已知I羽数y=Asin(ojx+(p)+m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为㊁，直线兀=§是其图象的一条对称轴，则下面各式屮符合条件的解析式是.卡划_71-7T_71-71①y=4sin(4x+g)②y=2sin(2x+§)+2③y=2sin(4x+亍)+2®y=2sin(4x+g)+2［A+m=4解析：因为已知函数的最大值为4,最小值为0,所以|,解得A=m=2,又最m~A=0小正周期为—=^,所以co=4,又直线兀=£是其图象的一条对称轴，将x=?代入得sin(4X^+4兀TTStTTT.卩)=±1,所以°+丁*兀+㊁伙WZ),即(p=kit-飞伙GZ),当R=1时，卩=石.答案:④6.有一种波，其波形为函数y=sin^的图象，若在区间［0,”上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数/的最小值是.rr5解析：函数y=sin亍的周期7=4,若在区间［0,/］上至少出现两个波峰，则f^T=5.答\n案：52.(2009年高考安徽卷改编)已知函数/(x)=V3sin(ox+coscox(^>0),y=/(x)的图象与宜线)=2的两个相邻交点的距离等于兀，则几兀)的单调递增区间是.解析：Vy=yf^sincux+cosex=2sin(cz?x+?),且由函数y=/(兀)与直线y=2的两个相邻交2兀7T点间的距离为兀知，函数y=f(x)的周期T=71,.\T=—=Ti,解得to=2,・\/(兀)=2sin(2x+g).令it.itt2鸟兀一㊁W2x+&W2航+㊁伙WZ),得航+g(kwZ)・答案：伙兀一亍，换+石］伙WZ)3.已知向量a=(2sinex,cos2o?x),向量b=(cosex,2诟)，其中。>0,函数f(x)=a・b,若/⑴图象的相邻两对称轴间的距离为兀.⑴求沧)的解析式；(2)若对任意实数創，恒有何-ml<2成立，求实数加的取值范围.解：(1)f(x)=ab=(2sinex,cos?亦)•(cosexpW)=sin2tox+迈(1+cos2ex)=2sin(2(z>x+申)+J5.T相邻两对称轴的距离为TT,••寻=2兀,=2sin(x+彳)+可・・・・2书W/S)W2+羽.又•.*l/(x)-ml<2,(2)Vxe[|,申，.・.x+专丘筍,y]、7T7T11.(_2+加冬2厉,〔2+加22+设函数f(x)=a-b-2+m0)的最小正周期为3兀，且当炸［0,兀］时，函数f(x)的最小值为0.(1)求函数爪兀)的表达式;(2)在AABC中,若@)=1,且2sin2B=cosB+cos(A—C),求sinA的值.ft?：(1)f(x)=V^sincox+coscox-1+m=2sin(cox+?)一I+加.2tt_2依题意，函数/U)的最小正周期为3兀，即一=3兀，解得co=t.\nCOo.•./(x)=2sin(y+^)-1+m.\n当xW[O,兀]时，乡丢辛+彳冬罟，*Wsin（亍+?）W1,9YTT.•./（兀）白勺最小值为加.依题意，m=0.「JU）=2sin（丁+g）一1•^2C7i2C7i（2）由题意，得/（C）=2sin（—+石）-1=1,二sin（—+石）=1•砖W乎+詐普，.青+廿乡解得C煜•••.A+B专.在RtAABC中，VA+B=号，2sin2B=cosB+cos(A-C)・/.2cos2A一sinA一sinA=0,角牟得sinA=~1?^.V01时，T<2九当Ovlolvl时，7>2兀，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求.答案：④2.（2009年高考湖南卷改编）将函数y=siiu的图象向左平移紙00卩<2兀）个单位后，得到函数y=sin（x—£）的图象，则卩等于.解析：y=sin（x-彳）=sin（x-中+2兀）=sin（x+平^）.答案：3.将函数/（x）=V3siax—cosx的图象向右平移°（卩>0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数,则（p的最小值为•_/U）的图象向右平移（P个单位所得图象对应解析：因为/⑴=V^sinr-cosx=2sin（xH<(pO,cu>0,—图象，则下列命题屮，正确命题的序号为①函数./U）的最小正周期为号；\n①函数/⑴的振幅为2衍；\n7①函数./U）的一条对称轴方程为兀=0；②函数/U）的单调递增区间为［令，务］;③函数的解析式为V3sin（2尤一务）.解析：据图象可得：A=V3,£=¥一彳3厂=兀，故血=2,又由寻）=厉6皿2><书+°）=1,解得卩=2£兀-扌伙WZ）,又-ti<（px+V3sincox-sin（（yx+^）+2cos2cox,xWR（e>0）,在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为寻（1）求co；（2）若将函数/U）的图象向右平移彳个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图彖，求函数g（x）的最大值及单调递减区间.解:(l)/(x)=亨sin2ex+*cos2亦+号=sin(2cox+专)令2亦+彳=号，将兀=?代入可得：co=TT3（2）由⑴得/U）=sin（2兀+g）+y经过题设的变化得到的函数g⑴=sin&一号+弓，45当x=4k兀+亍兀，kEZ时，函数取得最大值㊁.令2加+号W*加+寸兀伙GZ）,4兀10/.4ht+丁WjcW4£兀+了兀伙wZ）.\寸即xG［4竝+誓，4kTc+-y7c］,kWZ为函数的单调递减区间.B组1.（2009年高考宁夏、海南卷）已知函数y=sin（o?x+e）（e>0,—n^（pO,\(p|<7r)的图：・3=卡=2、扌巴点（务1）代入,可得案：I2><6+<9=2,卩=务答TT3.（2009年高考天津卷改编）己知函数/（x）=sin（cox+^）（xR,e>0）的最小正周期为兀，为了得到函数g（Q=cosex的图象，只要将》=心）的图象・7T解析：T./U）=sin（cox+才）（xWR,①>0）的最小正周期为兀，・*.—=7T,故CU=2.CO7LTT7T7C又f（x）=sin（2x+才）•：g（x）=sin[2（x+g）+R=sin（2x+㊁）=cos2x.答案：向左平移彳个单位长度4.（2009年高考辽宁卷改编）已知函数./U）斂托T11771271"3y用牛札2=72^一？？1=35••①=亍=3.7又斤尹，0）是函数的一个上升段的零点，73兀71/.3X—71+^=—+2k7i（k^7j）,得°=一才+2竝，代入於）=-|,得A=・\/（0）=|・答案：|=Acos(cox+(p)的图象5.将函数尸sin（2x+彳）的图象向平移个单位长度后所得的图象关于点（一7T迂0）中心对称.JTTT^TT解析：由y=sin（2x+亍）=sin2（兀+g）可知其函数图象关于点（-&0）对称，因此要使平移后的图象关于（-令，0）对称，只需向右平移令即可.答案：右6.（2010年深圳调研）定义行列式运算：6/1M=ag—Q2Q3,将函数沧）=西c*的图1sillV象向左平移加个单位（m>0）,若所得图象对应的函数为偶函数，则加的最小值是•\n其图象向左平移m个单位后变为y=2sin（兀-彳+加），平移后其对称轴为x-彳+加=£兀+彳,2tt2兀2兀RGZ.若为偶函数，则x=0,所以m=kit+Z）,故加的最小值为丁.答案：_7.给出三个命题：①函数y=lsin（2%+彳）1的最小正周期是彳；②函数y=sin（x—乎）在区间［兀，誓］上单调递增；③兀=乎是函数）-sin（2x+y）的图象的一条对称轴•其中真命题的个数是解析：由于函数『=sin（2x+申）的最小正周期是兀，遜数y=lsin（2x+》l的最小正周期是号,_3兀3tt5兀①正确；y=sind-丁）=cosx,该函数在［兀，丁）上单调递增，②正确；当x-时，y=sin（2x+罟）=sin（爭+罟）=sing+罟）=cos^=一¥，不等于函数的最值，故％=乎不是函数y=Sir_sin（2x+的图象的一条对称轴，③不正确.答案：2sin号恒成立，则所示＞y=kx的图象在y=kx在［0,1］上的图即可.8.（2009年高考上海卷）当OWxWl时，不等式实数k的取值范围是.解析：当0W兀W1时，y=sin号的图象如图［0,1］之间的部分应位于此图象下方，当WWO时,象恒在兀轴下方，原不等式成立.当k＞0,kjc^sxrr^时，在［0,1］上恒成立，kW\故RW1时，xE［0,l］上恒有siny^fcc.答案:2兀9•（2009年高考重庆卷）设函数/U）=（sincox+coscox）2+2cos2cox（如0）的最小正周期为亍⑴求7Tco的值；（2）若函数y=g⑴的图彖是由尸何的图象向右平移号个单位长度得到，求y=g⑴的单调增区间.解:（1笊兀）=sin2wx+cos2cox+2sinomcoscox+1+cos2cox=sin2cox+cos2wx+2=y［2tt、2兀2兀3sin（2cox+才）+2,依题意，得立=丁，故co=2'J「T（2）依题意,得g（x）=V2sin［3（x-号）+扌］+2=迈sin®-乎）+2.?!5ttjt2兀27兀由2kn-23x-+-j（kZ）,解得來兀+才WxW來兀+迈伙WZ）.r\Cr故g（x）的单调增区间为［來兀+务來71+肯伙丘Z）.10.（2009年高考陕西卷）己知两数f（x）=Asin（cox+（p）f兀GR（其中A＞0,如0,0＜\n卩＜号）的周期为2兀兀，且图象上一个最低点为M（丁，—2）.7T⑴求沧）的解析式；（2）当用［0,巨］时，求沧）的最值.\n解：（1）由最低点为M（丁，-2）得A=2.由T=7t^co=—=—=2.由点M（守，-2）在图象上得2sin（¥+°）=-2,即sin（^+卩）=-1,4兀7111717171・••了+°=2加一刁伙GZ）,即（p=2kii-RGZ.又°G（0,2）?：•申=石71=2sin（2x+g）・ITITTITTITTITT（2）TxW[0,迈],.•.2x+gW[g,寸,・••当2x+g=^,即兀=0时,/（兀）取得最小值1；当2x+6=3?即"令时5/U）取得最大值厉•11.（2009年高考福建卷）已知函数f（x）=sin（cox+（p）f其中（o>0,1^1=-W•毛cos2a1+tana/t/钉1•[丄・°"；―:—的值力•1十sin2«1—tana2•2cos2a1+tanacosa-sina1+tana2.析，1+sin2«1-tana(sina+cosa)21-tanacosa一sina1+tana1一tana1+tana=•=•=)since+cosa1-tana1+tana1-tanaf,兀.3lltlsin2x—2sin^x,,，亠“已知cos(t+%)=t,则的值为•451—taiu解析：Vcos(^+x)="|,・•.cosx—sinx=187sin2x-2sinx2siiu(cosx-siar)7/•1-sin2x=右sin2x=右/•:=:=sin2x=冇232dI-tanxcon—sinx231一tanxcosx一siiucosx3.兀71已矢flcos(a+〒)=sin(a—亍)，则tana=4.解析：cos(a+彳)=cosacos号-sinasin^=*cosa-^sina,sin(a-号).71.兀1.^3=smacos亍-cosasm§=^sina-飞-cosa,1yR1书由已庆口得：g+专)sina=(㊁+专)cosa,tana=1・乎),0匕(0,扌),cos(a_沪*,sin(乎+“)=鲁，解析：心务齐"一-71'3-•(0,才)，•・4设炸G，5.则sin(a+0)=_5兀兀s兀、r/兀3.•/兀4了)，a-才丘(0,㊁)，又cos(a—£)=g,..sin(«-^)=5-・3兀亠冷匚/兀・・.3ti5.3tt12・—+0W(才,兀)・・sin(才+0)=厉,・・cos(才+0)=一石,・•・sin(a+0)=-cos[(a-扌)+(乎+0)1=-cos(a-J)-cos(y+//)+sin(«-^)-sin(Y+/])=-*X(-j|)+*X吉=即sin(a+11jrcos(a+0)=—亍，且a,0丘(0,㊁)，则cos(cc—0)的值等于已知cosa=~解析：V«e(O,71cosa=/•cos2a=2cos2«一7-9…sin2«=\nV1一cos%=而a,0W(O，号)，・・・a+0W(O,兀)，二sin(a+#)=寸]_cos^a+0)=714\/22a/2/•cos(a-0)=cos[2«-(a+0)]=cos2«cos(a+0)+sin2asin(a+0)=(-§)X(-3)+~^―X=2327-6.已知角a在第一象限，且cosa=71+V^cos(2a—中)sin(a+号)解析：・・・。在第一象限，且cosa1，Asina=I，1+迈cos(2a-t)则•/兀、sin(a+2)1+y/2(~^cos2a+■^sin2a)2cos~a+2sinacosa4314_=2(sina+cosa)=2(§+§)=了・7T2717.i_5；lla=(cos2a,sina),〃=(l,2sina—1),a丘(刁兀)，若。上=§,贝Utan(a+才)的值为.23角军析:ab=cos2a+2sin2a一since=1一2sin2«+2sin2«一sina=1一sina=.Isina=§,又cosacosctaW(号,兀),・\cosa=tanl0°tan70°43./兀tana+118，tan70o-tanl0°+tanl20o的值为*,tan70°-tanlO°厂解析：由tan(7O。-10。)=]+画70。伽10。=厉'故tan7O°-tanlO°=«5(1+tan70°tanl0°),代入所求代数式得：tan70°tan10°tan70°tan10°tan70°tan10°V3(l+tan70°tanl0°)+tan120°厉(1+tan70°tanl0°)-厉V3tan7O°tanlO°3sin(ct+7)则—的值等于•sin2a十cos2a十Isin(«+扌)9.已知角a的终边经过点A（—1,仍）,Tsina+cosaHO,cosa=一[,・・.小小t-.4sin2ot+cos2a+14cosashi20°cos1°°+帀sin10°tan70°—2cos40°.s工丄、cos20°cosl0°V3sinl0°sin70°小解：原A=sin20o-COS70°-2cos40cos20°cosl0°+V3sinl0°cos20°v-2cos40°解析:=~y[2.10・求值:sin20°TcosloTsinKn_2cos4QOsin20°2沁20畑10喻30。+泅0讼30。）_2如0。sin20°\n2cos20°sin40°一2sin20°cos40°一sin20°~厶YY11・已知向量加=（2cos刁1）,〃=（sin刁1）（兀WR）,设函数⑴求函数/⑴的值域；（2）已知锐角心眈的三个内角分别为A,B,C,若几4）=春，.f（B）=弓，求/（C）的值.>XXXX询牛：（l）/（x）=mn一1=（2co迈，l）・（sirr^1）-1=2co迈sin㊁+1-1=siiu.VxeR,・・・函数/U）的值域为［535313'（2）•・V（A）=厉,、f（B）=亏,/.sinA=厉,sinB=§・V/4,B都为锐角，・：cosA=yj1-sin2A=yy,cosB=1-sin2B=g././（C）=sinC=sin［兀-（A+B）J=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=BX5+13X5=65-^C）的值为誥jrtt1412.（2010年南京调研）已知：Ova<^v0V7r,cos（〃一才）=亍，sin（a+0）=§.TT解：⑴法-:・.•cos（0-彳）=cos^co够+sin^siny?=^cosy?+^sin"=「•co够+sin0=¥，・11+sin20=£,・\sin2^=-£•法二:sin20=cos&-2"）=2cos'（0--1=一©.（2）T0vav号v〃<7i,:•号邙一中<^，申va+・：sin（“一扌）>0,cos（a+”）v0.…"兀、1•/小4••〃兀、2<2z小3•cos（p一才）=亍sin（«+〃）=§，••sin（“一才）=~>cos（a+p）=-§・7T7T兀m兀:.cos（a+才）=cos［（a+”）一（"一才）］=cos（a+p）cos（p-才）+sin（«+p）sin（p-玄）_,3142^2,872-3.；；「」；与八|"5X35X3-⑴求sin20的值；（2）求cos（a+才）的值.15•第六章三角恒等变形第二节两角和与差及二倍角的三角函数A组1•若sina=~3/兀兀、eiz|5兀、p«e（—㊁），贝ijcos（a+才）=•解析：由于炸（-务号），sina='|得cosa=p由两角和与差的余弦公式得：cos（a+乎）塾•、返\n2.已矢口兀兀，则*+*cos&=2（coscc一since）=-肓.2十2\n解析：二号垮寺,41+㊁=刁'=刁：•a艮卩tana=厅，所1+tans21+tans211tan(/?-a)-tana32i'•7-•*iJ10.已知tana=2.求⑴tan@+》的值；⑵泌牛啤二®的值.9-（2°1°年江苏省南通市调研）已知显菽5丄厂宀，1_cos2a解析:因为=1>sinacosa以tan(^-2a)=tan(^j+tan(y9-°)吸l+cos2a解:兀1+tana⑴••伽（I旷厂忒tana=2,711十/••tan(c(+2sina+cosa2cosa1tana+㊁点分别在第一、二象三角形，若点A的坐\n34标为(g,§),记ZCOA=a・⑴求1+sin2«1+cos2a的值;（2）求IBCI2的值.34431+sin2a解：（1）・.・人的坐标为（§,§）,根据三角函数的定义可知，sina=^,cosa=1+2sinacosa492cos（2008•福建理,10）在AABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若（a2+c2-b2）tanB二侖ac,则角B的值为（）A.壬B.兰63«18*(2)VAAOB为正三角形，ZAOB=60°..IcosZCOB=cos(a+60°)=cosacos60°-314V53-4^3sin«sin60°.=-~X=—[q_，3-4昉7+4昉AIBCI2=IOCI2+IOSI2-2\Oa\OB\cosZCOB=1+1_2X'⑴一—Clriyd—I—QInR12.(2009年高考江西卷)/\ABC屮，A,B,C所对的边分别为a,b,c,tixnC=cosA+cosB^sin(B-A)=cosC.(l)求角4，C.(2)若Swc=3+厉,求a,c5.siri4+sinB°sinCsin>4+sinS縮⑴因为tanC=cosA+cosfi.即赢^cosA+cosB'所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsin/l+cosCsinB,即sinCcos?l一cosCsinA=cosCsinB一sinCcosB,得sin(C-A)=sin(B一C),所以C~A=B~C,或0,贝1」如=828、已知函数/(兀)=厂匚，那么f(i)+f(2)+/(£)+/(3)+/C)+/(4)+/C)=_I_1+兀23429、一个项数为偶数的等比数列，首项是1,且所有奇数项Z和是85,所有偶数项Z和是170,则此数列共有—8—项10、在各项为正数的窑比数列&“｝中，已知a^a4=\\a2-^4,2斤项的和等于它的前2〃项中偶数项Z和的11倍，贝U数列仏｝的通项公式色=詁y11>已知数列仏｝屮，①=-60,%+严心+3,那么a1+丨°21+・・・+匕3()I的值为_765o12、等差数列&”｝屮，e>0,一几3込=5d]3,则｛S“｝屮最人项为520o13、己知一个等差数列前五项的和是120,后五项的和是180,乂各项之和是360,则此数列共有12项。3”+巧14、设/(x)=—利用课本中推导等差数列前门项和的公式的方法，可求得：/(-12)+/(-11)+/(-10)+...+/(0)4-...+/(11)+/(12)+/(⑶的值为耳羽15、已知数列｛心｝的通项勺严(2斤+1)・2心，前n项和为S”，则S“二1+(2—1)212+2,22+4,32+6,42+817、已知数列｛%｝是首项为％公差为d(0cd<2兀)的等差数列，若数列｛cosa〃｝是等比数列,则其公比为(B)18、已知在数列仏｝中，a｛=l,a2n=qa2n_ua2n+｛=a2n+d(q>deR,q>0).(1)若g=2,d=-1,求如印并猜测02006；(2)若仏”J是等比数列，且｛如｝是等差数列,求<7,d满足的条件.解(1)va｛=I®=2,。3=ci2—\=1,為=2偽=2,.•.猜测a2006=2.(2)由a2n=qa2n_ha2n+x=a2n+d(q,dR,q0),得a2n+1=qa2n_x+d.当d=()时，显然a2n+[=qa2n_｛,｛吆-i｝是等比数列•当dHO时，因为ax=1,只有a2n_i=1时，｛。2”-1｝才是等比数列.由a2n+\=(ia2n~]+*得$+〃=1,即〃=0,Q工°，或Q+J=1.二；「'J由a2n=Qa2n-\,a2n-l=a2n-2+d得如=%-2+加⑺»2)-当g=\,a2n-a2n_2+d(n>2),显然｛吆｝是等差数列，当gH1时，a?=qa、=q,只有a2n=q时，｛如｝才是等差数列.由a2n+2=q@2n+d),得Q+d=1,艮卩Q=1,Q+〃=1・综上所述：q+d=1.\n19.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项和是1220,试求其前斤项和。解：出题设：S10=310S20=1220得:S,i+呼X6=3宀2第九章平面向量—>—>f1.已知三个向量g(cosq,sin&J,b二(cos。？，sin<92),c=(cos,sin%),满足a+Z?+c=0,2贝lja与b的夹角为-7i2、•卜列命题：(1)若曰与方为非零向量，且臼〃〃时，则a—”必与盘或〃中之一的方向和同；(2)若e为单位向量，且a//e,则臼二|臼|e；(3)a•a•a=\日f(4)若臼与b共线，乂Z?与c共线，则臼与c必共线⑸若平面内四个点A、B.C、D则必有AC+BD二BC+AD正确的命题个数为(D)4、1B、2C、3D、03、若o为平行四边形ABCD的中心，AB=4ePc=6乙,则迢-2有等于(B)A.AOB.BOC・COD・DO一__IQ4、若&=(5厂7)小=(-1,2),且(ci+Ab)丄b，则实数人的值为—•5、已知|：|=门|=2,:与&的夹角为兰，贝心+庁在：上的投影为3。36、在直角坐标平面上，向量0A=(4,1),向量0B=(2-3),两向量在直线/上的止射影长度相等，则直线/的斜率为3或■丄27、设平面向量a=(-2,1)，b=(1,A),若：与&的夹角为钝角，则2的取值范围是(_口_£)U(_g,2)o228、・已知向量而=⑵。),呢=(2,2),G4=(V2cosa,V2sin6Z),则向量OA.OB的夹角范围是乍］。12129、将函数y=2兀的图象按向量；平移后得到y=2x+6的图彖，给出以下四个命题：①；的坐标可以是(-3,0);②；的坐标可以是(-3,0)和(0,6);③；的坐标可以是(0,6)；④；的坐标可以有无数种情况。'「勺上述说法正确的是一①②③④o20、已知AABC屮，CB=ayCA=byab<0,SMBC|=3,IM=5,贝忤与庁的夹角为_150°_o\n11>若AABC三边长>48=5,BC二7,AC二8,则ABBC等于-5。12.已知1^1=4,\b\=3,a.b的夹角为120°,Rc=a+2b9d=2a+kb,当7丄2时，k=.13•已知A(3,y),5(-5,2),C(6,-9)三点共线，则尸.10.若°二(1,2),b-(一3,2),k为何值时：(1)k：+乙与2—3厶垂直；(2)ka+b^a一3庁平行？\n10.已知|°|=4,|乙|=3,(2a—3厶)•(2a+方)=61,求：(/)a与方的夹角；(//)\a+2h\.11.已知MBC的顶点坐标分别为A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求cosA.17-设门（皿—1，沖―1）,弘（丰,¥）•（1）若：为单位向量，求“的值;（2）设f（^）=a•厶，则函数y=f（X）的图彖是由y=sinx的图象如何平移得到？18.已知a=(cos—x,sin—x),b=(cos—,-sin—)，目.xe[0,—]・22222(/)求abRa+b(//)求函数f(x)=a-b-a+bsinx的最小值.第十章算法第一节程序框图框图，运行相应的程序,A组1.（2009年高考福建卷改编）阅读如图所示的程序输出的结果是.解析：试将程序分步运行：第一循环：S=、1=_[‘«=2;1一2第二循环：S=—;—=£n=3;1-（-1）Z第三循环：S=—=2,斤=4.答案：41_22.（2009年高考宁夏、海南卷改编）如果执行如图的程序框图，输入%=-2,/?=0.5,那么输出的各个数的和等于•解析：由框图可知，当兀=-2时，y=0;当x=-1.5时，y=0;当x=~1时，y=0;当x=-0.5时，y=0;当x=0时，y=0;当兀=0.5时，y=0.5;当兀=1时，y=l;当x=1.5时，y=1;当x=2时，y=1.・•・输出的各数之和为3.5.答案:3.53.（2009年高考山东卷改编）执行下面的程序框图，输出的・\n第3题第2题解析：据框图依次为:r5=5,'S=10,—15,^=20,'S=25,n=2,<«=4,vn=6,2,再次进入循环得a=4,b=6,此时x=2,退出循环.故输出2.答案：22.（2010年苏、锡、常、镇四市高三调研）阅读如图所示的程序框图，若输入的”是100,则第5题®)OR第6题输出的变量S的值是多少?解析：由循环结构可得5=100+99+・・・+3+2=5049.故输出的变量S的值为5049.答案：50491.（原创题）已知如图所示的程序框图（未完成），设当箭头。指向①时，输出的结果为S=加，当箭头。指向②时，输出的结果为S=n,求加+〃的值.解：（1）当箭头g指向①时，输出S和，的结果如下：S0+10+20+30+40+5\nAS=m=5・（2）当箭头a指向②时,输出S和!•的结果如下:S0+10+1+20+1+2+30+1+2+3+4i2345S0+1+2+3+4+5i6/.S=n=l+2+3+4+5=15,于是in+n=20.B组1.（2010年温州调研）如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为5=720,则在判断框屮应填入的关于R的判断条件是・解析：5=10X9X8,10>&9$&8^8,判断条件为“是”时进入循环体，728判断条件为“否”，跳.出循环，输出s.答案：5（第1题）（第2题）（第3题）2.若/?=8,则下列流程图的运行结果为—4—・3.给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则x的可能值的个数为.解析：xW2时，x2=x,.•.X=0或x=1;25时，丄・・・兀=-1或x=1（都舍去）.所以共有3个可取值.答案:3X4.如图，该程序运行后输出的结果为・解析：71=1W9,“是”，则5=0+1,A变为2;A=2W9,“是”，则S=0+1+2,A变为3;…；A=9W9,“是”，则5=0+1+・・・+9,A变为10;10W9,“否”，则输出5=45.答案：45t.i】寸5.已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16,则循环体的判断框内①处应填__.解析：时进入循环，此时b=2'=2;a=2时再进入循环，此时Z?=22=4;d=3时再进入循环，此时b=24=16,・・・°=4时应跳出循环，・・・循环满足的条件为°W3,・••填3.答案:3\n（第5题）“是”，5=2X1+1=3,A变为2;,则5=2X3+1=7,A变为3；,则S=2X7+1=15,4变为4;,则S=2X15+1=31,A变为5;,则S=2X31+1=63,A变为6;,则跳出循环，故填5.“是”“是”"是”"是”“否”（第6题）（第4题）1.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63,则判断框中的整数M的值是解析：4=1WM,A=4WM,A=6WM,2.（2009年高考广东卷改编）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如F表所示：队员i123456三分球个数Cl\°3°5°6下图是统计该6名队员在最近三场比赛屮投进的三分球总数的程序框图，则图屮判断框应填,输出的$=.（注：框图屮的赋值符号“一”也可以写成或仁=”）（第7题）（第8题）解析：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填zW6或?<7,输出s为a\+02+03+^4+05+%3.（2009年高考上海卷）某算法的程序框图如图所示，则输出量y与输入量兀满足的关系式是\n解析：由程序框图的条件结构知：x>l时，y=x~2;2X(xWl),x-2(x>l).1.某流程如图所示，现输入如下四个函数®f（x）=x2；②几丫）=丄；@f（x）=\nx；@f（x）=sinx.X\n则输入函数与输出函数为同一函数的是.解析：由程序框图易知只需函数为奇函数且存在零点时，输出与输入函数必是同一函数,分析上述四个函数，易知只有y=sinx满足条件.答案：④/输人西数张）/（第9题）4100^/输出a/（结朿）\n（第5题）（第6题）5.（原创题）编写程序求S=l+2+3+・・+的和5由键盘输入）,程序如图,则横线上应填IWh.6.（2009年高考江苏卷改编）下图是一个算法的流程图，求最后输出的W的值.解：第一次：T=1,5=12-0=1;第二次：T=3,S=32-1=8;第三次：T=5,S=52-8=17.此时满足S310.所以W=S+T=17+5=22.B组1.右面程序执行后输出的结果是_0.2•下列程序的功能是：判断任意输入的数兀是否是正数，若是，输出它的平方值；若不是，输出它的相反数.则填入的条件应该是兀W0_・3.程序如下:\n若输入10,20,30,则输出结果为3.（2010年南通调研）程序如下:t—1i-2WhileiW4t-tXii-i+1Whilet24EndPrint以上程序输出的结果是—3.有下面算法：5.有下面算法：则运行后输出的结呆是4.（2010年南京第一次调研）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果/为—5PrintI7.现欲求1+*+*F已给出了其程序框图，请将其补充完整并设计出程序.解：①iT+1②S~S+J2i-1程序如下:2/?—1的和（其中n的值由键盘输入）,\n00y?0n0BB鬻yX22X(XJ10二X、、z)sz乘b13I〈MilsFX—SF+2XT0)M2+1y£2+2H\n醫Avo・AO(2+8)B0JC00Jc(2+8)D001cp+8)0bbg^>xm(-oook#蠡捕麦，§/(270b^«n(XID>XID丫03棄*凶、亠x-—3人x人—一)BIX-—一人x人1^1人x人3)cdx-—3人x\nA.(0,1)U(2,3)B・(1冷)U(?3)C.(0,1)u(-3)2D.(0,1)U(1,3)5、函数/⑴在(一1,1)上有定义且于(兀)=?+x,^f(l-a)4-/(l--界尸0时a的取值范|韦|为A、F2,1)B、(0,72)C、(0,1)D、(—2,V2)6、己知函数/(X)=1log?X1,若/(x)a/(3.5),则X的取值范1旳为?7A、(o-)u(i,-)72B、(一,4~oo)2C、(0,f)5；,+8)72D、(鶴)727、设奇函数几x)在［—1,1］上是增函数,且八-1)=-1,若幽攵f(x)[-*冷]C、(―。o厂2]u]2,+oo)u{0}D(Y>,—*]kj[*+8)u{0}9、A、15辽°内,则点S+D所在的区域的面积为x+y<213、2C、4D、'八期•。C(4,在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包抬边界冃标函数取得最优解有无数个，贝儿的一个可能A>—3B、3D.-1D.10、若关于兀不等式2a2(ae(-oo,0))的解集为11、若关于％不等式0?+加+。》0(。矣0)的解集'WaYxYp,其中0AQAO,贝怀等式c/+bx+aY0的解集为;12、若关于X不等式lx+21+lx-1IG的解集为0,则d的取值范围是—(y,3］_,若此不等式有解，则a的取值范I韦I是_(3,+oo)13、/⑴、曲)为定义域为R的奇函数，不等式/(X)A0的解集为(加加,g(%)AO|的解集为(号,号)，其中OY/HY号,则不等式“r)・g⑴A0的解集为；14、已知关于x的不等式f-5V0的解集为eA/J.5M侧实数°的取值范围为;xr-aL25、不等式J+飒2+4()对一切实数*恒成立，则实数a的取值范围为;\n16、已知x,.ygR+Hx+y=4,则使不等式丄+$2皿恒成立的实数“7的取值范I韦I为;x〉\n17、关于x的方程x2+ax+2b=0的两根分别在区间（0,1）与（1,2）,则黯的取值范围为；18＞设x,ye尺+且兀+y=1,则小+丄的最小值为;19、设x,ye/且X+*,=i,则』+）,2的最大值为;20、设“AbAO,则a2—1^—■的最小值为：b（a-b）21、解关于x的不等式各Y1第十二章立体几何第一节简单几何体A组1.下列命题中，不正确的是.①棱长都相等的长方体是正方体②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体解析：由平行六面体、正方体的定义知①④正确；对于②，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而②正确；对于③，若两侧面平行且垂直于底面,则不一定是直棱柱.答案：③2.（2009年高考全国卷II改编）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是.△i上i东解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为厶，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北.答案：」匕3.（2009年高考安徽卷）对于四面体ABCD,下列命题正确的是.（写出所有正确命题的编号）.①相对棱AB^jCD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，具垂足是三条高线的交点；③若分别作△ABC和的边A3上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.\n解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果4B与CD垂直，则两条高的垂足重合.答案：①④⑤1.下列三个命题，其中正确的有个.①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台.解析：①中的平面不一定与底面平行，②③可用反例图去验证.答案：02.下面命题正确的有个.①长方形绕一条宜线旋转一周所形成的几何体是圆柱②过圆锥侧面上一点有无数条母线③三棱锥的每个面都可以作为底面④圆锥的轴截面（过轴所作的截面）是等腰三角形解析：①②错，③④正确.①错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；②两点确定一条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线.答案：23.如图所示，长方体的长、宽、高分别为4cm,3cm,5cm,一只蚂蚁从A到C点沿着表而爬行的最短距离是多少？A3B解：长方体ABCD-AiSCQi的表面可如下图三种方法展开后，A、G两点间的距离分别为：彳（5+4）2+3—3顷,^/（5+3）2+42=4V5,寸（3+4尸+仍,三者比较得佃是从点A沿表面到Ci的最短距离，・・・最短距离是你cm.B组冷打疗…扛则1.（2009年高考安徽卷）对于四面体ABCD,下列命题正确的是・①相对棱AB与CD所在的直线是界面直线；②由顶点4作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积Z和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是的三条高线的交点；③中如果与CD垂直，则两条高的垂足重合.答案：①④⑤2.下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.\n①侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.\n其中，真命题的编号是.（写出所有真命题的编号）解析：对于①，设四面体为D-ABC,过棱锥顶点D作底面的垂线QE,过E分别作4B,BC,C4边的垂线，其垂足依次为F,G,H,连结DF,DG,DH,则上DFE,ZDGE,ZDHE分别为各侧面与底面所成的角，所以ZDFE=ZDGE=ZDHE,于是有FE=EG=EH,DF=DG=DH,故ABC的内心，又因△ABC为等边三角形，所以F,G,H为各边的中点，所以△AFD3HBFD3HBGD竺HCGD3“AHD,故DA=DB=DC,故棱锥为正三棱锥.所以为真命题.对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题.对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题.对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题.综上，①④为真命题.答案：①④3•关于如图所示几何体的正确说法为•棱柱的组合体命题正确的是①这是-个六面体②这是-个四棱台③这是一个四棱柱④这是一个四棱柱和三①这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱答案：①②③④⑤3.（2009年高考安徽卷）对于四面体ABCD,下列①相对棱与CD所在的直线是异面直线；②曲顶点人作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和的边A3上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组和对棱中点的连线，所得的三条线段和交于一点.解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果与CD垂直，则两条高的垂足重合.答案：①④⑤4.给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形•其小说法正确的是形，若侧棱不垂直于命题，直角三角形绕圆锥，如果绕着它的同底面的圆锥；命题底面ABCD是矩形，角三角形.故填③.解析：命题①不是真命题，因为底面是矩底面，这时四棱柱是斜四棱柱；命题②不是真着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共③是真命题，如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD,则可以得到四个侧面都是直答案：③5.下列结论正确的是①各个而都是三角形的儿何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲而所I韦I成的儿何体叫圆③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：①错误.如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥.②错误.如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.\n⑴•AH①错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.②正确.答案：④3.过半径为2的球。表面上一点A作球。的截面，若04与该截面所成的角是60。，则该截面的面积是•解析：设截面的圆心为0',由题意得：Z0A0'=60°,O'A=1,订亠兀.答案：7i4.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题屮，假命题是•①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都和等①等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补②等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆③等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上p解析：①如图，/SA=SB=SC=SD,/.ZSA0=ZSB0=ZSC0=ZSD0,即等腰四棱锥腰与底面所成的角/：\\相等，正确；②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补/A(2)有下列四个命题：A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD.若往容器内再注入。升水，则容器恰好能装满.其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）.解析：设正四棱柱底面边长为b,高为仙，正四棱锥高为炖，则原题图（1）中水的体积为/?2/12-=图（2）中水的体积为b2h{-b2h2=/?2（/?i-加），\不一定成立；③如图，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD,即等/”'…比乍。腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；④等腰四棱锥各顶点在C同一个球面上，正确.故选②.答案：②5.（2008年高考江西卷）如图（1）,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有。升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P•如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））\n对于B,当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确.对于C,彳艮设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为庆他，矛盾，故C不正确.答案：BD3.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h\,Is，h?,求们：他：居的值.解：选依题意,四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥,且棱长均相等，设为Q,他二居，h1=a2~(^a)2=,h2=-C^i)2=誓a，故加：h2:h3=y[3：2：2.为正三角形，边长为长为兀，则DE=EF=^EF2-Ep=Rt/XDHF中，Q宀即该三角形的斜边长11・一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.己知正三棱柱的底面边长为2,求该三角形的斜边长.解：如图，正三棱柱ABC-A|B|C|中，△ABC2,\DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，设DFV2电-兀，作QG丄BB\,HG丄CCi，E/丄CCi，则EG=^DE2-DG1=寸夸一4,F1=、/%-4,FH=FI+HI=FI+EG=2、务-4,在DH2+FH—即/=4+（2冷亍一4））2,解得x=2^3.为2也.12.(2009年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60。纬线长和赤道线长的比值.解：设地球的半径为/?,那么对应的赤道线的大圆的半径为而对应的北纬60。纬线所在的小圆的半径为胡，那么它们对应的长度之比为*/?:R=*.即所求比值为第二节空间图形的基本关系与公理A组J二"1.以下四个命题屮，正确命题的个数是.①不共而的四点中，其中任意三点不共线；②若点4、B、C、D共面，点4、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线方、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B.C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上.答案：1\n1.给出下列四个命题：①如果两个平而有三个公共点，那么这两个平而重合；②两条直线可以确定一个平而；③若M^a,MWp,«0/?=/,则MWl；\n①空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内.其屮真命题的个数为.解析：根据平面的基本性质知③正确.答案：11.（2009年高考湖南卷改编）平行六面体ABCD-AxBxCxDx中，既与共面也与CC】共面的棱的条数为.解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BBi、AAi.CQ符合条件.答案：52.正方体ABCD-AiBfCiDt中，P、0、R分别是AB、AD.BC的中点.那么，正方体的过P、0、的截面图形是•解析：边长是正方体棱长的罟倍的正六边形.答案：正六边形3.（原创题）已知直线加、”及平面弘其中m//n,那么平血内到两条直线加、”距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）—个平面；（3）—个点；（4）空集.其屮正确的是・解析：如图1,当直线加或直线几在平面a内且m>n所在平面与a垂直时不可能有符合题意的点；如图2,直线加、几到已知平面a的距离相等且两直线所在平面与已知平面c（垂直，则已知平面a为符合题意的点；如图3,直线加、/?所在平面与已知平面a平行，则符合题意的点为一条直线.形ABCD屮，AD//BC,交于一点）.:・AB、CD是梯形ABCD答案：（1）⑵（4）4.如图，已知平面a、0,且an鬥.设梯且ABU。，CDUp.求证：AB,CD,/共点（相证明：・・•梯形ABCD中，AD//BC,的两腰，•••AB,CD必定相交于一点.如图，/］上运动，变，故的面积为故A-BEF为定值.得A(l,l,0),B(0,l,0),1)，•Icos〈AE,BF)32：・APbF=弓.又=^2,\BF\=芈:.AE与BF成30。角.当E为OB］中点，F在厲处时,此时:.AE=(-'BF=(0,0,1)，:.AEB~F=1,IA£I=/.cosb,则B,m与n的大小关系为.解析：与0成的角为ZABC=(p,AB与a成的角为ZBAD=0,=LAWa,BW0,的角分别是B和"，与e的大小关系为sincp=sinZABC=a\ABVsin0=sinZBAD=Ta>b>/•sin0>sin&・•：0<(p.43在a内的射影AD=7AB?-bSAB在〃内的射影BC=Vab2—q2,•\AD.BC,即m>n.答案：(X(pm>n10.如图，已知正方体ABCD—AiBiCiDi中,的屮点，ACQBD=P,E、F分别为DiCi、BiCi\nAiC|AEF=e，若A]C交平面DBFE于R点,试确定/?点的位置.解：在正方体ACi中，连结P0,・.・QGA]C|,:・QW平面A\CxCA.久QEEF,Age平面BDEF,即Q是平面A]CiCA与平面BDEF的公共点,同理,P也是平面AiCiCA与平面BDEF・•・平面A1GG4G平面BDEF=PQ.又AiCQ平面BDEF=R,A/?eAiC,:・RW平面41C1C4,/?G平面BDEF.・•・/?是AiC与PQ的交点.如图.的公共点.11.如图，在棱长为1的止方体ABCD的中点，N为BBi的中点，0为平面BCGBi(1)过0作一直线与AN交于P,与CM证明)；(2)求PQ的长.解：(1)连结ON,由ON〃/1D知，AD与0、C、M三点确定一个平面"(如图所示).・・•三个平面a,0和ABCD两两相交，04,其中交线DA与交线CM不平行且共面.・・・D4与CM必相交，记交点为2,：.0Q连结0Q与AN交于P,与CM交于Q,故直线OPQ即为所求作的直线.-AjBiCiDi屮，M为AB的中心.交于0(只写作法，不必ON确定一个平面a.又(2)在RtA/lPg中，易知＞4(2=1,又易・・・需=需=2,AN=¥:.AP:.PQ=y/AQ'+AP2=有三条交线OP、CM、是a与0的交线.知厶APQs'oPN、12.(2008年高考四川卷)如图，平面ABEF丄ABEF与ABCD都是直角梯形，ZBAD=ZFAB碍朋，G、H分别为用、FQ的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设AB=BE,证明：平面ADE丄平面CDE.D平面ABCD,四边形=90。,BC^AD,BE解：(1)证明：由题设知，FG=GA,FH=HD,所以GH^^AD.又BC^AD,故GH紋BC.所以四边形BCHG是平行四边形.⑵C、D、F、E四点共面.理由如下：由BE諾AF,G是E4的中点知，BE获由(1)知BG〃CH,所以EF〃CH,故EC、又点D在直线上，所以C、D、F、EDGF,所以EF//BG.FH共面.四点共面.BC\n\n(3)证明：连结EG.由AB=BE,BE^AG及ZBAG=90。知ABEG是正方形，故BG丄E4.由题设知，FA.AD.两两垂直，故4D丄平面FABE,因此E4是ED在平面FABE内的射影.根据三垂线定理，BG丄ED.XEZ）n£A=£,所以BG丄平面ADE.由（1）知，CH//BG,所以CH丄平面ADE.由（2）知FW平面CDE,故CHU平面CDE,得平面ADE丄平面CDE.第三节平行关系A组1.已知加、〃是対条不同直线，«,0是两个不同平面，下列命题屮的真命题是_・①如果mUa,“U卩,m//n,那么a//[i②如果mUa,nU0,a〃0,那么m//n③如果mUa,nUp,a〃0且加，川共面，那么m//n④如果m//n,m丄a,川丄0,那么a丄0解析：mUgnU0,a〃川没有公共点.又加，川共面，所以m//n.答案：③2・已知加、〃是不同的直线，g”是不重合的平面，给出下列命题：①若加〃a,则加平行于平面a内的无数条直线；②若a〃“，加Ua,“U0,则m//n；③若m丄a,刃丄0,m〃n,则a〃0；④若（/〃0,加Ua,则m//p.其中，真命题的序号是.（写出所有真命题的序号）解析：②中a〃/?，加Uq,nUp=m〃n或m,川异面，所以②错误.而其它命题都正确.答案：①③④3.（2010年苏北四市调研）给出下列关于互不相同的直线加、/、〃和平面a、0的四个命题：①若/r\a=A，点A^mf贝U/与加不共面；②若加、/是异面直线，/〃a,加〃a,且“丄/,〃丄〃7,贝Un丄a；③若l//a,a//[i,则/〃加；④若lUa,mUa,lC\m=AfI//P，m//[i,贝a//p.It?11为真命题的是•解析：③中若/U0,加Ua,a////m或/,m异面，所以②错误.而其它命题都正确.答案：①②④4.（2009年高考福建卷改编）设加，〃是平面a内的两条不同直线；g伍是平面0内的两条相交直线，则a//p的一个充分而不必要条件是・®m//p且h〃a®m//ly且③加〃0且n//p®m//p且〃〃b解析：・・・/〃/],且n//l2,又/i与b是平面”内的两条相交直线，・・・a〃0,而当a//[i时不一定推出m//lx且斤〃®可能异面.答案：②5.（原创题）直线g〃平而a,a内有〃条直线交于一点，则这〃条直线中与直线6/平行的直线\n有条.答案：1或06・如图，ABCD为直角梯形，ZC=ZCDA2CD,P为平面ABCD外一点，且P3丄BD.(1)求证：刊丄BD；(2)若PC与CD不垂直，求证：P心PD；(3)若直线/过点P,且直线/〃直线BC,E,使得直线PC〃平面解：(1)证明：9：ABCD为直角梯形，AD:.AB丄BD,PB丄BD,ABQPB=B,AB,PBU平面BD丄平面B4U平面・・.E4丄BD.(2)证明:假设PA=PD,取4D中点、N,PNLAD,BN丄AD,4D丄平面PNB、得PB丄AD,又PB丄BD,得PB丄平面ABCD,:.PBLCD.又VBC丄CD,:.CD丄平面PBC,y/2AB=y[2BD,A连结PN,BN,则:.CDA.PC,与已知条件PC与CD不垂直矛盾.:.PA^PD,(3)在I上取一点E,使PE=BC,连结BE,DE,・.・P£:〃3C,.・.四边形BCPE是平行四边形，APC//BE,PCQ平面EBD,BEU平面EBD,APC〃平面EBD.B组1.已知加，〃是两条不同的直线，a、0,y是三个不同的平面，则卜列命题正确的是.①若a丄y,a丄0,贝ljy//p②若tn〃n,mUa,nU^,则a〃0③若tn//n,m//a,贝n//a④若〃丄a,兄丄0,则a//p解析：①错，两平面也可相交；②错，不符合面面平行的判定定理条件，需两平面内有两条相交直线互相平行；③错，直线斤不一定在平面内；④由空间想象知垂直于同一直线的两平面平行，命题正确.答案：④2.已知加，〃是两条不同的直线，a,"是两个不同的平面，有下列4个命题：m//n,77C则m//a；.Ji匕十…」加丄斤，加丄a,nCa,贝0n//a；a丄0,加丄a,丄0,贝0m±n；m,刃是异面直线,mUa,nU0,m//p,贝ljh//cc.R,|,正确的命题有_•解析：对于⑪加有可能也在a上，因此命题不成立；对于②，过直线〃作垂直于加的平面0,由m±a,ziQa可知0与a平行，于是必有〃与a平行，因此命题成立；对于③，由条件易知加平行于〃或在0上，n平行于a或在a上，因此必有加丄“；对于④，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立.综上可知②③正确.答案：②③3.已知〃2,“是平面a外的两条直线，Mm//rt,则am//a"是“n〃a”的条件.解析：由于直线加，乳在平面外，JLm//n,故若m//a,则必有n//a,反之也成立.答案：充要4.设/i，伍是两条直线，a，”是两个平而，A为一点，下列命题中正确的命题是•①若ZiCa,l2Ha=A,则h与b必为异而直线\n②若a丄0,hUa,则Zi丄0®/icgup,l\〃B，l2//af贝Ucc〃0④若l\//a,h//l\y则b〃a或"Ua解析：①错，两直线可2目交于点4；②错，不符合面面垂直的性质定理的条件；③错,象即可.答案：④不符合面面平行的判定定理条件；④正确，空间想1.（2010年广东深圳模拟）若a不平行于平面a,且的是.①a内的所有直线与a异面②。内与a平行的直线不存在③a内存在唯一的直线与a平行④。内的直线与a都相交解析：由题设知，a和a相交，设aQa=P,如图，在a内过点P的直线与a共面，①错；在a内不过点P的直线与a异面，④错；（反证）假设a内直线b〃a,TaQa,.•・a〃a,与已知矛盾，③错.答案：②2.设加、〃是界面直线，贝U（l）—定存在平面a,使加Ua且”〃a；（2）—定存在平面a,使加Ua且”丄a；（3）—淀存在平面卩，使加、〃到y的距离相等；（4）一定存在无数对平面a与0,使mJ,nU/3,且a〃几上述4个命题中正确命题的序号为.解析：（1）成立；（2）不成立，血、/?不一定垂直；（3）过加、/?公垂线段中点分别作n的平行线所确定平面到m.n距离就相等，（3）正确；满足条件的平面只有一对，（4）错・答案：M、N分别是下底面点，AP=£,过P、⑴⑶7.如图，ABCD-A.BxC.D,是棱长为a的正方体，的棱內厲、BiCi的中点，P是上底面的棱AD±的一M.W的平面交上底面于PQ,Q在CD上，则答案：羊a8.下列四个正方体图形屮，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的屮点,能得出人3〃面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）.NA人解析：①•・•面AB〃面:.AB〃鈕MNP.①若下底面中心为O,易知NO〃AB,NOQ直MNP,:.AB与面MNP不平行.②易知AB//MP,:.AB〃窃MNP.④易知存在一直线MC//AB,且MCQ平曲MNP,:.AB与面MNP不平行.答案：①③9.如图所示，在正方体ABCD-H分别是棱CCi、CQi、D\D、CD的中点,边形EFGH上及其内部运动，则M满足条平面B\BDDX.\nDAiBiCQi屮，E、F、G、N是BC屮点点M在四件时，有MN//D\F答案：MEFH\n10.如图，长方体ABCD-AiBiCiDi中，人41=迈，AB=\fAD=2,E为BC的中点,点M为棱A41的中点.(1)证明：QE丄平面A{AE；(2)证明：〃平面AXED.证明：(1)在△AED中，AE=DE=y[i,AD=2,:.AE丄DE.VA]A丄平面ABCD,/.AiA丄DE,:.DE丄平面AXAE.⑵设AD的中点为N,连结MN、BN.在厶AiAD中，AM=MAi，AN=ND,•:BE//NDHBE=ND、・・・四边形BEDN是平行四边形，:.MN〃A\D、:.BN//ED,・・・平面BMN〃平面AiED,:.BM〃平面AXED.11.(2010年扬州调研)在正方体ABCD—别是AB,BC的中点.(1)求证：平面B|MW丄平面BB\D\D；(2)若在棱DD^上有一点P,使BD、//平面PMN,求线段DP与PD］的比解：(1)证明：连结AC,则AC丄3D,又M,N分别是AB,BC的中点，:.MN//AC,:.MNLBD.^ABCD-AjBiCiDi是正方体，:.BB｛丄平面ABCD,•:MNu平面ABCD,・・・BB\丄MN,•・・BDOBB\=B,:.MN丄平面BB\D\D,•；MNU平面B\MN,・・・平面B\MN丄平面BBQiD.AiBiCiDi中,M,N分(2)设MN与BD的交，虽是0连结PQ,PM,PN•:BD\〃平面PMN,BDiU平面BB\D\D,平面BB\D\DQ平面PMN=PQ、:・BD\//PQ,\n11.如图，四边形ABCD为矩形，BC丄上的点，且BF丄平［ft'ACE.（1）求证：AELBE；（2）设点M为线段AB的屮点，点N为线MN〃平面DAE.证明:（1）因为BC丄平面ABE,AEU平所以AE丄BC,又BF丄平面ACE,AEU平面4CE,所以AEA.BF,天BFCBC=B,所以丄平面3CE,又BEU平面BCE,所以AE丄BE.（2）取DE的中点P,连结刊，PN,因为占八、j•所以PN//DC、且PN=^DC,又四边形ABCD是矩形，点M为线段4BAM//DC.且=BC平面ABE,F为CE段CE的屮点.求证：面ABE,点N为线段CE的中的中点、，所以所以PN//AM,且PN=AM、故四边形AMNP是平行四边形，所以MN//AP.而APU平面DAE,MNQ平面DAE,所以MN〃平面DAE,第四节垂直关系A组1.（2010年宁波十校联考）设久c表示两条宜线，g0表示两个平面，则卜•列命题是真命题的是.①若bUa,c//a,贝0b〃c②若b//c,贝\\c//a③若c//a,a丄”，贝0c丄0④若c〃a,c丄0,则a丄〃解析：①中，b,c亦可能异面；②中，也可能是cUa；③中，c与〃的关系还可能是斜交、平行或cU"；④中，由面面垂直的判定定理可知正确.答案：④2.（2010年青岛质检）已知直线/丄平面e直线加U平面0,下面有三个命题：①a〃戸15；②a丄戶1//m；③l//m^a丄0.则真命题的个数为.解析：对于①，由直线/丄平面a,a〃0,得Z丄0,又直线加U平面0,故/丄加，故①正确；对于②，由条件不一定得到l//m,还有/与加垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确.故正确命题的个数为2.答案：2个3.（2009年高考山东卷改编）已知a、“表示两个不同的平面，加为平面a内的一条直线，则匚丄0”是“加丄0”的条件.解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果加为平面a内的一条直线，加丄“，则a丄“,反过来则不一定.所以"a丄〃”是“加丄“”的必要不充分条件.答案：必要不充分4.（2009年高考浙江卷）如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△4FD沿AF折起，使平面4BD丄平面ABC.在平面ABD内过点D作DK丄AB,K为垂足.设AK=t,则/的取值范围是•\nD解析：如图，过£>作DG1AF,垂足为G,连结GK,I•平面丄平面A3C,又DK丄A3,:.DK丄平面ABC.:.DK丄AF.:.AF丄平面DKG、:.AF1GK.容易得到，当F接近E点时，K接近C点时，K接近AB的四等分点••••/的取值AB的中点，当范围是（*，】）•答案:（£，1）5.（原创题）已知°、b为两条不同的直线，a、0为两个不同的平面，命题中假命题的有・则下列①若a//b,则a〃“；②若a丄”，则a丄/?；③若a、b相交，则a、”和交；④若a、0相交，则a,b相交.解析：若a、0相交，则a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线.答案：④6.（2009年高考山东卷）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,ABAAi=2,E,Ei分别是棱A£>,人4】的中点.⑴设F是棱AB的中点，证明：直线E&〃（2）证明：平D0C丄平面BB\C\C.证明：（1）法一：取的中点为Fi，由于FF\//BB\//CC\,所以F]W平面FCC].因此平面FCCi即为平面CiCFFi.连结AiDFiC,由于4]Fi紋DCi絞CD,所以四边形A\DCF\为平行四边形，因此A]Q〃F【C.又EEJ2、得EEx//FiC.而EE&平面FCCi，FiCU平面FCCi，故EEi〃平面FCC{.法二：因为F为AB的中点，CD=2,AB=4,AB//CD.所以CD^AF,因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD〃FC.又CC\//DD\,FCACC|=C,FCU平面FCCi，CC|U平面FCC\,平面ADD\A\,DD\^平面ADD\A\.所以平面ADD^//平面FCCi.又EE\U平面所以EEi〃平（2）连结AC,隹HFBC中，FC=BC又F为如？的中点，所以AF=FC=CiABCD—A\B\C\D\=4,BC=CD=2,平面FCC1；结FFhC}F}.ABE、\/i♦9:CDCiAxBiAD^DDy=D,ADU面FCC\.=FB,FB.\n因iLZACB=90°,即ACLBC.又AC丄CCi，且CC]QBC=C,所以AC丄平面BBXC\C.而ACU平面D}AC,故平面DXAC丄平面BBxC\C.B组1.设a,b是两条不同的直线，«,0是两个不同的平面，则能得出Q丄b的是—・①a丄a,b//p,a丄0②a丄a,b丄0,a///3③gUq,b丄0,o.//p④qUq,b〃B，a丄0解析：由a〃0,b丄B斗b丄a,又aUa,故a丄b.答案：③2.设a,0为不重合的平ffi,m,川为不重合的直线，则下列命题正确的是.①若加u°,加〃斤，则a〃“②若〃丄a,斤丄0,加丄伤则加丄a③若m//a,n//[i,m.Ln,贝lja丄“④若a丄“，mA.n,则加丄a解析：由n_La,斤丄0可得a//p.又因加丄0,所以加丄a.答案：②3.设m,n是两条不同的直线，g0是两个不同的平面，则下列命题正确的是.①加丄a,nU0,加丄〃今a丄/?②仪〃0,加丄a,n//今加丄〃③a丄0,加丄a,n〃卩今加丄斤④a丄伤a(~}/3=m,nVm^n丄0解析：①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；②由空间想象易知命题正确；③错，两直线可平行；④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线斤在平面a内时命题才成立.答案：②4.已知两条不同的直线①若加丄a,〃丄“，②若mW-a,n//p,③若加〃a,n//p,④若M〃a,〃丄0,m,na丄0,a丄0,a//p,a丄0,,两个不同的平面a,卩,则下列命题中正确的是则m丄n则mA_n则m//n则m//n解析：易知①正确.而②中a丄0且加丄a=^in//p或加€0,又〃〃0,容易知道加，n的位置关系不定，因此②错误.而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误.而④中因为②不对，此项也不对.综上可知①正确.答案：①1.设a,b,c表示三条直线，g0表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是.①c丄a,若c丄伤贝ljall②bup,c是a在“内的射影,若b丄c,贝Ija丄b..匚讨③bU卩,若b丄a,则0丄a④bUa,cQa,若c//a,贝h//c解析：当bUp,若"丄弘则未必有h±a.答案:③2.己知二面角a—1—p的大小为30°,n为异面直线，加丄平面a,〃丄平面0,则m、n所成的角为・解析：Tn?丄a,〃丄0,/.m.n所成的夹角与二面角a-I-p所成的角相等或互补.・・•二面角a-l-/i为30°,=90°,BCi丄AC,ABC\,ACU平面上的射影H必在两・•・异面直线加、兀所成的角为30。.答案:30°7.如图所示，在斜三棱柱ABC-AxBxCx中,ABAC则G在底面ABC±的射影H必在直线上.解析：由ACLAB,ACA-BCx.AC丄平面ABC,・••平面ABC】丄平面ABC,Ci在平面ABC\n平面的交.线ABJi・答案：AB8.(2010年江苏昆山模拟)在矩形ABCD屮，AB=3fAD=4,P在AD±运动，设ZABP=&,将ZVIBP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC,AC长最小时〃的值为・解析:过A作AH丄于H,连CH、・・・AH丄・••在Rt/XABH中,AH=3sin&,BH=3cos&.在△BHC中，CH2=(3cos&)2+42--0)，・••在RtAACW中，AC2=25-12sin20A0=45°时，AC长最小.答案：45°9.在正四棱锥P-ABCD中，PA=,M是BC的中点，G是的重心，则在平面PAD屮经过G点且与直线PM垂直的直线有解析：设正四棱锥的底面边长为°,则由PM丄BC,2a,连结PG并延长与AD相交于N点、，V2贝'JPN=2ChMN=AB=a、:.PM2+PN2=MN2,条.:.PM丄PN,又PM丄AD,:.PM丄面PAD、.・・在平面PAD中经过G点的任意一条直案：无数10.如图，在三棱锥S-ABC屮，OA=OB,平面ABC,E为SC屮点，F为屮点.(1)求证：OE〃平面SAB；⑵求证：平W]SOF丄平而SAB.证明:(1)取4C的中点G,连结OG,•・・OG〃AB,EG//AS,EGQOG=G,EG,SAQAB=4,・•・平面EGO〃平面SAB,OEu平面OEG：.OE〃平面SAB⑵・.・SO丄平面ABC、・・・SO丄03,SO丄04,又・.・OA=OB,SA2=SO2+OA2,SB2=:.SA=SB,又F为AB中点，:・SF丄AB,TSO丄AB,+OB2,・.・SFQSO=S,・・・4B丄平面SOF,・.・4BU平面SAB,・•・平面SOF丄平面SAB.11・在长方体ABCD-A^BiCiD^中，AA{=2AB是棱AAi，BB\,A|B|的屮点.(1)求证：CE〃平面CiEiF；(2)求证：平面C\E\F丄平面CEF.证明：(1)取CCi的中点G,连结B、G交ClC\F于点Fi,连结AB=2BC,E,F,&分别\n的中点,中点,EiFi，A\GyFG,TF是BB]的中点，BCC)Bi是矩形,・・•四边形FGCiBi也是矩形，・・・FC]与B]G相互平分,即Fi是B]G的中点.又Q是A/]的中点,・・・AiG〃EiF].又在长方体中，441紋CCi，E,G分别为A4],CC]的中点,・・・AiE紋CG,・・・四边形A{ECG是平行四边形,・・・AiG〃CE,:・E\FJCE.ICEQ平面QEiF,EiFiU平面C\E\F,・・・CE〃平面CiEiF.(2)V长方形BCC\B\中，BB\=2BC,F走BB\•••△BCF、△5C]F都是等腰直角三角形，AABFC=ZBjFG=45°,・•・ZCFCi=180°-45°-45°=90°,:.CiF丄CF.V£,F分别是矩形ABB\AX的边A4|,BB(的:.EF//AB.又AB丄平面BCCb，又CiFU平面BCC\B\,:.ABLCxF.・・・EF丄CiF.又CFHEF=F,:.C{F丄平面CEF.VCiFu平面CiE\F,・•・平面C}E}F丄平面CEF.12.(2010年江苏淮安模拟)如图,已知空BC=AC,AD=BD,E是的中点.求证：(1)43丄平面CDE；(2)平面CDE丄平面ABC；(3)若G为ZUDC的重心，试在线段AEGF〃平面CDE.BC=AC]证明：(1)Hce丄同理，AE=BE]AD=BD]\^DEA_AB,AE=BE]yCECDE=E,・・・AB丄平面CDE.⑵由⑴知AB丄平面CDE,又*：ABu平面ABC,・・・平面CDE丄平面ABC.(1)连结AG并延长交CD于H,连结ar0在AE上取点F使得质〒则GF//EH,\n1.若集合M={xER|-33}={x\-2^x<0}.答案：{xl\n—230}\n4.集合A={3,log?。},B={a,b］,若AQB={2},则\nAUB=.\n解析：由AQB={2}得log2°=2,・・・q=4,从而\nb=2,・・・AUB={2,3,4}.\n答案：{2,3,4}\n5.（2009年高考江西卷改编）已知全集U=AUB\n中有加个元素沖有料个元素.若AAB非空，则AAB\n的元素个数为.\n解析：t/=AUB\n中有加个元素，厂、\n•・・（［（4）U（［皿）=Cu（AQB）\n中有卅个元素，（人\n\:.AHB中有加-〃个\n元素.答案：加一\n〃\n（"U〃丿\n6.（2009年高考重庆卷）设U={n\n是小于9\n的正整数}^A={n^U\n是奇\n数},B={n^U\n是3的倍数},\n则吩“\n.\n4.\n••丿8\n当且仅当a=~,即a=2时，扇形面积取得最大值\n4.此时，厂=£+2=2(cm),\n/.IABI=2X2sinl=4sinl(cm).\n第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式\nA组\n20102sin2xcos2x°0]]22\n=sin2XCOS2X+nnin2-22~-onin^nnin(V2011-1)•\n2010sinxcosx20102010'y\n兀兀\n6.己知角-),且(4cosa—3sina)(2cosa—3sina)=0.\n(1)求tan(a+^)的值;(2)求cos(£_2a)的值.\n解：T(4cosa-3sinct)(2cosa-3sina)=0>\n•7—兀兀、•443\n又炸(亍㊁)，•etan«=ysina=§,cosa=p\n714.tana+tanvt+1\nz7T43(1)tan(a+4)==—=一7・\n1一tan«tan^1-亍\n(2)\ncos2a\n=\n2cos\n2\na-\n1\n=\n-\n召，\nsin2«\n=\n2sin«cosa\n=\n欝，\n24_\n24V3-7\n\n225"50\n71tan(a+0)-tan(0-才角军析：tan(a+才)=tan[(a+\n0)-(“一=\n~1+tan(a\n+-才)\n2-（2009年高考陕西卷改编）若3sina+cosa=0,\n则砧坯的值为\n2<\n所以¥%=庆（〃|-力2），所以加=3力2，故A\n错误，D正确.
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